基于上记录值的双参数瑞利分布精确区间推断

摘要

最大似然法是应用最广泛的估计方法。另一方面，它会产生很大的偏差，当样本量较小时，基于最大似然估计的近似置信区间不能有效。由于记录值的大小在大多数情况下都比观察到的原始序列小得多，因此需要一种适合于这种情况的方法来进行精确的推断。本文通过给出基于上记录值的双参数瑞利分布中的一些关键量，给出了未知参数的精确置信区间和未来上记录值的精确预测区间。最后，通过蒙特卡罗仿真和实际数据验证了所提出的推理方法的有效性。

1.介绍

随机变量(RV)的累积分布函数(cdf)和概率密度函数(pdf)，和瑞利分布，分别由 在哪里位置参数和为尺度参数。采用瑞利分布是因为模型理论可靠性在随机现象的寿命建模中起着重要作用。此外，由于它的故障率是时间的线性函数，因此在可靠性、寿命试验和生存分析等许多应用中都得到了应用。因此，这种分布已经被许多作者研究过，当样本由于一系列原因而被删减的情况下。Dyer和Whisenand [1的性质-最优线性无偏估计(布鲁斯)的尺度参数在瑞利分布，并提供了一个近似-最优的蓝色基于订单统计。辛哈和豪拉德[2]推导出尺度参数的最高后验密度可信区间和瑞利分布的可靠度函数。Ali Mousa和Al-Sagheer [3.的极大似然估计(MLEs)和贝叶斯估计，，以及基于渐进式ii型截尾数据得到的瑞利分布的可靠度函数。Raqab and Madi [4讨论了采用瑞利分布和尺度参数的双截尾数数据对试验总时间的贝叶斯预测方法，并将该方法应用于代表深沟球轴承失效时间的真实数据集。对于同样的真实数据，Kim和Han [5]采用了基于一般渐次截尾条件下瑞利分布尺度参数共轭先验的贝叶斯推理方法，S. Dey和T. Dey [6]应用了这一点，给出了二项去除的渐进式ii型截尾条件下瑞利分布尺度参数的点和区间估计方法。本文考虑了一个基于上记录值的双参数瑞利分布，这些上记录值被广泛用于建立统计模型，这些模型出现在许多真实情况中，包括天气、体育、经济和寿命测试。记录值说明如下。

让，从一个连续的概率分布是独立和同分布(iid)房车的序列。如果对所有,然后是一个较高的记录值。上面记录值出现的索引由记录时间给出，,在那里，，与．钱德勒(7]首先研究了记录值及其基本性质。Ahsanullah [8]详细描述了基于记录的众所周知的概率分布的一般理论和应用。徐和金[9]提供了估计未知参数的推理方法，并利用频率和贝叶斯方法从极值分布预测未来的最高记录值。注意，在大多数情况下，记录值的大小实际上比观测到的原始序列要小得多;为了进行精确的推断，需要一种适用于这种情况的方法。最大似然法是应用最广泛的估计方法。另一方面，基于MLE的渐近正态性的近似置信区间(CIs)可能产生不恰当的结果，因为和支持和,分别。此外，MLE的渐近正态性需要合适的正则性条件，而当记录值由双参数瑞利分布观测时，正则性条件很难得到满足。本文构造了未知参数的精确表达式该方法在计算成本方面比最大似然法有效得多。本文的另一个目的是在瑞利分布的过去最高记录值的基础上构建未来最高记录值的精确预测区间(pi)，因为正确预测地震、洪水和降雨等领域是非常重要的。

本文的其余部分结构如下。部分2提供了一些关键量，并推导出未知参数的精确CIs和基于上记录值的瑞利分布的未来上记录值的pi。部分3.通过蒙特卡罗仿真和实际数据验证了该方法的有效性。部分4总结了纸。

2.基于关键量的推理

的似然函数由Arnold等人给出，[10]

让是第一个双参数瑞利分布的上记录值。基于记录值的似然函数为

毫升的和可以通过解下列似然方程得到和同时:

另一方面，最大似然分布无法用封闭形式表示，且难以导出其精确分布。或者，通过MLE的渐近正态性，近似顺式的和可以通过以下方式获得 在哪里表示上标准正态分布的点和方差和对于未知参数，渐近方差-协方差矩阵的对角元素是由Fisher信息矩阵反求得到的吗： 在一定的规则条件下。然而，它可以提供不适当的结果，因为支持和不符合正态分布，记录值很少观察到，如前所述。

2．1．置信区间

本小节开发了基于关键量的推理方法来构造未知参数的精确CIs和pi为未来的最高记录值。注意，所提出的方法比最大似然法更容易计算。下面提供了一些关键的量。

让

为具有标准指数分布的上记录值。从这个结果可以得到以下间距: 即标准指数分布的iid rv(见Arnold et al.， [10])。基于间距，一个关键的量有一个分布与自由度和一个关键量可以推导为 有分布与的自由度。因为他们有独立的房车，所以得到以下关键量: 它有一个分布与和的自由度。一个精确的置信区间为基于关键的数量可以构造为 对于任何,在那里是上面的百分位的分布与和的自由度。

此外,由于有分布与自由度，一个精确的置信区间为基于关键的数量可以构造为 在哪里是上面的百分位的分布与的自由度。请注意，由于精确的CI (13)取决于妨害参数，本文给出了如何处理妨害参数基于广义枢纽量和精确的CI是基于广义枢纽量提出的。

让的唯一解,在那里有一个分布与和的自由度。唯一解可以由

此外,让是房车从分布与的自由度。由枢纽量导出广义枢纽量是由

这里的样品可以通过生成的旅游房车和．S的顺序为．因此,一个精确的置信区间为基于广义枢纽量可以构造: 在哪里小于或等于的最大整数．节3.，根据覆盖概率(CPs)对建议的CIs进行检查，以确定它们是否是有效的CIs。

2．2.预测区间

本小节开发了一种基于观测到的高记录值预测未来高记录值的方法通过提供一个关键的量。让成为未来最高纪录价值。的条件密度函数,鉴于，由Ahsanullah定义[11，是由 从记录值的马尔科夫属性。假设观测到的最高记录值，，源自瑞利分布，并附有pdf (2)，条件密度函数(17)写成

让

因为变换的雅可比矩阵是 的密度函数是由 哪个是PDF分布与的自由度。假设和是已知的。一个精确的基于关键量的PI为未来的最高记录值获得的是

当和是未知的，它们可以用和在π(22)基于……的事实广义关键量是用来构造精确的CI的吗．同样地，广义枢纽量由 和一个精确的π为基于广义枢纽量可以构造如下:

3.应用程序

本节通过蒙特卡罗模拟评估提出的方法，并给出一个真实的数据集。

3．1.模拟研究

建议的准确独立核证机关(12)和(16)，根据他们的CPs和平均长度(ALs)进行评估。上面的记录值首先由标准瑞利分布生成和为不同的，及CIs (12)和(16)根据生成的样本，使用本节提供的方法进行计算2.1．精确的CIs的CPs和ALs经过10,000次模拟得到。这些值报告在表中1．

表格1表明，即使在小样本量下，CPs也与它们相应的名义水平相匹配，所有ALs都随着样本量的增加而减小。

3．2．真实的数据

为了说明提出的推断程序，一组肺癌患者的(天)生存时间(来自Lawless [12审议如下:

从数据看，观测到的上记录值分别为6.96、9.30、10.18、11.94和12.94。Soliman和Al-Aboud [13的结果表明，瑞利分布与观测记录值吻合较好。这些纪录值是用作取得建议的独立核证文件(12)和(16）.此外，准确的pi为未来的最高记录值，如表2．

4.结束语

本文提出了对未知参数(，)在瑞利分布中，根据最高记录值和未来最高记录值的精确pi，提供一些关键量。因为建议的确切CI (13)及PI (22)依赖于扰害参数，本文提出广义枢纽量和解决缺点。与最大似然法相比，该方法计算方便。此外，提出的精确CIs提供非常好的性能，即使在小的样本量。如果对瑞利分布的位置参数感兴趣，则精确的CI (12)，因为它没有任何妨害参数。

相互竞争的利益

两位作者宣称他们没有相互竞争的利益。

参考文献

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