已知变异系数的正态平均数倒数的统计检验

摘要

本文给出了变异系数已知的正态均值倒数的渐近检验和近似检验。渐近检验是基于正态平均数倒数的估计量的期望和方差。近似检验采用泰勒级数展开的估计量的近似期望和方差。通过蒙特卡罗模拟实验比较了两种统计检验方法的性能。仿真结果表明，两种测试方法在经验I型误差和功率方面均表现良好。然而，近似检验比渐近检验更容易计算。

1.介绍

正常平均值的倒数一直是核物理、农业和经济学领域的研究课题。例如，Lamanna等人[1研究了带电粒子的动量，,在那里为粒子的轨迹曲率。正态平均数的倒数是 在哪里是总体均值。许多研究人员都研究过正常平均值的倒数。例如，Zaman [2讨论了在正态平均数倒数情况下的无矩估计量。Zaman提出了具有0 - 1损失函数的正态均值倒数的极大似然估计[3.］．威瑟斯和纳达拉雅[4提出了一个定理来构造正态平均数逆幂的点估计量。

假设我们有变异系数的先验信息;,在那里是总体的标准差。这种现象出现在农业、生物、环境和自然科学领域。例如，在环境科学领域，Bhat和Rao [5]解释说，在某些情况下，污染物的标准偏差与平均值直接相关，这意味着是已知的。在临床化学方面，Bhat和Rao [5还声明“当分析某些物质(化学品)的批次时，如果分析了足够多的批次的物质，就会知道它们的变异系数。”此外，在医学、生物和化学研究中，Brazauskas和Ghorai [6]提供一些实际中已知的变差系数问题的例子。许多统计问题是由于对具有已知变异系数的正态分布的均值的研究(见Searls [7,汗8， Arnholt和Hebert [9]，以及七苦四酚和通莫[10]和上述论文中引用的参考文献)。

由于总体均值是未知的，对一个已知变异系数的正态平均数的估计和检验与已知方差的情况是不相等的。此外,让随机抽样正态分布。的估计量是在哪里为样本均值。的分布不是正态分布。因此，我们不能构造一个正态均值的置信区间，然后将置信区间变换为正态均值的倒数。同样，正态均值的假设检验与正态均值倒数的假设检验不相等，因为检验是基于样本均值的分布而发展的。

Wongkhao等人提出了具有已知变异系数的正态平均值倒数的两个置信区间[11］．当控制组的变异系数已知时，可以应用它们的置信区间。其中一个置信区间是基于关键统计量的渐近正态性而建立的,在那里服从标准正态分布。另一个置信区间是在广义置信区间的基础上构造的[12］．仿真结果表明，两个置信区间的覆盖概率没有显著差异。渐近置信区间的极限是很难计算的，因为它们依赖于一个无限的和。然而，还没有一项研究使用统计检验的倒数一个正常的平均值与已知的变异系数。因此，我们有动机提出两种统计检验，以确定一个已知变异系数的正态平均数的倒数。其中一个提出的统计检验是基于渐近方法。另一个统计检验是使用简单的近似表达式的估计的期望此外，我们还使用蒙特卡罗模拟比较了I型误差的经验概率和试验的经验功率。

本文的结构如下2给出了用于构造渐近检验的定理和推论。本节中提出了一个近似的检验方法3.．两个拟议的统计检验的性能的蒙特卡罗模拟研究，在节4．最后，我们在第一部分对本文进行总结5．

2.已知变异系数的正态均值倒数的渐近检验

零假设是关于期望的定理和推论和由Wongkhao等人提出[11，用来构造渐近检验，如下所述。

定理1 (Wongkhao等。[11])。让随机抽样正态分布的均值和方差的估计量是在哪里当有变异系数时是已知的，期望是什么是

定理的证明1．Wongkhao等人证明了这个定理[11］．

从(2)，和,在那里因此，的无偏估计量是

推论2。从定理1，

推论的证明2．Wongkhao等人证实了这一推论[11］．

从中心极限定理，我们利用这个事实 下哪个是对的 让表示上标准正态分布的分位数。在上述标准正态分布的基础上，-所进行的试验见表1．

3.已知变异系数的正态平均数倒数的近似检验

在这一节中，我们使用的期望和方差的简单近似表达式给出了一个近似检验为了找到一个简单的近似表达式，我们使用泰勒级数展开周围：

定理3。让随机抽样正态分布的均值和方差的估计量是在哪里的近似期望和方差当有变异系数时，分别是，

定理的证明3.．考虑随机变量在哪里支持让找到近似和用泰勒级数展开周围在(5）.的均值可以通过对单个项应用期望运算符(忽略所有大于2的项)找到， 的方差的近似由泰勒级数展开的一阶项得到:

很清楚地从(7),渐近无偏和,在那里因此，的无偏估计量是从(8)，是一致的下，应用中心极限定理和中心极限定理3.， 在此基础上我们现在可以进行关卡-测试(见表2）.

4.仿真结果

在本节中，我们执行了模拟实验，以在各种情况下比较两个统计测试的行为。第一项研究比较了两种统计测试的I型错误，并检查了它们在名义水平下的表现如何第二项研究比较了他们相应的能力。我们把和．我们把并估计第一类误差()及权力(）.样本容量设定为, 50。为检验以下假设，我们设显著性水平为0.05: 我们使用R统计软件对每个设置重复上述步骤20,000次[13]，并报告表中试验的经验I型误差和威力3.．

从表中可以看出3.，两种统计检验的经验I型误差都接近给定的名义水平，并能够控制所有情况下I型误差的概率。此外，在所有情景下，近似检验的经验I型误差与渐近检验的经验I型误差没有显著差异。在能力比较方面，我们观察到两种统计检验的经验能力没有差异。渐近检验和近似检验的幂都减小为增加的原因是数据的可变性增加。此外，随着样本量的增大，经验幂值也增大。但是，经验幂值并不随的值而增加或减少当和然而，近似检验比渐近检验更容易计算，因为后者是基于无限求和。

5.结论

本文给出了已知变异系数的正态总体均值倒数的两种统计检验方法。当对照组的变异系数已知时，通常会出现这种情况。渐近检验是基于正态平均数倒数的估计量的期望和方差。利用泰勒级数展开的估计量的近似期望和方差进行近似检验。仿真研究表明，在经验I型误差和经验功率方面，近似检验与渐近检验具有同样的效率。然而，近似检验的计算要比渐近检验简单。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

参考文献

1. E. Lamanna, G. Romano，和C. Sgarbi，《核乳剂中的曲率测量》，物理研究中的核仪器与方法，第187卷，第1期。2-3页387-391页，1981。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
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8. R. A. Khan，“关于已知变异系数的正态分布的均值估计的注释”，美国统计协会杂志，第63卷，第2期323页，第1039-1041页，1968。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
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12. S. Weerahandi，《广义置信区间》，美国统计协会杂志第88期423，第899-905页，1993。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
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