文摘
我们推导出中等和大偏差原理平滑样本分位数的一系列独立同分布的样本大小。
1。介绍
众所周知,分位数可用于描述随机变量的一些性质没有一刻的限制条件。分位数统计信息中发挥基础性作用;关键值我们经常使用假设检验和区间估计分布的特点,我们希望大多数的估计。使用分位数主要表现更为突出,特别是在微观经济,金融和环境分析等。
更具体地说,让表示未知的累积分布函数(c.d.f)。逆c.d.f。,分位数是由,在那里 让基于样本的经验分布;也就是说, 然后样品分位数基于经验分布函数可以表示为
极限的性质在许多文献研究了。Lahiri和太阳1)给Berry-Esseen定理的强烈混合随机变量在一个多项式混合样本率。吴(2)建立了阁下表示样本分位数的依赖序列。苗族et al。3和徐et al。4]研究之间的偏差的一些渐近性质分位数的估计量,包括温和的偏差,偏差大,和阁下表示。马等。5]给出的定义样本分位数基于mid-distribution函数提供了一个统一的框架示例的渐近性质从离散分布分位数。
然而,没有考虑的平滑,密度函数的存在。一些调查人员提出几个平滑分位数估计。基于核函数平滑的估计被定义为 在哪里是正序的带宽作为。然后,平滑样本分位数的估计,被定义为
渐近性质不同形式的样本分位数已经广泛的文献调查。分位数的kernel-type估计早期的工作分位数的估计函数包括Nadaraya [6]和Parzen [7]。瑞斯(8]表明,渐近相对不足的样本分位数对有限很多次序统计量的线性组合发散到正无穷随着样本容量的增加。福尔克(9)还研究了渐近相对不足的样本分位数相比kernel-type分位数估计。杨(10研究了kernel-type分位数估计的渐近性质。帕吉特[11扩展前面的努力处理right-censored数据。Cai和Roussas [12)建立点态一致性、渐近正常利率,和平滑估计的弱收敛。
在本文中,我们将得到的点态中等和大偏差原理。存在广泛的大偏差文献涉及许多领域的概率和统计。我们把书Dembo和Zeitouni13)和引用其中一个账户的结果和应用程序。在非参数函数估计,一些结果已经说明这些最后几年。我们将Louani [14),高(15),他和高(16],和Korbe Diallo Louani [17),结果相关的核密度估计。
为了国家我们的主要结果,让我们介绍一下大偏差原理的定义。让是一个度量空间,让是一个序列值随机变量概率空间。让是一个正实数序列满足作为。一个函数据说是低速率函数如果是断断续续的,据说是一个很好的率如果它的水平集函数紧凑的。序列据说,满足大偏差原理速度和良好的功能如果任何闭集在, 为开集在,
2。假设和主要结果
为了显示我们的结果,我们介绍一些假设。(A1) (A2) ,,。(A3) ,对于任何。(A4) ,对于任何。(A5) ,对于任何。
首先,我们给点态中等偏差原则。
定理1。让独立同分布随机变量的绝对连续分布函数,让是分位数的为。假设条件(A1)和(A2);对应样本,平滑样本用分位数节的定义是1。让是一个正序满意 然后,对任何,我们有
下面的结果建立一个点态大偏差原理。
定理2。让独立同分布随机变量的绝对连续分布函数,让是分位数的为。假设条件(A1)——(A5)持有;被定义为在定理1;然后,对任何,我们有 在哪里
备注3。众所周知,无论估计得到的光滑的累积分布函数(c.d.f);他们表现出较弱的收敛速度。我们可以比较温和的偏差结果与徐和苗族18),样本分位数的估计是基于c.d.f。从定理1摘要足够大, 与此同时,我们可以推出从徐和苗族18), 在哪里,是一些常数。
3所示。主要结果的证明
3.1。定理的证明1
对于任何,我们有 然后, 在哪里。
对于任何泰勒的扩张, 另一方面, 由引理2.2英寸高(15),我们可以得到 然后,通过Gartner-Ellis定理(见Dembo和Zeitouni [13]),我们有 同样的, 在哪里。
对于任何再次,通过使用泰勒的扩张, 应用Gartner-Ellis定理,我们可以获得 由(21)和(24),我们可以获得结果的定理。
3.2。定理的证明2
对于任何通过Serfling [19),
而且,对于任何一个, 然后,通过引理2.2英寸高(15), 的Fenchel-Legendre变换是 通过简单的计算,我们可以获得 然后,通过克莱默定理(见Dembo和Zeitouni [13]),我们有 同样的, 而且,对于任何一个, 然后, 的Fenchel-Legendre变换是 然后,我们获得(12),我们完成定理的证明2。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作在一定程度上是由中国国家自然科学基金(没有。11201356)和冶金过程中系统科学湖北省重点实验室(武汉科技大学)(没有。Y201306)。