比较的频率论的马塔和贝叶斯置信区间Model-Averaged置信区间

文摘

模型平均技术用于考虑模型的不确定性,在贝叶斯和频率论者multimodel推断。在本文中,我们比较model-averaged贝叶斯的性能可靠的间隔和频率论的置信区间。频率论的间隔是根据model-averaged尾数区域(马塔)方法。贝叶斯和频率论的方法之间的差异是通过一个例子说明涉及云种散播。每个技术的覆盖性能和区间宽度然后使用模拟研究。一个频率论的马塔间隔执行最好在正常线性设置,而贝叶斯可信区间收益率对数正态环境最好的覆盖性能。使用视先验概率的模型提高了覆盖率model-averaged贝叶斯区间,相对于先验概率,使用统一的模型。视模型先验概率是哲学上有争议的贝叶斯统计,和我们的研究结果表明,它们的使用是有益的,当平均模型。

1。介绍

从历史上看,统计推断是基于单个模型从一组预先确定的候选人中选择模型,没有津贴为模型的不确定性。这个模型选择的过程已被证明产生偏见的估计和导致不正确的计算标准错误条件(1- - - - - -4]。最近,平均模型已经得到普及作为一种技术将模型不确定性推理的过程(5- - - - - -7]。平均的使用模型研究了在各种设置(例如,(8,9]),它通常展品良好的结果相对传统模式的选择。

在贝叶斯模型平均是一个自然的扩展模式,介绍了模型的选择作为一个discrete-valued参数。为这个参数指定一个先验概率质量函数,定义每个候选人的先验概率模型。后验概率模型是由模型参数的后验分布,以及模型参数的后验分布没有条件在一个特定的模型,因此自然占模型不确定性(10,11]。在实践中,贝叶斯模型平均是通过允许吉布斯采样器遍历扩充的参数空间,产生近似后验分布的兴趣。由计算的最新进展,贝叶斯模型平均已广泛应用于各种应用领域(例如,12- - - - - -14])。

频率论的设置,model-averaged估计被定义为单模估计的加权总和:,在那里是下的估计模型、模型权重决定从一个信息准则AIC等的总和超过设置候选人的模型。

几种方法来构造频率论者model-averaged置信区间已经建议。瓦尔德间隔的形式,在那里是标准正态分布的分位数,依赖于准确的估计的标准误差。估计这一项复杂模型权重和单模估计都是随机量。伯纳姆和安德森(6)建议的各种形式,研究了Claeskens和Hjort7和,塔瑞克和弗莱彻15]。在这些研究中,model-averaged沃尔德间隔的这种形式被发现在覆盖率方面表现不佳。

建设的另一种方法频率论的提出model-averaged间隔,塔瑞克和弗莱彻(15]。这里,每个置信界限的价值被定义为一个加权和的单模沃尔德间隔错误率等于所需的错误率。因为这涉及到平均抽样分布的“尾部区域”单模估计,这个新建筑称为model-averaged尾数区域瓦尔德(MATA-Wald)间隔。在仿真研究中,塔瑞克和弗莱彻(15),MATA-Wald间隔超过model-averaged间隔的形式。弗莱彻和图雷克(16]应用马塔建设概要间隔生产可能性model-averaged尾区概要(MATA-PL)可能性区间。覆盖的属性马塔置信区间也研究Kabaila et al。17),提出了一种改变了版本的马塔间隔由余et al。18]。

在本文中,我们比较的性能model-averaged贝叶斯的可信区间和MATA-Wald MATA-PL图雷克和弗莱彻15和弗莱彻和图雷克16]。使用各种模型先验概率的影响和参数先验分布在贝叶斯区间。我们还研究了使用的几个信息标准重量计算频率论的模型。这些间隔的渐近性质的理论研究是复杂的随机模型的自然重量。由于这个原因,我们评估这些间隔的性能模拟研究。

节2,我们定义贝叶斯和频率论者model-averaged间隔。这些间隔之间的差异部分所示3通过一个例子涉及云种散播。我们描述使用的模拟研究比较这些间隔部分4和现在的这项研究的结果5。我们得出这样的结论与讨论部分6。

2。Model-Averaged间隔

假设一组候选人模型存在,感兴趣的参数是常见的所有模型。对数据,让模型有似然函数,参数化和多余参数,这可能是向量值。我们现在定义贝叶斯和频率论者model-averaged间隔。

2.1。贝叶斯区间

model-averaged后验分布是 在哪里后验分布的吗在模型和的后验概率(10]。一个equal-tailedmodel-averaged贝叶斯(MAB)可信区间的定义和分位数的。

每个后验分布在(1)可以通过集成联合后,表示 贝叶斯定理,联合先验分布的参数吗和下。的后验概率模型(1)可以表示为,在那里的先验概率模型和是集成的可能性,由

评估的积分(2)和(3)通常是困难的在实践中,马尔可夫链蒙特卡罗(密度)模拟用于近似后验分布的兴趣。multimodel情况下,这是获得使用可逆跳转实现模型(RJMCMC)算法(19]。

2.2。频率论的间隔

构造的频率论的马塔间隔的方式类似于贝叶斯模型平均。置信区间定义的加权和错误率在每个单模区间会产生所需的总体错误率。利用模型权重,这是来自一个信息标准。

我们最初专注于标准的信息定义模型的权重,最大化和可能性参数的数量。模型的权重计算,在那里和是信息的价值标准模型(20.]。其他的选择标准定义的信息模型权重在讨论部分解决6。

2.2.1。MATA-Wald间隔

在正常的线性模型,限制的信心和的单模瓦尔德区间满足的方程 在哪里的分布函数是分布与自由度,是相关的误差自由度模型,,,估计的标准误差(21,22]。构造MATA-Wald间隔使用单模错误率的加权和。上下信心MATA-Wald间隔限制,和,被定义为满足的值 在模型有错误的自由度,,,是估计的在模型。

MATA-Wald间隔可能推广到非正态的数据,假设我们可以指定一个转换的抽样分布大约是正常的时候是真的。例如,当是一个概率。在这种情况下,限制MATA-Wald信心和值满足方程的一对吗 在哪里是标准正态分布函数,,,,出发,塔瑞克和弗莱彻15]。

2.2.2。马塔概要可能性区间

假设一个模型与似然函数,限制和的配置文件可能区间满足 在哪里是签署了似然比统计量,定义为 和配置文件似然函数吗(23,126 - 129页)。的限制和MATA-PL间隔的值被定义为满足 在哪里定义相应的似然函数,如(8),所述的弗莱彻和图雷克(16]。

3所示。例子

我们使用云种散播的研究来说明这些模型平均方法之间的区别。有明确的证据表明,云层造成的平均体积的增加降雨(24- - - - - -26]。然而,这种影响可能取决于大小的云层的运动模式。随着降雨体积农业影响,可能影响结果的实用性和焦点播云操作。我们考虑的数据来自测试进行的实验室实验气象学在佛罗里达州,美国。降雨总量测定27静止的云,16的播种和11的种子。完整的数据集出现在Biondini [27),与我们的分析提出了相关表子集1。

假设我们的目标是预测预期的降雨从播种、静止的云。对数正态分布可以提供一个好的模型对降雨总量(27]。表示降水的体积从播种、静止的云,在那里和降雨造成的体积种子,静止的云,在那里。让感兴趣的数量产生的预期雨卷的云,两个模型,我们考虑以下: : ; : 和未指明的。

在贝叶斯分析中,我们使用一个模糊的参数的先验分布和,一个统一的先验分布区间为(28),并为每个模型先验概率相等。我们跑了一个获得300000次迭代的算法,以5%的老化时间。收敛是评估使用Brooks-Gelman-Rubin (BGR)诊断两个平行链(29日,30.]。与所有BGR为每个模型中,这表明收敛值小于1.008。

频率论的模型适合使用最大似然。因为我们的预测很感兴趣,每个reparameterized使用似然函数在的地方和在的地方。根据(MATA-Wald间隔了6)和MATA-PL间隔后(9),这两个使用AIC权重。

由此产生的贝叶斯后验概率模型,等于模型先验概率两位小数。AIC权重略青睐,和。图1显示了预测的意思是雨体积从播种、静止的云,置信区间为95%。预测和置信区间下的单模推论所示和平均,以及使用模型。

贝叶斯后验均值和最大似然估计预测降雨相当类似,贝叶斯估计是大约高15%在每个模型。正如所料,所有的估计(播种可能导致降雨增加)大于以下。

方法之间的差异凸显了置信区间为预期的降雨。下限都相当类似,从贝叶斯分析明显高于上限频率论的分析。尤其如此也当模型平均,马伯间隔比MATA-Wald间隔宽62%。马伯间隔产生视觉上吸引人的单模贝叶斯区间之间的妥协,尤其是当考虑到模型的高度不确定性。

每个概要可能性区间比相应的瓦尔德间隔稍微不对称,这与预期的一致。再次频繁model-averaged间隔下产生一个令人愉快的单独的推论在每个模型之间的妥协。模型不确定性的存在,似乎适合使用model-averaged间隔的总结分析的结果。重要的是要意识到这里介绍的概括性分析。同样的方法也同样适用于任何数据分析情况存在模型不确定性,这意味着真正的,底层的数据生成模型是未知的。

4所示。模拟研究

基于部分中的示例3,我们认为两个示例的仿真研究中,使用正常,对数正态数据。观察被生成或,因为和。我们固定,,多样的样本大小10至100。我们专注于预测,因为。在对数正态的情况下,,所以可能再次reparameterized使用在的地方。两个模型考虑 : ; : 和未指明的。

每个方法的性能评估的实际覆盖率,定义成比例的模拟。我们平均超过20000模拟结果,确保标准错误覆盖率不到0.3%。此外,我们计算均值区间宽度的方法,定义为。所有的计算都是在R,版本2.13.0 [31日]。

4.1。贝叶斯的实现

三套先验概率被认为,建设的三个不同的model-averaged贝叶斯间隔。第一个贝叶斯区间(MAB)等于先验概率用于每个模型和先验分布参数的“平”,和所显示> (28]。第二个时间间隔()使用相同的模型先验概率和杰弗里斯的先验分布不当32)的参数:和(见,例如,33])。第三个间隔()使用平面参数的先验分布和Kullback-Leibler(吉隆坡)为每个模型先验概率,定义为 在哪里模型参数的数量(6,302 - 305页)。KL模型之前是一个贝叶斯与频率论的AIC模型权重,设计生产后模型渐近等于AIC概率模型权重。

吉布斯采样器是实现R,使用RJMCMC算法。收敛性的两个平行链再次使用BGR融合诊断评估。模拟100000年之后没有收敛的迭代()被丢弃。总的来说,99.7%的模拟被保留,最大BGR值为1.099,平均BGR值1.007。初始的5%作为老化模拟遭到抛弃。

4.2。频率论的实现

频率论的model-averaged间隔了利用AIC权重,定义部分2。2。正常线性模拟,MATA-Wald间隔了使用(5)和对数正态MATA-Wald间隔后(6)。根据(MATA-PL间隔定义9),使用reparameterized对数正态情况下可能性。数值解这些方程被发现使用R root-finding命令uniroot。

5。结果

在正常线性设置,结果和是相同的对称。此外,在对数正态设置,结果定性相似和。因此,为简单起见,我们关注的结果。图2(一个)显示了估计MATA-Wald覆盖率,MATA-PL,马伯间隔。MATA-Wald间隔执行最好的,尤其是小样本大小,其次是MATA-PL和马伯间隔。所有间隔渐近方法名义覆盖率为95%。我们期望MATA-Wald间隔执行是生成模型,以及基于该模型的瓦尔德间隔将在此设置实现精确的名义覆盖率。观察覆盖率和区间宽度之间的权衡,报道也策划反对意味着区间宽度。可比区间宽度,MATA-Wald间隔达到明显改善性能。

图2 (b)为贝叶斯马伯,提供相同的比较,间隔。的间隔覆盖提供了一个明显的改善性能,因为相比马伯,间隔,每个使用等于先验概率模型。利用KL先验概率模型间隔提供了一个提高近2%覆盖率为小样本大小。这种改善正值区间宽度没有明显增加。此外,用主人公的先验分布参数略降解性能的贝叶斯区间,相对于使用平坦的先验分布。

图3对数正态设置提供了类似的比较。马伯间隔优于小样本的频率论的间隔尺寸,虽然它需要大幅提高区间宽度。马伯区间仍大致在1%的名义覆盖率为所有样本大小,而频率论的间隔偏离高达3%。MATA-Wald间隔执行比MATA-PL间隔,都表现出类似的间隔宽度。

对数正态的贝叶斯间隔设置的比较定性类似于正常线性设置。使用KL的先验概率模型间隔的使用提供了一个改进等于先验概率,杰弗里斯在这里使用“先验分布参数的严重降低性能,相对于使用平坦的先验分布。总的来说,贝叶斯区间利用KL模型先验概率优于所有其他model-averaged对数正态设置间隔结构。

6。讨论

本文的目的是比较贝叶斯的性能和频率论者model-averaged置信区间。基于模型的频率论的马塔间隔平均错误率单模间隔,而不是构建一个区间model-averaged估计量。这个建筑是类似于贝叶斯模型平均,这个想法最初动机使用类比model-averaged贝叶斯区间[16]。马塔建设进一步研究了图雷克和弗莱彻的工作(15),表明,渐近,马塔间隔将收敛于单模间隔基于候选模型与最小Kullback-Leibler距离真的,生成模型。

通过仿真,频率论者MATA-Wald间隔产生最好的覆盖性能正常线性设置,我们期望沃尔德间隔表现良好。对数正态的环境中,贝叶斯区间产生实质性的改进频率论的间隔。贝叶斯分析完全允许参数不确定性和不依赖于估计量的渐近分布。只要我们愿意接受参数的先验分布,我们可能期望的贝叶斯方法更适合非正规的设置。相反,当瓦尔德间隔的假设是完全满意(与正常数据),使用频率论者MATA-Wald间隔导致改进的覆盖性能。

在两个设置,KL先验概率的使用提供了一个值得注意的改进贝叶斯区间的性能相比,使用相同的先验概率模型。KL模型之前设计生产后模型概率约等于频率论的AIC模型权重。本协议后验概率和模型之间的重量是我们模拟中观察到。

伯纳姆和安德森(6)描述先验概率取决于样本大小和模型的复杂性,如KL之前,“精明的先知先觉,”和认为赞成使用。更大的数据集有可能支持更复杂的模型,这可能证明分配模型先验概率依赖于可用的数据和模型的相对复杂性。

相比之下,链接和巴克(34)认为,对于大样本大小数据应该完全主导先知先觉,和先验概率的使用依赖于样本量可能防止发生。他们还认为,先验概率应该代表一个人的信仰之前的数据收集并没有依靠数据。这是符合框和挑33),之前被定义为“知道没有知识的(参数)的数据。“这差异的一个先验概率可能代表很有趣,特别是考虑到视先验贝叶斯模型平均被认为是有利的。

到目前为止,我们已经提出了结果频率论的马塔间隔使用AIC模型构造权重。两个备用信息标准也认为:(35]和BIC [36]。派生是小修正AIC和在某些情况下可能有利用于模型选择(37]。BIC提供了一个渐近逼近贝叶斯因子和也可以用来近似模型概率也源于模型先验后(34]。

在我们的研究中,基于马塔间隔和BIC权重都不如那些使用AIC权重。这是真正的在这两个模拟设置,以及小样本大小,当一个可能的预期执行最佳。这个结果与弗莱彻和迪林厄姆的结果是一致的38),model-averaged间隔使用AIC权重取得了改善覆盖属性构造各种其他信息标准,包括和BIC。

我们的研究使用的假设“真理是在模型中设置”。这种假设也用于派生MATA-Wald MATA-PL间隔,以及通常在贝叶斯multimodel推论。我们不觉得这种假设会削弱我们的结论,因为所有模型平均技术将不利影响时不满足这种假设。

我们的模拟也跟着假设”最大的模型就是真理。“哲学这并不构成问题,伯纳姆和安德森(6)认为,自然是任意复杂的,是不现实的假设我们可以完全描述底层的过程。从这个角度来看,模型选择尝试识别真理最简洁的近似模型,给出可用的数据。这种假设可能部分解释AIC模型权重的性能优越,自AIC已知有利于增加模型的复杂性39]。然而我们不考虑这个问题,因为结果从弗莱彻和图雷克(16)表明,间隔至少使用AIC权重执行以及那些使用其他信息标准最复杂的模型不生成模型。此外,本文提供的模拟都是重复使用数据生成简单的下两个候选模型()。在这些模拟所有model-averaged结构类似于另一个执行,取得了十分接近名义覆盖率。这将是预期的,因为模型平均发生在两个模型,这两个现在代表真理。

任何仿真研究本质上是有限的范围。我们已经考虑了正常和非正态的数据,以及一个广泛的样本大小,并观察一致的模式。贝叶斯模型平均法更适合非正规的设置,以及频率论者MATA-Wald间隔表现最好在正常线性设置。此外,model-averaged贝叶斯区间的性能是通过使用改进的KL模型之前,一个视先验概率。这个结果提出了考虑什么贝叶斯先验代表;特别是,是否了解大小观察样本的先验概率更新模型提供了依据。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

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