在-Gamma和-Beta分布和矩生成函数

摘要

本文的主要目的是定义γ和-beta分布和时刻在新参数中为所述发行版产生函数．此外，作者还证明了这些新定义的分布的一些属性。

1.基本的定义

在本节中，我们将给出一些定义，这些定义为我们的主要结果提供了基础。定义(1.1-1.3)载于[1[虽然（1.4-1.6）介绍[2］．此外，我们从[中获取了一些统计相关的定义(1.7-1.11)3.-5.］．

1．1.Pochhmmer象征

因子函数表示和定义 这个函数根据关系定义(1）也称为Pochhmmer符号。

1.2。伽玛功能

让；欧拉函数定义为 函数的积分形式是 从关系(3.），使用零件的集成，我们可以轻松显示 Pochhammer符号与伽马功能之间的关系

1．3．β函数

两个变量的测试函数定义为 用函数的形式，可以写成

1.4。Pochhammer-象征

为了，Pochhammer.-symbol由表示和定义

1.5。伽马函数

为了和， 这函数定义为 和积分表示伽马函数

1.6。β函数

为了， 这二元函数定义为 至于-Gamma函数，-beta函数被定义为

此外，研究人员[6.-10都从事广义的研究γ和-beta函数，并讨论了以下性质: 使用上述关系，我们看到了和，以下属性-beta函数由作者满足(见[6.那7.那11): 注意,当那．

有关的理论的更多细节不同寻常的功能如-Gamma函数，β函数,超几何函数，的解超几何微分方程，连续函数关系，有应用的不等式和有应用的积分表示γ和-beta函数等等。(见[12-17]。)

1.7。概率分布和预期值

在一个随机实验中假设有一个变量假设值与相应的概率；这个集合叫做概率分布(在离散分布情况下)。同样,如果连续概率分布函数是定义在一个区间上的吗， 然后．

在统计数据中，有三种类型的时刻（i）关于任何点的时刻， (ii)瞬间，和(iii)关于给定数据的平均位置的矩。并将变量的期望值定义为关于概率分布的一阶矩和关于概率分布的平均值的时刻被定义为在哪里是分布的均值。

同时,显示变化的预期值并定义为关于概率分布的一阶矩；那是，

1.8。伽马分布

连续随机变量是否具有带参数的分布，如果其概率分布函数由 以及它的分布函数被定义为 这也称为不完整的伽玛函数。

1.9。伽马分布的矩源函数

发电机的瞬间被定义为

1.10。第一类分布

连续随机变量有两个参数的分布和，如果其概率分布函数由 该分布被称为第一种的β分布，并且第一种的β变量被称为．它的分销功能是由

1.11。第二类分布

连续随机变量据说是具有参数的第二种β分布和，如果其概率分布函数由 其概率分布函数由

2.主要结果:-Gamma和β分布

在本节中，我们用一个新的参数定义分布和分布并讨论这些分布的一些性质．

定义1。让是一个连续的随机变量;然后据说有一个-gamma分布与参数和，其概率密度函数定义为 以及它的分布函数被定义为

命题2。新定义分布满足以下属性。(我)这-分布是概率分布，曲线下的面积是统一的。(2)意思-gamma分布等于一个参数．（iii）方差分布等于两个参数的乘积．

(我)的证据。使用定义-Gamma分发以及关系（10）， 我们有

（ii）的证明。因为分布的均值是变量的期望值，所以-分布为 使用定义-Gamma函数和关系（13）， 我们有

(3)的证据。随着分布的方差等于，所以方差-gamma分布计算为 现在，我们必须找到，它给出了 因此我们获得了差异-Gamma分配原样 在哪里是文献中存在的方差符号。

2.1。-beta发行第一种

让是一个连续的随机变量;然后据说有一个- 具有两个参数的第一个分布和，如果其概率分布函数由 在上述分布中，第一种的β变量被称为以及它的分布函数是由

命题3。这β分布满足以下基本属性。(我) -beta分布是概率分布是区域的概率分布下一条曲线是统一的。(2)这个分布的均值是．（iii）方差是．

(我)的证据。通过使用上述定义-分布 由关系(11),我们得到

（ii）的证明。分布的均值，， 是（谁）给的 使用关系（12），（13）， 和 （16）， 我们有

(3)的证据。方差是由 因此用的值代替和在(42，再加上一些代数计算，我们就得到了想要的结果。

2.2。-beta分布第二种

连续随机变量据说有一个-beta分布第二种参数和，如果其概率分布函数由

笔记．这第二类的-beta分布表示为．

定理4。这第二类-函数表示一个概率分布函数

证明。我们观察到这一点 让,所以；因此通过使用关系(11），上述等式给出

3.的矩生成函数伽马分布

在这一节中，我们推导了连续随机变量的矩源函数的新定义-Gamma分布在新参数方面，如下图所示 让,所以和．然后将这些值代入(48）， 我们获得 现在区分次关于并施加，我们得到 因此,当， 我们获得,当那,因此=差异-gamma分布在命题中证明2．

3.1。较高的时刻

这表示的时刻是由

定理5。更高阶的时刻第二类的-beta分布是

证明。考虑 将变量改为，则上式变为 替换经过,我们有 现在使用在上面的等式中，我们得到了预期的结果。

4.结论

在本文中，作者得出以下结论。(我)如果倾向于1，然后-Gamma分布和-beta分布往往是古典γ和β发布。(2)作者也得出结论是-Gamma分布和的-分布是一个，他们的平均值等于参数和， 分别。方差的每个正值的-gamma分布等于参数的时间．在这种情况下，那么它就等于分布的方差。方差的-分布也被定义。（iii）本文以一个新的参数引入了矩源函数和高阶矩．

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

承认

作者想要表达深深的感谢裁判员对这篇论文的更深入的审查，以及裁判员的有用建议，导致了这篇论文的改进展示。

参考文献

1. E. D. Rainville，特殊功能，美国纽约，麦克米伦，1960年。查看在：MathSciNet
2. R. Diaz，和E. Pariguan，《超几何函数和波切哈默》$\mathrm{K.}$象征。”Divulgaciones Matematicas，第15卷，第5期。2，页179-192,2007。查看在：谷歌学者|MathSciNet
3. M. G. Kendall和A. Stuart，高级统计理论，卷。2，查尔斯格里芬和公司，伦敦，英国，1961年。
4. r.j. Larsen和m.l. Marx，数理统计及其应用概论，Prentice-Hall International，第5版，2011年。
5. C.沃尔克，给实验员的静态分布手册, 2007年。
6. C. G. Kokologiannaki， "广义的性质和不等式$\mathrm{K.}$和函数，"国际当代数学科学杂志，第5卷，第5期。13-16，第653-660页，2010。查看在：谷歌学者|MathSciNet
7. C. G. Kokologiannaki和V. Krasniqi，“一些属性$\mathrm{K.}$伽玛函数。”Le Matemalatiche.，卷。68，没有。1，pp。13-22，2013。查看在：谷歌学者|Zentralblatt Math.|MathSciNet
8. V. Krasniqi，“{$ k $} - gamma和{$ k $} - beta函数的限制，国际数学论坛，第5卷，第5期。33，pp。1613-1617，2010。查看在：谷歌学者|MathSciNet
9. M. Mansoor，“确定K.广义伽马函数${\Gamma }_{\mathrm{K.}}$通过功能方程式，“当代数学科学学报，第4卷，第4期。2, pp. 1037-1042, 2009。查看在：谷歌学者
10. S. Mubeen和G. M. Habibullah，“一些部分的表现形式$\mathrm{K.}$-UperGeometric函数，“国际数学论坛，第7卷，第5期1-4，pp。203-207,2012。查看在：谷歌学者|MathSciNet
11. S. Mubeen和G. M. Habibullah，”$\mathrm{K.}$分数积分及其应用，”国际当代数学科学杂志，第7卷，第5期1-4，第89-94页，2012。查看在：谷歌学者|MathSciNet
12. S. Mubeen, M. Naz，和G. Rahman， "关于$\mathrm{K.}$-hypergemetric微分方程。”不等式与特殊函数学报，第4卷，第4期。3，pp。38-43,2013。查看在：谷歌学者|MathSciNet
13. S. Mubeen, G. Rahman, A. Rehman, M. Naz，“为$\mathrm{K.}$-UperGeometric函数，“ISRN数学分析， 2014年第4期，文章编号410801,6页，2014年。查看在：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
14. S.Mubeen，M. Naz，A. Rehman和G. Rahman，“的解决方案$\mathrm{K.}$- 高压差分方程式“应用数学学报文章编号128787,13页，2014。查看在：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
15. F. Merovci，“电源产品不等式${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{K.}}$功能”,国际数学分析杂志，第4卷，第4期。21，pp。1007-1012，2010。查看在：谷歌学者|MathSciNet
16. S. Mubeen，A. Rehman和F. Shaheen，“属性$\mathrm{K.}$γ,$\mathrm{K.}$-beta和$\mathrm{K.}$ψ函数”,Bothalia Journal.，第4卷，第371-379页，2014。查看在：谷歌学者
17. A. Rehman，S.Mubeen，N.Adiq和F. Shaheen，“一些不等式涉及K.γ和K.-beta函数与应用程序，“中国不平等和应用，卷。2014年，第224条，16页，2014年。查看在：出版商的网站|谷歌学者

版权

版权所有©2014 Gauhar Rahman等人。这是一篇发布在创意公共归因许可证如果正确引用了原始工作，则允许在任何媒体中的不受限制使用，分发和再现。