文摘
一个序列是一个交替序列如果任何奇数项小于或等于甚至下一个学期甚至任何一项是大于或等于下一个奇怪的词,在那里是一个非负常数。在本文中,我们提出一个最优在线程序选择交替对称分布的随机样本的子序列。我们也提供最优选择率当样本容量趋于无穷。
1。介绍
给定一个有限或无限的序列真正的数字,我们说子序列与是交流如果我们有,在那里是一个非负实数。当,是交替。我们主要关心的长度最长的交替的子序列。在这里,我们研究这个问题的在线选择交替的子序列。现在我们把序列作为提供给我们按顺序,在时间当是可用的,我们必须选择包括什么作为一个学期我们的子序列或拒绝作为我们的子序列。
我们将认为序列是由独立同分布,对称随机变量在区间。在[1),Arlotto等人研究了序列是由独立,同分布,均匀随机变量在区间和。所以本文可以被视为他们的论文的延伸。
现在我们需要更明确网上选择的可行策略。在时间,当呈现给我们的,我们必须决定选择基于其价值,早些时候的值序列的成员,我们已经在过去的行为。所有这些信息可以被说的索引选择,必须停止时间序列的增加字段,,。鉴于任何可行的政策在随机变量是最感兴趣的由政策的选择包括时间。换句话说,等于最大的停止时间这样是一个交替序列的子序列。在这篇文章中,我们感兴趣的最优选择和渐近的最优选择。也就是说,我们有一个政策选择在这样
2。主要结果
为每一个和每个,我们定义一个阈值函数如下:对所有。我们现在递归地定义随机变量通过设置,并如果,如果。介绍一个值函数,在那里是一个常数,是事件的指标函数。
让分布函数和的概率密度函数。如果不是统一的随机变量在区间,我们将假设存在非零。自的时间间隔内是对称的吗,和对所有。
很容易看到 自对所有。为简单起见,我们将让表示固定和。很容易检查,,尽管,,所有,。因为所有的,,对所有。自,对所有。从现在开始,我们将让表示正确的函数的导数在和表示函数的导数在。
为,当我们区分我们有下列微分方程: 自和。现在我们有以下微分方程: Add (3)和(4)在一起,我们有 总之,我们有以下方程: 对所有,让我们定义 然后我们有以下方程:
的证明(9)。区分(4)。再次,我们有 取代通过和替换通过。简化后,我们有以下方程: 增加双方的11),我们得到以下方程: 请注意, 方程(12)可以写成 通过整合双方的14),我们有
因此,我们有以下定理。
定理1。
现在我们有四个未知变量,,,也有四个涉及这四个未知变量的线性方程组。我们解决这四个线性方程,得到以下解决方案。
定理2。
由定理2,当且仅当 自和是积极的。为每一个,让表示一个解决方案的。下一个定理表明,当但足够接近,是独一无二的,。
定理3。当但足够接近,是独一无二的,。
证明。对所有,让 然后 如果是足够接近。因此,和是独一无二的,如果是足够接近。这就完成了定理的证明3。
一个常规的计算如下: 所以我们发现函数的最大值。简化后, 如果是足够接近。因此,作为,在那里
例4。当,然后。
例5。当对所有,然后。
在[1》,提到以下两种策略:(我)最大限度地胆小的策略可以描述如下:开始时,接受第一次观察到不到,然后接受下一个大于,然后接受下一个小于。继续这样直到我们观察观察,然后我们停止;(2)纯粹的贪婪策略可描述如下:一开始,接受第一次观察到,然后接受下一个比第一个更大,接受下一个小于第二个选择一个,然后接受下一个大于第三选择。继续这样直到我们观察观察,然后停止。
现在我们定义这两个策略交替子序列如下:( )最大限度的胆小策略可以描述如下:开始时,接受第一次观察到不到,接受下一个大于不到,接受下一个,然后接受下一个大于。继续这样直到我们观察观察,然后我们停止;( )纯贪婪策略可以描述如下:开始时,接受第一个观察不到,接受下一个大于第一个选择,接受下一个小于第二个选择,然后接受下一个大于第三选择。继续这样直到我们观察观察,然后停止。
当,最大限度地胆小的策略是最大限度地胆小的战略和纯粹贪心策略是纯粹的贪婪策略。事实上,最大限度胆小的策略时的情况和纯贪婪策略时的情况。
渐近的选择率最大胆小的策略是纯粹和渐近的选择率贪婪的策略是。
例6。当,然后渐近的选择率为最大限度地胆小的策略和纯粹的贪婪策略。这些结果是相同的1]。
例7。当对所有,然后渐近的选择率为最大胆小的策略和纯粹贪婪的策略是。很容易看到这些结果一致的结果5。
如果随机变量是独立同分布对称随机变量在区间,在那里和是有限的,那么我们可以改变成通过。然后是独立同分布对称随机变量在区间。让。然后选择一个交替子序列的随机样本同样的选择吗交替子序列的随机样本。渐近的选择率还是一样的。或者我们可以找到直接通过求解以下方程: 为,,阈值函数被定义为对所有。这一次,我们递归地定义随机变量通过设置,并如果,如果。在这里,
从表1看来,当尾巴上的分布具有更高的机会,然后渐近最优选择率较高。另一方面,当中心附近的分布具有更高的机会,然后渐近最优选择率较低。然而,我们没有这种说法的证据。
我们现在考虑的情况下有任意分配。我们已经取得了一些进展,但仍处于不成熟的状态。我们希望能够找到的渐近最优选择率一个出来。