边缘概率密度和累积分布函数提出了多维变量定义为非奇异的仿射变换向量的独立的两件套正常变量,最重要的子类费雷拉和钢铁的多元分布倾斜。获得的边际函数首先表达联合密度Arellano-Valle和Azzalini统一skew-normal密度,然后使用闭包的性质在后者类的边缘化。
1。介绍 概率分布在文献中,有几种方法扩展的多元正态分布的引入一些偏态。Arellano-Valle et al。<一个href="#B2">1一个>这个文学)提供一个统一的视图。最大的贡献是由Azzalini和Dalla瓦莱<一个href="#B10">2一个>]和Azzalini Capitanio [<一个href="#B9">3一个>)并推广了单变量skew-normal (<我>SN)分布研究了Azzalini [<一个href="#B7">4一个>,5一个>]。这些“多元skew-normal分布”是产生一个正态分布通过调节在一个截断变量或一个卷积机制。
另一种方法提出了费雷拉和钢<一个href="#B14">6一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -8一个>)和基于非奇异的仿射变换的随机向量与独立的组件,每个有一个偏态分布的概率密度函数(pdf)由对称分布使用逆比例因子方法引入的费尔南德斯和钢<一个href="#B13">9一个>]。(Arellano-Valle et al。<一个href="#B3">10一个>考虑一般类的单变量分布不对称,包括根据生成的分布过程提出的费尔南德斯和钢<一个href="#B13">9一个>作为一个特例。)如果是标准的单变量对称分布正常,那么相应的单变量偏态分布变得(用不同的参数化)两件套正常(<我>tpn我>)分析了约翰<一个href="#B17">11一个>)(参见约翰逊et al。(<一个href="#B18">12一个>])。要克服的问题overparameterization,费雷拉和钢<一个href="#B15">7一个>,8一个>)特别注意与变换矩阵相关的子类,可以作为产品映像的正交矩阵和对角正定矩阵。同时,拉尔森(<一个href="#B21">13一个>]研究这个子类基本单变量偏态分布<我>tpn我>和命名这些发行版”多元分裂正常。”
根据首字母缩写<我>太阳我>“统一skew-normal”(站),Arellano-Valle和Azzalini<一个href="#B1">14一个>)建议第一种方法的制定,包括最相关的变量的多元共存skew-normal分布。多元正态和<我>SN
分布,类的<我>太阳我>分布是仿射变换下封闭、边缘化和调节给定值的一些组件。除了这些重要的属性<我>太阳我>类也总结下封闭独立的组件。然而,一个限制<我>太阳我>分布的向量位置参数没有直接的诠释的意思或分销的模式,它是相当复杂函数的所有参数。即使是在最简单的情况下的基本<我>SN ,意思是和模式(没有封闭表达式)依赖于参数调节色散和偏态。
费雷拉和钢铁的独立组件方法多元正态分布倾斜(今后的建设<我>FS-SN)提供了一种替代方法<我>太阳我>类应用,重要的是要有一些位置测量并不依赖于分散和偏态参数。事实上,<我>FS-SN分布有方便的功能,模式是分布参数的一部分,因此是分散和偏态不变。此外,<我>FS-SN分布下封闭非奇异的仿射变换。然而,不像<我>太阳我>类,<我>FS-SN分布不是边缘化下封闭(无论是在调节),据我所知,一般的封闭表达式的边际pdf和累积分布函数(cdf)没有在文献中。
本文旨在填补这一空白,提出了边际密度和累积分布函数的表达式<我>FS-SN分布。显然,表情也将适用于多元分裂的子类正态分布研究的同时,拉尔森(<一个href="#B21">13一个>]。使用的技术获得的边际分布很简单,由表达联合<我>FS-SN分配有限奇异的混合物<我>太阳我>分布,然后利用他们的财产在边缘化的闭包。
面积的应用本文给出的结果是宏观经济密度预测。许多机构发布的宏观经济预测补充他们的观点预测信息分散和偏态的概率分布预测错误。风扇图表是一个最流行的工具来传达预测密度,和他们通过使用获得了突出许多央行公布的通胀报告中,英国央行(Bank of England)和瑞典(瑞典中央银行),是这方面的先驱者(<一个href="#B11">15一个>,16一个>)(参阅沃利斯(<一个href="#B22">17一个>,18一个>),茶和沃利斯(<一个href="#B20">19一个>])。预测密度的特征通常是复杂的,机构预测而不是基于单个模型源于不同的竞争模型结合专家判断(尤其是后者有关,偏态,即。,上行和下行风险预测的平衡)。大部分的程序用于生成风扇图表给出的点基线预测和假设的不确定性的来源和不对称单变量<我>tpn我>分布。这些预测误差的来源是根据线性映射,然后聚合设想作为一个近似的基线潜在的未知的数据生成过程。在没有封闭的表达式的具体分布的线性组合<我>tpn我>变量,一些聚合过程基于第一时刻采取非正式的近似,而其他基于数值模拟程序。第一种方法的例子有漂白定影和塞林上校<一个href="#B4">16一个>,20.一个>,21一个>(Kannan)和Elekdag<一个href="#B12">22一个>),而ibsen Pinheiro和斯特维斯(<一个href="#B19">23一个>)选择模拟分布。中给出的结果部分<一个href="#sec3">3一个>允许困难克服这种聚合。
2。的<我>太阳我>和<我>FS-SN 分布如果<我>米我>维随机向量<年代vg height="17.950001" id="M1" style="vertical-align:-4.37273pt;width:184.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 184.5625 17.950001" width="184.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∼
,
(
,
,
,
Ω
∗
)
,那么它的pdf和cdf,分别对任何观点<年代vg height="16.725" id="M2" style="vertical-align:-2.5707pt;width:51.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.5 16.725" width="51.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
∣
,
,
,
∗
=
(
−
∣
)
+
−
−
(
−
)
∣
−
−
(
∣
)
,
(
2
。
1
)
∣
,
,
,
∗
=
+
−
1
(
−
)
∣
∗
(
∣
)
,
(
2
。
2
)
在哪里<年代vg height="14.8125" id="M5" style="vertical-align:-3.13504pt;width:91.699997px;" version="1.1" viewbox="0 0 91.699997 14.8125" width="91.699997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
−
∣
Ω
)
和<年代vg height="14.8125" id="M6" style="vertical-align:-3.13504pt;width:93.212502px;" version="1.1" viewbox="0 0 93.212502 14.8125" width="93.212502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Φ
(
−
∣
Ω
)
分别表示,pdf和cdf实验组的点<年代vg height="10.5375" id="M7" style="vertical-align:-2.5707pt;width:8.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.25 10.5375" width="8.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的正态分布<年代vg height="14.7375" id="M8" style="vertical-align:-3.13504pt;width:62.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.799999 14.7375" width="62.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
Ω
)
,<年代vg height="14" id="M9" style="vertical-align:-2.54562pt;width:59.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.224998 14" width="59.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
×
1
)
和<年代vg height="13.85" id="M10" style="vertical-align:-2.53308pt;width:57.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.087502 13.85" width="57.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
×
1
)
向量的参数,<年代vg height="13.45" id="M11" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.525002 13.45" width="70.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
(
×
)
是一个正定协方差矩阵,<年代vg height="7.5" id="M12" style="vertical-align:-0.1254pt;width:10.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.8625 7.5" width="10.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
×
)
标准差是对角矩阵形成的<年代vg height="10.6875" id="M14" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.75 10.6875" width="11.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
,<年代vg height="18.612499" id="M15" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.525002 18.612499" width="70.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
(
×
)
相关的相关矩阵吗<年代vg height="10.6875" id="M16" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.75 10.6875" width="11.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
(因此<年代vg height="16" id="M17" style="vertical-align:-0.1254pt;width:64.237503px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.237503 16" width="64.237503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
=
Ω
),<年代vg height="16.4125" id="M18" style="vertical-align:-3.13504pt;width:56.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.875 16.4125" width="56.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
与<年代vg height="16.674999" id="M19" style="vertical-align:-3.13504pt;width:85.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.462502 16.674999" width="85.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
1
⋯
1
]
(
×
1
)
,<年代vg height="10.475" id="M21" style="vertical-align:-0.0pt;width:9.3000002px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.3000002 10.475" width="9.3000002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Γ
(
×
)
是一个正定关联矩阵,然后呢<年代vg height="10.6625" id="M23" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.6625" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
(
×
)
是这样的,<年代pan class="equation" id="eq1">
∗
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
(
(
+
)
×
(
+
)
)
(
2
。
3
)
也是一个相关矩阵(半定积极)。(Arellano-Valle和Azzalini [<一个href="#B1">14一个>附录C]考虑奇异的三种情况<我>太阳我>分布:<年代vg height="10.6875" id="M26" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.75 10.6875" width="11.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
单数;(2)<年代vg height="10.475" id="M27" style="vertical-align:-0.0pt;width:9.3000002px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.3000002 10.475" width="9.3000002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Γ
单数;(3)<年代vg height="11.7375" id="M28" style="vertical-align:-0.0pt;width:18.1px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.1 11.7375" width="18.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
∗
与非奇异的奇异<年代vg height="10.6875" id="M29" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.75 10.6875" width="11.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
和<年代vg height="10.475" id="M30" style="vertical-align:-0.0pt;width:9.3000002px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.3000002 10.475" width="9.3000002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Γ
。就我们的目的而言,唯一重要的是后一种情况。)的<我>太阳我>崩溃时多元正态分布<年代vg height="11.075" id="M31" style="vertical-align:-0.16302pt;width:38.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.612499 11.075" width="38.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
,<年代vg height="10.6625" id="M32" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.6625" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
的矩阵参数调节偏态。基本的多元崩溃<我>SN 分布提出了Azzalini和Dalla瓦莱<一个href="#B10">2一个>)当<年代vg height="10.6875" id="M33" style="vertical-align:-0.0pt;width:40.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.625 10.6875" width="40.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
和<年代vg height="14.0375" id="M34" style="vertical-align:-2.53308pt;width:35.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.8125 14.0375" width="35.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(这意味着<年代vg height="10.6875" id="M35" style="vertical-align:-0.0pt;width:36.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.5 10.6875" width="36.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Γ
=
1
)。
现在我们标量随机变量<年代vg height="14.325" id="M36" style="vertical-align:-3.20526pt;width:17.200001px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.200001 14.325" width="17.200001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是<我>tpn我>分布式零模式。它的pdf可以参数化如下:<年代pan class="equation" id="EEq3">
∣
,
=
2
−
1
+
−
1
−
1
−
1
,
≤
0
2
−
1
+
−
1
−
1
−
1
−
1
,
>
0
(
2
。
4
)
在哪里<年代vg height="13.55" id="M38" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.825001 13.55" width="25.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
表示<年代vg height="13.45" id="M39" style="vertical-align:-2.21957pt;width:45.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.974998 13.45" width="45.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
pdf,<年代vg height="14.6875" id="M40" style="vertical-align:-3.20526pt;width:55.3125px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.3125 14.6875" width="55.3125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
>
0
)
是一个尺度参数,<年代vg height="14.6875" id="M41" style="vertical-align:-3.20526pt;width:47.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.025002 14.6875" width="47.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
>
0
)
是一个形状参数。当<年代vg height="14.6875" id="M42" style="vertical-align:-3.20526pt;width:40.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.950001 14.6875" width="40.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
,密度变得正常的pdf与零均值和标准偏差<年代vg height="11.0125" id="M43" style="vertical-align:-3.20526pt;width:16.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.825001 11.0125" width="16.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(所以当后者参数是1 pdf崩溃<年代vg height="14.6875" id="M44" style="vertical-align:-3.20526pt;width:34.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.087502 14.6875" width="34.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
)。的值<年代vg height="14.5625" id="M45" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.75 14.5625" width="13.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
高于(低于)统一对应密度倾斜向右(左)。让<年代vg height="10.9875" id="M46" style="vertical-align:-0.23827pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个<我>N
维随机向量的独立<我>tpn我>组件<年代vg height="11.0125" id="M47" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.5875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.5875 11.0125" width="13.5875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
与零模式和统一的规模<年代vg height="14.6875" id="M48" style="vertical-align:-3.20526pt;width:44.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.025002 14.6875" width="44.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
。它的pdf是<年代pan class="equation" id="EEq4">
(
∣
)
=
=
1
∣
1
,
,
(
2
。
5
)
在哪里<年代vg height="17.4" id="M50" style="vertical-align:-5.37971pt;width:37.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.262501 17.4" width="37.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是在(<一个href="#EEq3">2.4一个>)(
=
1
),<年代vg height="14.7375" id="M52" style="vertical-align:-3.13504pt;width:95.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.099998 14.7375" width="95.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
1
⋯
]
′
。一个<我>N 维随机向量<年代vg height="10.6875" id="M53" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.6875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
据说是<年代vg height="14.8125" id="M54" style="vertical-align:-3.13504pt;width:114.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 114.125 14.8125" width="114.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
- - - - - -
(
,
,
)
如果有一个随机向量分布<年代vg height="10.9875" id="M55" style="vertical-align:-0.23827pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
与密度(<一个href="#EEq4">2.5一个>)和两个向量<年代vg height="10.3625" id="M56" style="vertical-align:-2.5707pt;width:10.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.0625 10.3625" width="10.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(联合模式)<年代vg height="11" id="M57" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.9750004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9750004 11" width="8.9750004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(“形状向量”)和一个满秩矩阵<年代vg height="10.9125" id="M58" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9125" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(“矩阵”)等<年代vg height="14.1125" id="M59" style="vertical-align:-2.5707pt;width:80.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.962502 14.1125" width="80.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
。向量<年代vg height="10.6875" id="M60" style="vertical-align:-0.0pt;width:16.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.612499 10.6875" width="16.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
有pdf<年代pan class="equation" id="eq2">
|
|
|
|
(
∣
,
,
)
=
d
e
t
(
)
−
1
−
1
(
−
)
∣
。
(
2
。
6
)
这是简单的确认(我)<年代vg height="11.075" id="M62" style="vertical-align:-0.16302pt;width:36.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.174999 11.075" width="36.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,这个密度崩溃的pdf<年代vg height="16.9" id="M63" style="vertical-align:-3.13504pt;width:78.112503px;" version="1.1" viewbox="0 0 78.112503 16.9" width="78.112503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
分配,(ii)<年代vg height="14.8125" id="M64" style="vertical-align:-3.13504pt;width:114.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 114.125 14.8125" width="114.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
- - - - - -
(
,
,
)
是单峰分布模式<年代vg height="10.3625" id="M65" style="vertical-align:-2.5707pt;width:10.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.0625 10.3625" width="10.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,不变<年代vg height="10.9125" id="M66" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9125" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="11" id="M67" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.9750004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9750004 11" width="8.9750004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,(iii)建设<我>FS-SN 类是满秩仿射变换下封闭。
3所示。边际<我>FS-SN分布 建立额外的符号,让<年代vg height="14.6" id="M68" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.125 14.6" width="17.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
表示顺序的单位矩阵<我>N,让<年代vg height="13.55" id="M69" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.2875 13.55" width="25.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
零向量中元素的数量<年代vg height="7.3249998" id="M70" style="vertical-align:-0.0pt;width:7.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.375 7.3249998" width="7.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="13.55" id="M71" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.2125px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.2125 13.55" width="29.2125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
如果一个向量的所有元素<年代vg height="7.3249998" id="M72" style="vertical-align:-0.0pt;width:7.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.375 7.3249998" width="7.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是负的,否则为0,<年代vg height="14.6875" id="M73" style="vertical-align:-3.20526pt;width:210.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 210.6875 14.6875" width="210.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
1
(
)
,
…
,
(
)
,
…
,
(
)
)
通用的元素<我>Nth笛卡尔的力量<年代vg height="13.575" id="M74" style="vertical-align:-2.26974pt;width:53.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.625 13.575" width="53.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
−
1
;
1
}
(
w
我
t
h
c
一个
r
d
我
n
一个
l
2
)
,<年代vg height="14.8375" id="M76" style="vertical-align:-3.24284pt;width:120.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 120.125 14.8375" width="120.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
d
我
一个
g
(
(
)
)
(
×
)
,<年代vg height="19.987499" id="M78" style="vertical-align:-3.24284pt;width:119.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 119.3875 19.987499" width="119.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Θ
(
)
=
d
我
一个
g
(
(
)
)
(
×
)
,<年代vg height="16.75" id="M80" style="vertical-align:-2.21957pt;width:291.63751px;" version="1.1" viewbox="0 0 291.63751 16.75" width="291.63751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
(
)
=
(
Θ
(
)
(
)
]
(
Θ
(
)
(
)
]
′
=
Θ
2
(
)
,<年代vg height="17.5" id="M81" style="vertical-align:-2.73372pt;width:137.3625px;" version="1.1" viewbox="0 0 137.3625 17.5" width="137.3625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
d
我
一个
g
(
Ω
(
)
)
]
1
/
2
,<年代vg height="16.4125" id="M82" style="vertical-align:-3.13504pt;width:87.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.412498 16.4125" width="87.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
)
,<年代vg height="16.5375" id="M83" style="vertical-align:-2.21957pt;width:150.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 150.925 16.5375" width="150.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
(
)
=
−
1
(
)
Θ
(
)
(
)
和<年代vg height="18.612499" id="M84" style="vertical-align:-2.21957pt;width:229.33749px;" version="1.1" viewbox="0 0 229.33749 18.612499" width="229.33749" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
(
)
=
−
1
(
)
Ω
(
)
−
1
(
)
=
Δ
(
)
Δ
(
)
。
命题3.1。年代pan>提供的pdf和n维随机向量我><年代pan class="equation" id="eq3">
∼
- - - - - -
(
,
,
)
(
3
。
1
)
规模满秩矩阵<年代vg height="10.9125" id="M86" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9125" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
分别可以表示为我><年代pan class="equation" id="eq4">
(
∣
,
,
)
=
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
∣
,
,
(
)
,
∗
,
(
)
(
∣
,
,
)
=
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
∣
,
,
(
)
,
∗
,
(
)
(
3
。
2
)
在哪里<年代vg height="14.6" id="M88" style="vertical-align:-3.13504pt;width:31.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.950001 14.6" width="31.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和<年代vg height="14.6" id="M89" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.737499 14.6" width="35.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
pdf和cdfs奇异吗<年代vg height="17.950001" id="M90" style="vertical-align:-4.37273pt;width:164.5125px;" version="1.1" viewbox="0 0 164.5125 17.950001" width="164.5125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
(
,
,
(
)
,
Ω
∗
(
)
)
分布,<年代vg height="28.9625" id="M91" style="vertical-align:-8.4331pt;width:243.46249px;" version="1.1" viewbox="0 0 243.46249 28.9625" width="243.46249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
∗
(
)
=
Δ
(
)
Δ
(
)
Ω
(
)
=
Δ
(
)
(
Δ
(
)
]
。后者函数可以写成我><年代pan class="equation" id="eq5">
∣
,
,
(
)
,
∗
(
)
=
2
−
(
−
)
(
−
∣
(
)
)
(
)
−
1
(
)
−
1
,
(
−
)
∣
,
,
(
)
,
∗
(
)
=
2
2
⎛
⎜
⎜
⎝
⎡
⎢
⎢
⎣
−
1
⎤
⎥
⎥
⎦
(
)
(
−
)
∣
∗
⎞
⎟
⎟
⎠
(
)
=
2
{
∣
≤
,
(
)
(
)
≤
−
}
∣
。
(
3
。
3
)
请注意,<年代pan class="equation" id="eq6">
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
=
=
1
+
−
1
2
−
1
=
1
=
1
(
)
=
1
。
(
3
。
4
)
因此,分布<年代vg height="14.475" id="M94" style="vertical-align:-3.13504pt;width:60.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 60.612499 14.475" width="60.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
- - - - - -
可以设想为一个有限的混合物奇异吗<年代vg height="16.012501" id="M95" style="vertical-align:-4.37273pt;width:57.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.5625 16.012501" width="57.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
分布。
所指出的Arellano-Valle和Azzalini [<一个href="#B1">14一个>附录C],等级不足<年代vg height="14.5" id="M96" style="vertical-align:-2.21957pt;width:38.575001px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.575001 14.5" width="38.575001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
∗
(
)
不影响的属性<我>太阳我>分布及其只计算性质的影响。在我们的例子中,它实际上简化了pdf的计算值,因为评估不需要正常运作了,不像当计算(<一个href="#EEq1">2.1一个>)的一般表达式<我>太阳我>pdf。
为了推导出边际pdf和cdfs的<年代vg height="10.6875" id="M97" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.6875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,它需要考虑一个分区<年代vg height="16.7125" id="M98" style="vertical-align:-3.13504pt;width:100.45px;" version="1.1" viewbox="0 0 100.45 16.7125" width="100.45" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
′
′
]
与<年代vg height="14.6" id="M99" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.5 14.6" width="17.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
和<年代vg height="14.6" id="M100" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.5 14.6" width="17.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
的维度<年代vg height="14.2375" id="M101" style="vertical-align:-3.13504pt;width:19.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.512501 14.2375" width="19.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
和<年代vg height="14.2375" id="M102" style="vertical-align:-3.13504pt;width:19.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.512501 14.2375" width="19.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
分别和相应的分区<年代pan class="equation" id="eq7">
⎡
⎢
⎢
⎣
=
1
2
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
,
=
1
2
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
,
(
)
=
1
(
)
2
(
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
)
,
(
)
=
1
1
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
2
(
⎤
⎥
⎥
⎦
,
⎡
⎢
⎢
⎣
)
(
)
=
1
(
)
2
⎤
⎥
⎥
⎦
,
(
)
⎡
⎢
⎢
⎣
(
)
=
1
(
)
2
⎤
⎥
⎥
⎦
(
)
(
3
。
5
)
与<年代vg height="14.8125" id="M104" style="vertical-align:-3.13504pt;width:77.550003px;" version="1.1" viewbox="0 0 77.550003 14.8125" width="77.550003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
1
×
)
,<年代vg height="19.0375" id="M105" style="vertical-align:-4.22832pt;width:223.16251px;" version="1.1" viewbox="0 0 223.16251 19.0375" width="223.16251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
1
(
)
=
1
−
1
(
)
1
Θ
(
)
(
)
(
1
×
)
,<年代vg height="18.825001" id="M106" style="vertical-align:-3.88356pt;width:129.8875px;" version="1.1" viewbox="0 0 129.8875 18.825001" width="129.8875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
1
1
(
)
=
1
Θ
2
(
)
1
′
(
1
×
1
)
,<年代vg height="18" id="M108" style="vertical-align:-3.13504pt;width:155.0125px;" version="1.1" viewbox="0 0 155.0125 18" width="155.0125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
=
(
d
我
一个
g
(
Ω
1
1
(
)
)
]
1
/
2
,<年代vg height="21.112499" id="M109" style="vertical-align:-4.22832pt;width:264.63751px;" version="1.1" viewbox="0 0 264.63751 21.112499" width="264.63751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
1
1
(
)
=
1
−
1
(
)
Ω
1
1
(
)
1
−
1
(
)
=
Δ
1
(
)
Δ
1
(
)
,<年代vg height="19.15" id="M110" style="vertical-align:-5.32956pt;width:103.15px;" version="1.1" viewbox="0 0 103.15 19.15" width="103.15" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
=
1
(
)
1
。命题<一个href="#prop2">3.2一个>是直接从命题<一个href="#prop1">3.1一个>从结果Arellano-Valle和Azzalini [<一个href="#B1">14一个>附录A)的成员的边际分布<我>太阳我>类。
命题3.2。年代pan>让<年代vg height="16.7125" id="M111" style="vertical-align:-3.13504pt;width:230.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 230.1875 16.7125" width="230.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
1
′
2
′
]
∼
- - - - - -
(
,
,
)
。然后,边际pdf的运作<年代vg height="14.2375" id="M112" style="vertical-align:-3.13504pt;width:19.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.512501 14.2375" width="19.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
维subvector<年代vg height="14.6" id="M113" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.125 14.6" width="33.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
分别是,我><年代pan class="equation" id="eq8">
1
1
∣
1
,
1
=
,
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
1
1
∣
1
,
,
1
(
)
,
∗
1
1
,
(
)
1
1
∣
1
,
1
=
,
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
1
1
∣
1
,
,
1
(
)
,
∗
1
1
,
(
)
(
3
。
6
)
在哪里<年代vg height="17.3375" id="M115" style="vertical-align:-5.32956pt;width:36.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.487499 17.3375" width="36.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
和<年代vg height="17.3375" id="M116" style="vertical-align:-5.32956pt;width:40.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.262501 17.3375" width="40.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
pdf和cdfs奇异吗<年代vg height="19.15" id="M117" style="vertical-align:-5.32956pt;width:191.64999px;" version="1.1" viewbox="0 0 191.64999 19.15" width="191.64999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
,
(
1
,
,
1
(
)
,
Ω
∗
1
1
(
)
)
分布,<年代vg height="28.9625" id="M118" style="vertical-align:-8.4331pt;width:268.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 268.78751 28.9625" width="268.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
∗
1
1
(
)
=
Δ
1
(
)
′
Δ
1
(
)
Ω
1
1
(
)
=
Δ
1
(
)
(
Δ
1
(
)
]
。后者函数可以写成我><年代pan class="equation" id="eq9">
1
1
∣
1
,
,
1
(
)
,
∗
1
1
(
)
=
2
−
(
1
−
1
)
1
1
−
1
∣
1
1
(
)
(
)
(
)
1
′
1
2
(
)
1
′
−
1
1
−
1
,
1
1
∣
1
,
,
1
(
)
,
∗
1
1
(
)
=
2
Φ
+
1
⎛
⎜
⎜
⎝
⎡
⎢
⎢
⎣
1
−
1
(
)
1
−
1
⎤
⎥
⎥
⎦
∣
∗
1
1
⎞
⎟
⎟
⎠
(
)
=
2
{
∣
≤
,
1
(
)
(
)
≤
1
−
1
}
∣
。
(
3
。
7
)
附录 命题的证明<一个href="#prop1">3.1一个>当<年代vg height="14.6875" id="M120" style="vertical-align:-3.20526pt;width:44.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.025002 14.6875" width="44.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
单变量的pdf<我>tpn我>(2.4一个>)可以写成<年代pan class="equation" id="eq10">
∣
1
,
=
1
+
2
−
1
ℎ
−
∣
−
1
+
1
+
−
2
−
1
ℎ
∣
,
(
一个
。
1
)
在哪里<年代pan class="equation" id="eq11">
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
√
ℎ
(
∣
)
=
0
(
<
0
)
,
2
−
1
2
(
=
0
)
,
(
>
0
)
。
(
一个
。
2
)
因此,从(<一个href="#EEq4">2.5一个>),
(
∣
)
=
=
1
1
+
2
−
1
ℎ
−
∣
−
1
+
1
+
−
2
−
1
ℎ
∣
=
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
ℎ
(
)
∣
(
)
。
(
一个
。
3
)
请注意,<年代vg height="19.9375" id="M124" style="vertical-align:-3.20526pt;width:132.8px;" version="1.1" viewbox="0 0 132.8 19.9375" width="132.8" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
(
)
∣
(
)
)
=
0
每当<年代vg height="14.6875" id="M125" style="vertical-align:-3.20526pt;width:70.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.599998 14.6875" width="70.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
<
0
。因此,后者的非零项求和是联系在一起的<我>N 元组<年代vg height="13.45" id="M126" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.0875px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.0875 13.45" width="24.0875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
的<年代vg height="14.6875" id="M127" style="vertical-align:-3.20526pt;width:75.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.800003 14.6875" width="75.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≥
0
(
=
1
,
…
,
)
。如果<年代vg height="14.6875" id="M129" style="vertical-align:-3.20526pt;width:42.537498px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.537498 14.6875" width="42.537498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
(
=
1
,
…
,
)
只有一个这样的词。如果<年代vg height="7.5500002" id="M131" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.8125 7.5500002" width="8.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
包括<年代vg height="13.55" id="M132" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.0375 13.55" width="27.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
零元素,有<年代vg height="13.9875" id="M133" style="vertical-align:-0.0pt;width:27.4px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.4 13.9875" width="27.4" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
(
)
非零在前面的总和相同的术语。在这两种情况下,密度<年代vg height="10.9875" id="M134" style="vertical-align:-0.23827pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
可以表示如下:<年代pan class="equation" id="eq13">
(
∣
)
=
2
=
1
+
−
1
−
1
−
年代
g
n
(
)
=
=
1
+
−
1
−
1
l
我
米
→
+
∞
=
1
2
Φ
−
+
2
−
1
Φ
−
1
=
=
1
+
−
1
−
1
l
我
米
→
+
∞
=
1
−
1
∣
0
,
−
2
,
−
+
∣
0
,
2
=
,
=
1
+
−
1
−
1
l
我
米
2
→
+
∞
=
1
=
1
(
)
∣
0
,
2
(
)
,
(
)
=
2
=
1
+
−
1
2
−
1
=
1
−
1
(
)
∣
l
我
米
→
+
∞
Φ
(
)
−
1
(
)
∣
,
(
一个
。
4
)
在哪里<年代vg height="14.1" id="M136" style="vertical-align:-2.73372pt;width:40.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.0625 14.1" width="40.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
年代
g
n
(
)
功能和信号吗<年代vg height="16.725" id="M137" style="vertical-align:-2.37006pt;width:83.074997px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.074997 16.725" width="83.074997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
∣
0
,
2
,
)
的pdf是一元吗<我>SN 规模分布为零位置参数,参数<年代vg height="6.9875002" id="M138" style="vertical-align:-0.13794pt;width:9.3000002px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.3000002 6.9875002" width="9.3000002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,形状参数<年代vg height="7.1750002" id="M139" style="vertical-align:-0.1254pt;width:8.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9375 7.1750002" width="8.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
:<年代pan class="equation" id="eq14">
∣
0
,
2
=
2
,
Φ
。
(
一个
。
5
)
从上面的表达<年代vg height="15.025" id="M141" style="vertical-align:-3.30182pt;width:58.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.099998 15.025" width="58.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
∣
)
通过考虑变量的变化<年代vg height="14.1125" id="M142" style="vertical-align:-2.5707pt;width:80.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.962502 14.1125" width="80.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
与<年代vg height="10.9125" id="M143" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.9125" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
非奇异的,获得的pdf<年代vg height="10.6875" id="M144" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.6875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
:<年代pan class="equation" id="eq15">
(
∣
,
,
)
=
2
=
1
+
−
1
2
−
1
=
1
(
−
∣
(
)
)
×
l
我
米
→
+
∞
Φ
(
)
−
1
(
)
−
1
(
−
)
∣
=
1
(
)
=
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
ℎ
(
)
(
一个
。
6
)
与<年代pan class="equation" id="EEqA">
ℎ
(
)
=
2
(
−
∣
(
)
)
l
我
米
→
+
∞
Φ
(
)
−
1
(
)
−
1
(
−
)
∣
。
(
一个
。
7
)
为了显示<年代vg height="13.5625" id="M147" style="vertical-align:-2.21957pt;width:27.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.362499 13.5625" width="27.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
)
pdf的吗<年代vg height="17.950001" id="M148" style="vertical-align:-4.37273pt;width:185.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 185.2 17.950001" width="185.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
(
,
,
(
)
,
Ω
∗
∗
(
,
)
)
,请注意<年代pan class="equation" id="eq16">
ℎ
(
)
=
2
(
−
∣
(
)
)
l
我
米
→
+
∞
Φ
√
1
+
2
(
)
−
1
(
)
−
1
1
(
)
(
−
)
∣
1
+
2
=
×
(
−
∣
(
)
)
l
我
米
→
+
∞
Φ
√
/
1
+
2
(
)
−
1
(
)
−
1
(
)
(
−
)
∣
−
2
/
1
+
2
(
)
−
1
(
)
(
)
Φ
∣
=
l
我
米
→
+
∞
∣
,
,
(
)
,
∗
∗
,
(
,
)
(
一个
。
8
)
在哪里<年代vg height="14.6" id="M150" style="vertical-align:-3.13504pt;width:31.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.950001 14.6" width="31.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
的密度吗<年代vg height="17.950001" id="M151" style="vertical-align:-4.37273pt;width:185.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 185.2 17.950001" width="185.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
(
,
,
(
)
,
Ω
∗
∗
(
,
)
)
分布与<年代pan class="equation" id="eq17">
∗
∗
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(
,
)
=
√
1
+
2
(
)
√
1
+
2
(
)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(
)
。
(
一个
。
9
)
因此,正如<年代vg height="16.1" id="M153" style="vertical-align:-3.49493pt;width:165.47501px;" version="1.1" viewbox="0 0 165.47501 16.1" width="165.47501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
+
∞
Ω
∗
∗
(
,
)
=
Ω
∗
(
)
,<年代pan class="equation" id="eq18">
l
我
米
→
+
∞
∣
,
,
(
)
,
∗
∗
(
,
)
=
∣
,
,
(
)
,
∗
(
)
。
(
一个
。
1
0
)
简化的表达式为<年代vg height="16.4125" id="M155" style="vertical-align:-3.13504pt;width:143.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 143.9375 16.4125" width="143.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
∣
,
,
(
)
,
Ω
∗
(
)
)
提出了建议<一个href="#prop1">3.1一个>从(A)只需考虑呢<年代pan class="equation" id="eq19">
l
我
米
→
+
∞
Φ
(
)
−
1
(
)
−
1
(
−
)
∣
=
2
−
(
−
)
(
)
−
1
(
)
−
1
(
−
)
。
(
一个
。
1
1
)
至于它的<年代vg height="10.6875" id="M157" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.6875" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代pan class="equation" id="eq20">
(
∣
,
,
)
=
≤
(
=
∣
,
,
)
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
≤
∣
,
,
(
)
,
∗
=
(
)
2
=
1
=
1
1
+
−
2
(
)
−
1
∣
,
,
(
)
,
∗
。
(
)
(
一个
。
1
2
)
此外,一个从(<一个href="#EEq1">2.1一个>)
∣
,
,
(
)
,
∗
=
Φ
(
)
2
−
1
(
)
(
−
)
∣
∗
(
)
Φ
∣
=
2
Φ
2
⎛
⎜
⎜
⎝
⎡
⎢
⎢
⎣
−
1
(
⎤
⎥
⎥
⎦
)
(
−
)
∣
∗
⎞
⎟
⎟
⎠
(
)
=
2
{
∣
≤
,
(
)
(
)
≤
−
}
∣
。
(
一个
。
1
3
)
后者遵循奇点的平等<年代vg height="14.5" id="M160" style="vertical-align:-2.21957pt;width:33.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.362499 14.5" width="33.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Ω
∗
(
)
,这对于给定<年代vg height="7.3249998" id="M161" style="vertical-align:-0.0pt;width:8.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.25 7.3249998" width="8.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
允许一个人写的概率<年代pan class="equation" id="eq22">
⎡
⎢
⎢
⎣
≤
−
1
(
⎤
⎥
⎥
⎦
)
(
−
)
,
(
一个
。
1
4
)
在哪里<年代vg height="14.5" id="M163" style="vertical-align:-2.21957pt;width:97.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 97.724998 14.5" width="97.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∼
(
,
Ω
∗
(
)
)
的概率<年代pan class="equation" id="eq23">
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
(
)
≤
−
1
(
⎤
⎥
⎥
⎦
)
(
−
)
⟺
{
∣
≤
,
(
)
(
)
≤
−
}
(
一个
。
1
5
)
为<年代vg height="14.7875" id="M165" style="vertical-align:-3.13504pt;width:81.487503px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.487503 14.7875" width="81.487503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∼
(
,
)
。