标志”src=

概率论与数理统计》杂志上
PDF<我米g alt="" class="sc-EHOje jOLhQl sc-dREXXX cqhPZs" title="" role="presentation" src="data:image/svg+xml;base64,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" height="24">
概率论与数理统计》杂志上/<一个class="sc-htpNat bUhGXt link sc-eitiEO jXeALb breadCrumb" href="//www.newsama.com/journals/jps/contents/year/2011/" aria-label="2011">2011年/文章

研究文章|开放获取

体积 2011年 |文章的ID 850727年 | https://doi.org/10.1155/2011/850727

诺曼何丙郁先生,露西亚金博,维多利亚Steblovskaya, ”最优套期保值和价格与股票相关的人寿保险合同的离散时间不完整的市场”,概率论与数理统计》杂志上, 卷。2011年, 文章的ID850727年, 23 页面, 2011年。 https://doi.org/10.1155/2011/850727

最优套期保值和价格与股票相关的人寿保险合同的离散时间不完整的市场

诺曼何丙郁先生<一个class="sc-htpNat bUhGXt link" href="http://orcid.org/0000-0003-2493-3510" aria-label="Redirect to Doi" target="_blank">,1 露西娅金博,1 和 维多利亚Steblovskaya1

1本特利大学数学科学系的沃尔瑟姆,森林街175号02452 - 4705,美国

学术编辑器:托马斯j . Kozubowski
收到了 2011年5月26日
接受 2011年9月01日
发表 2011年12月07

文摘

我们提出一个方法的最优套期保值和定价的股票在一个不完整的离散时间金融市场人寿保险产品。一个纯粹的养老保险与担保合同作为一个例子。金融市场不完全是由假设潜在的风险资产价格比率分布在一个紧凑的间隔,概括多项不完全市场的假设模型。一系列初始对冲首都嵌入式金融选项,我们数值解最优套期保值问题,确定风险回报每个优non-self-financing对冲策略的配置文件。保险合同确定的合理价格根据保险公司的风险偏好。说明数值结果的测试算法假设保险合同记录。对冲策略调整的讨论和测试技术,提出了长期合同。

1。介绍

与股票相关的人寿保险为被保险人提供的机会参与股票型金融市场的增长潜力指数,例如标准普尔500指数。此外,与股票相关的保险与担保为下行保护提供了一个保证最低收益。参股和下行保护的结合大大提高了保险合同的愿望。

从保险发行人的角度来看,这样的保险合同创建两个来源的风险。风险的一个来源是死亡率风险。死亡风险与保险的可能性事件等客户的死亡之前合同到期或合同到期客户的生存。与股票相关的组件的保险合同,相关行为的潜在的风险资产,创建的第二个来源风险、金融风险。与股票相关的人寿保险合同的一个公平的价格应该占的风险来源。

股票定价和套期保值的人寿保险合同是一个活跃的研究领域。在他们的开创性工作,布伦南和施瓦茨(<一个href="#B1">1,<一个href="#B2">2]提供了一个初始动力结合保险精算,金融风险管理的方法,有利于股票支付保险合同可以被看作是一个已知的担保金额和嵌入式看涨期权的回报。这种方法已经被许多作者开发的,看到的,例如,(<一个href="#B3">3,<一个href="#B4">4]。这些作者开发他们的模型的主要假设下金融市场的完整性。

几个作者考虑一个不完整的保险市场不完备造成的死亡率,额外的风险因素独立的金融风险,在金融市场本身是由一个完整的描述的市场模型。在[<一个href="#B5">5),作者将风险最小化的方法开发的(<一个href="#B6">6,<一个href="#B7">7)确定股票纯粹的养老合同non-self-financing对冲策略。金融市场本身所描述的离散二项式模型完成。

在一系列的论文Melnikov et al。<一个href="#B8">8- - - - - -<一个href="#B10">10),分位数套期保值以及有效的套期保值的方法开发的(<一个href="#B11">11]、[<一个href="#B12">12),分别应用于各种产品的定价和套期保值和股票人寿保险合同。这里所描述的金融市场本身是完整的单或多维布莱克-斯科尔斯模型或jump-diffusion模型与独特的风险中性测度。Klusik Palmowski在他们最近的研究(<一个href="#B13">13]依靠分位数对冲的方法以及他们的原始结果找到最佳的自筹经费对冲策略对于更复杂的回报在布莱克-斯科尔斯的框架下金融市场以降低初始对冲资金。

不完全金融市场中股票相关寿险研究(<一个href="#B14">14]。金融市场的不完全性是造成潜在的风险资产的动态与跳跃遵循一个连续时间的随机过程。在[<一个href="#B15">15),随机规划模型发展到占金融市场不完全性的各种来源,如跳跃的标的资产的随机过程和异方差性基础资产的过程。

在本文中,我们考虑一个股票人寿保险合同在一个不完整的离散时间的框架下金融市场最初开发(<一个href="#B16">16]。市场不完全是由潜在的风险资产的行为。风险资产价格比率假定在每一个时间点分布在有界区间,在完整的二项式模型相比有两点分布。这个市场模型是一个不完整的多项市场模型的自然延伸以前开发的文献中(见,例如,<一个href="#B17">17])。在[<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B20">20.),一个算法的最优套期保值方法不同或有索赔(路径独立以及路径依赖)。算法使用一个可用的初始对冲资金产生non-self-financing对冲策略是最优选择风险标准。这种方法提供了一个更灵活的选择其他的方法在不完全市场对冲,如当地风险最小化(见,例如,<一个href="#B21">21),在其中的引用)。在[<一个href="#B22">22]比较数值结果说明更好的性能的替代策略相比,当地二次线性风险最小化和本地策略。

我们进一步扩展了以前的工作开发技术对最优套期保值和股票相关型人寿保险产品的定价在一个不完整的离散时间金融市场环境。在本文中,我们使用纯养老合同保证作为一个例子来说明我们的方法。我们的方法是可扩展的更复杂的股票产品。

在我们的方法中,纯粹的养老合同的定价与保证首先确定一系列容许初始对冲资本价值。每个选择的初始资本价值,我们确定一个non-self-financing对冲策略,优化风险保险公司相关标准和确定风险回报的最优策略。

保险公司选择风险回报概要文件,同意他们的选择。基于最初的对冲资金与首选的风险回报概要文件和使用客户的生存概率,保险人决定合同的公平价格。

我们的数值算法应用于两个假想的纯粹的养老合同保证底层风险资产是标准普尔500指数。

作为说明我们的算法的灵活性,我们展示了我们一生中最优套期保值策略可以调整一个长期合同,以考虑最新的市场数据。数值模拟表明,调整对冲策略提高了风险回报的特点。

本文的其余部分组织如下。节<一个href="#sec2">2,我们建立一个股票的价格和最优套期保值问题单纯的养老保险合同,与它在一个不完整的市场最优套期保值的问题。详细的发展不完全市场模式和算法最优套期保值方法提出了部分<一个href="#sec3">3。我们讨论我们的方法应用到股票人寿保险产品的部分<一个href="#sec4">4。数值结果应用程序算法的两个纯养老人寿保险合同保证节中给出<一个href="#sec5">5。部分<一个href="#sec6">6致力于我们的校准技术的讨论和测试。

2。问题设置

让 ( Ω , , , ) 表示一个过滤概率空间, Ω 是一个样本空间, 上的概率测度 代数 的子集 Ω , ( ) = 0 , 1 , … , 是一个过滤,越来越序列的吗 代数 0 ⊆ 1 ⊆ ⋯ ⊆ 。在这里 对应于离散的时刻 , 0 = 0 < 1 < ⋯ < = ( > 0 ) , 0 = { ∅ , Ω } , = 。

让 = ( ) = 0 , 1 , … , 表示一个离散时间严格积极风险资产价格过程中,适应了过滤 ( ) = 0 , 1 , … , ( 是 可测量的所有 0 ≤ ≤ ) 。让 = 0 ( 1 + ) , 0 > 0 是一个确定性的无风险资产(债券)的过程与常数利率 。不失一般性,我们将假设 0 = 1 。

我们认为金融市场组成的风险资产和债券可以交易 0 = 0 < 1 < ⋯ < = ( > 0 ) 。假设以下额外的假设成立。(A1)风险资产价格比率(跳跃) = / − 1 在有界区间分布 ( , ] 对所有 1 ≤ ≤ ,在那里 < 1 + < 。

没有进一步的假设对于风险资产价格跳分布。

离散时间市场模型是不完整的。事实上,它代表了一个不完整的多项离散时间模型的自然延伸(见,例如,<一个href="#B17">17])进而推广了著名的完整的二项式模型(<一个href="#B33">23]。关于我们的市场模型的更多细节将在部分<一个href="#sec3">3。

让我们表示的 一个欧洲式未定权益的基础资产 ,成熟 = (这意味着 是一个 衡量随机变量)。

通过 ( ) 我们表示目前余下一生的人 岁了。我们假设 ( ) 是一个随机变量定义在一个概率空间 ( Ω , , ) 。

传统上,人们认为金融和死亡率的因素是独立的(见,例如,<一个href="#B34">24])。我们将采用这种观点。因此,我们将假设概率空间 ( Ω , , ) 和 ( Ω , , ) 是独立的。

我们认为保费与股票相关的人寿保险合同中,保险人收到的金额 到期,他/她还活着 (纯粹的捐赠基金与股票相关的人寿保险合同)。到期收益(收益)等保险合同如下: = ⋅ { ( ) > } 。 ( 2 。 1 ) 在这里 { ( ) > } 是事件的指标函数 { ( ) > } 。这个函数需要1如果被保险人生存的价值超出合同期限和0相反的情况。

我们将保险公司的位置,问题一个纯粹的养老保险合同,需要确定一个公平的价格这样的合同。除了确定一个适当的合同价格,保险公司希望找到一个最佳的方式投资于对冲策略,以保护自己的地位在合同依照他们的风险偏好。

因为我们的金融市场是不完整,存在无限的风险中性概率措施 ( Ω , ) 。让 ∗ 是一些等价的风险中性测度;也就是说, ∗ 是一个概率测度,相当于吗 贴现风险资产价格过程等 = ( ) = 0 , 1 , … , , = / 是一个 ∗ 鞅。

然后时刻0无套利价格 人寿保险合同相关 ∗ 是 = ℰ ∗ × ℰ ( 1 + ) − = ℰ ∗ × ℰ ( 1 + ) − ⋅ { ( ) > } , ( 2 。 2 ) 在哪里 ℰ ∗ × ℰ 表示期望对产品测量 ∗ × 。此外,使用的独立性 ∗ 和 ,我们获得 = ℰ ∗ ( ( 1 + ) − ) , ( 2 。 3 ) 在哪里 = ( ( ) > ) 是生存概率;也就是说,一个保险的人的概率 生存超越时间 。

对于一个完整的金融市场,这项措施 ∗ 是独一无二的,因此数量 ℰ ∗ ( ( 1 + ) − ) 发生在(<一个href="#EEq3">2.3)是一个独特的无套利价格未定权益 。这个量是一个完美的初始对冲资金可以用来构造一个自筹经费对冲策略(基于风险资产和债券),完全复制了未定权益 。然而,死亡因素的存在使得市场不完全,因为只有减少数量 ℰ ∗ ( ( 1 + ) − ) 可用作套期保值。有各种各样的方法(见,例如,<一个href="#B13">13,<一个href="#B23">25),引用其中),构建最优自筹经费对冲策略的基础上,降低初始资本框架的一个完整的金融市场。

在我们的设置中,金融市场正在考虑是不完整的。市场不完备导致的测量 ∗ 并不是唯一的,因此数量 ℰ ∗ ( ( 1 + ) − ) 不再是一个独特的无套利价格未定权益 。一个完美的对冲,自筹经费策略是不可能的,即使不存在的死亡因素。在套期保值方法,我们考虑non-self-financing对冲策略(基于风险资产和债券),由可用的初始对冲资金。我们引入优化标准对投资者有意义和数值求解相应的优化问题。我们的定价方法是基于风险收益特征的分析最优套期保值策略。

3所示。未定权益的定价和套期保值离散时间不完整的市场

在本节中,我们概述的离散时间不完全市场模式和算法的最优套期保值或有要求(见[<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B20">20.])。我们将回到最优套期保值和定价股票人寿保险合同部分<一个href="#sec4">4。

3.1。无套利价格

让我们考虑金融市场模型中引入部分<一个href="#sec2">2在假设(A1)。此外,我们假设以下。(A2)欧式未定权益 有一个凸连续回报函数 。

在我们的不完全金融市场模型中,存在无限的等效中性措施 ( Ω , ) 。在每一个时间 ,每个风险中性测度 ∗ 生产的无套利价格 ℰ ∗ ( ( 1 + ) − ( − ) ) 欧式未定权益 收益函数 。这些无套利未定权益价格在每一个时间 形成一个开区间: ( , , ) , ( , , ) , = 0 , … , − 1 , ( 3 。 1 ) 在参数 和 确定风险资产价格的支持比例分布(见假设(A1))。显式公式的无套利价格区间的上下界的情况 是一个欧洲首次获得看涨期权(<一个href="#B24">26]。进一步,这些公式推广到欧式期权的情况下与一个凸回报函数(<一个href="#B25">27],参见[<一个href="#B16">16,<一个href="#B17">17,<一个href="#B26">28- - - - - -<一个href="#B28">30.]。

我们需要以下定义。

定义3.1。考虑到金融市场的部分中描述<一个href="#sec2">2。替代的假设(A1)的框架Cox-Ross-Rubinstein (CRR)完成金融市场二项式模型与参数 和 ( < 1 + < )(即。,the risky asset price ratio = / − 1 在任何时候 ( = 1 , … , )两个可能值中的一个: 或 ) 。假设未定权益 收益函数 和最初的风险资产的价格 0 评估上述CRR模型的框架中。将定义一个 C R R ( , , ) 独特的CRR未定权益价格的时间 。

例3.2。假设 是一种欧洲路径独立选择的回报函数 这只取决于终端风险资产的价值。然后在Cox-Ross-Rubinstein二项式模型的框架下,我们有 C R R ( , , ) = , , , ( 3 。 2 ) 在哪里 ( , , ) = ( 1 + ) − ( − ) − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( 1 − ) − − − − , ( 3 。 3 ) = ( 1 + ) − 。 − ( 3 。 4 )

我们有以下的命题。

命题3.3。让 是一个欧式未定权益回报函数 。假设假设(A1)和(A2)。
然后在时间的上界 的无套利价格区间 由以下公式给出: ( , , ) = C R R ( , , ) ( 0 ≤ ≤ − 1 ) , ( 3 。 5 ) 在哪里 ( , ] 是一个支持风险资产价格的比例分布和符号 C R R ( , ⋅ , ⋅ ) 在定义<一个href="#deff1">3所示。1。在时间的下界 无套利价格的区间不依赖于参数 和 由以下公式给出: ( , , ) ≡ ( ) = ( 1 + ) − ( − ) ( 1 + ) − 。 ( 3 。 6 )

例3.4。假设 是一个欧洲回报函数类型 这只取决于终端风险资产的价值。然后上界 ( , , ) 由公式(<一个href="#EEq4">3所示。2),(<一个href="#EEq5">3所示。3)和(<一个href="#EEq5">3所示。4), = 和 = 。

每一个无套利价格未定权益的时间 与一个点在无套利价格区间内吗 ( ( ) , ( , , ) ) ( = 0 , … , − 1 )。反过来,这个区间内任意一点可以明确表达的额外的模型参数 和 ( < < ( 1 + ) < < )。我们有以下命题遵循从凸性假设(A2)(见,例如,(<一个href="#B20">20.])。

命题3.5。假设假设(A1)和(A2)。让 是一个无套利价格区间内任意点 ( ( ) , ( , , ) ) ( = 0 , … , − 1 )。
那么至少存在一条数据 ( , ) ( < < ( 1 + ) < < ),这样 可以表示为如下形式: = C R R ( , , ) , ( 3 。 7 ) 的符号 C R R ( , ⋅ , ⋅ ) 在定义说明<一个href="#deff1">3所示。1。

例3.6。的情况下 是欧洲式路径独立选择的回报函数 无套利定价区间内任意点 ( ( ) , ( , , ) ) ( = 0 , … , − 1 )是由公式(<一个href="#EEq4">3所示。2),(<一个href="#EEq5">3所示。3)和(<一个href="#EEq5">3所示。4), = 和 = 。

3.7的话。对于每个点 在无套利价格区间 ( ) , ( , , ) , ( 3 。 8 ) 有无限的对 ( , ) 这样,(<一个href="#EEq9">3所示。7)是满意的。

3.2。最优套期保值

在论文的其余部分,我们将把重点放在一个凸的情况支付函数 欧式未定权益 取决于终端风险资产价值,但不是高风险资产价格路径。路径依赖的情况下 是在开发的<一个href="#B20">20.,这个扩展我们的应用程序不需要一个股票纯粹的养老保险合同。

我们的目标是对冲欧洲未定权益 用一个动态对冲风险资产和债券组成的投资组合。,对冲组合(或等价于一个对冲策略) 是由一对吗 可衡量的离散时间随机过程 ( , ) = 0 , 1 , … , − 1 ,在那里 持有的风险资产的单位是一个数字的时间间隔 ( , + 1 ) 和 是债券的数量随着时间间隔 ( , + 1 ) 。

我们采取的立场未定权益卖方拥有最初的资本 0 在时间 = 0 并希望建立一个对冲策略符合可用的初始资本。我们总是假设 0 属于无套利未定权益价格区间 ( 0 ( ) , 0 ( , , ) ) (对应于 = 0 )。它遵循从命题<一个href="#prop2">3所示。5和示例<一个href="#ex3">3所示。6那 0 可以作为一个独特的时间计算零未定权益价格 在退休研究中心的框架下完成二项市场模型与参数 和 ( < < ( 1 + ) < < ): 0 = 0 , , 0 , ( 3 。 9 ) 在哪里 0 是由(<一个href="#EEq5">3所示。3), = 0 , = , = 。我们回忆起(见备注<一个href="#rem1">3所示。7),在我们有无限的不完全市场模型 ( , ) 对决定价值 0 。

定义3.8。让 0 间隔是一个点 ( 0 ( ) , 0 ( , , ) ) 。无限的一组对 ( , ) ( < < ( 1 + ) < < )满足公式(<一个href="#EEq10">3所示。9)称为容许参数设置有关 0 。我们将表示这组 Σ 。

在[<一个href="#B16">16),利用公式对冲策略从适当的完成二项模型第一次被介绍。此外,在[成功开发<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B20">20.]。具体来说,a . v . Nagaev和s . a . Nagaev [<一个href="#B16">16)建议以下方法对冲不完全市场模式。对于一个给定的初始资本 0 对于任何一对 ( , ) 在容许参数集 Σ 作套期保值的使用数量 0 建立对冲组合 ( 0 ( , ) , 0 ( , ) ) 。这每一个对冲投资组合将重新平衡时间 , = 1 , … , − 1 根据以下公式: ( , ) = + 1 , , − + 1 , , , ( − ) ( , ) = + 1 , , − + 1 , , ( 1 + ) ( − ) ( 3 。 1 0 ) (这里 是由(<一个href="#EEq5">3所示。3), = 和 = )创建一个对冲策略 ( , ) 。

在退休研究中心的框架下完成二项模型参数 和 公式(<一个href="#EEq11">3.10)定义一个独特的自筹经费完全复制了未定权益的对冲策略 。相同的公式中发挥不同的作用目前不完整的框架模型。它遵循的评论<一个href="#rem1">3所示。7每个初始资本 0 有一个无限的对冲策略 ( , ) 由公式(<一个href="#EEq11">3.10对参数化的) ( , ) 在容许参数集 Σ 。此外,这些策略non-self-financing,现在将解释道。

让我们解决 ( , ) 对在 Σ 并考虑相关的对冲策略(<一个href="#EEq11">3.10) ( = 0 , … , − 1 ) 。这是所示(<一个href="#B18">18),在每一个对冲 ( = 1 , … , )对冲策略产生一个非零当地的残留量 清算价值在时间之间的差异 的时间 − 1 对冲组合和对冲组合的安装成本 来 + 1 。当地的残留量取决于参数 ( , ) 和显式形式如下: ( , ) = − − , , − 1 + − − , , − 1 − , , − 1 , = 1 , … , ( 3 。 1 1 ) (我们回想一下, = / − 1 是一种风险资产价格比例的时间吗 )。

当地的剩余数量 ( , ) 在一般的非零。更准确地说,的迹象 ( , ) 取决于风险资产价格比率 :(我) ( , ) > 0 如果 < < ,(2) ( , ) = 0 如果 = 或 = ,(3) ( , ) < 0 如果 < < 或 < < 。

当地非零残差意味着这一事实 ( , ) 对在 Σ 公式(<一个href="#EEq11">3.10)定义一个non-self-financing对冲策略 ( , ) 创建从最初的资本 0 。为了保持对冲策略 ( , ) ,在每个时间步 = 1 , … , ,投资者要么退出当地的残余 ( , ) 从清算所得 ( , ) 是积极的或添加量什么时候 ( , ) 是负的。让我们注意到,这样的投资组合调整到期时间 = 保证了对冲组合在终止时间与责任匹配的值 。

让我们定义折扣当地残留量 用 ̃ ( , ) 如下: ̃ ( , ) = ( , ) ( 1 + ) − , = 1 , … , 。 ( 3 。 1 2 ) 贴现局部残差 ̃ ( , ) 产生积累的残留量 Δ ( , ) : Δ ̃ ( , ) = 1 ̃ ( , ) + 2 ̃ ( , ) + ⋯ + ( , ) 。 ( 3 。 1 3 )

为了选择“最好”的对冲策略的无限容许对冲策略,我们需要引入一些优化标准。有很多有意义的优化标准的投资者,可以表达当地残差以及积累的残留量。我们介绍两个标准将在本文中使用的部分<一个href="#sec3.3">3所示。3。

由于残差可以明确表达的模型参数 ( , ) (对于一个给定的风险资产价格路径),涉及这些标准的优化问题可以减少问题的选择一条最优参数 ( ∗ , ∗ ) 容许参数集 Σ 。这个最优参数对将定义一个最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。

我们开发一个数值最优套期保值算法对各种或有索赔和标的资产(<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B20">20.]。让我们注意到容许参数集 Σ 通过建设与给定的初始资本相关联 0 。我们的算法使用最初的对冲资金 0 作为输入参数(例如, 0 可能的当前市场价格未定权益)。这使我们的方法与其他作者的方法(见,例如,<一个href="#B6">6,<一个href="#B7">7,<一个href="#B29">31日])解决定价问题和最优套期保值问题。我们的方法的优点之一是骑墙派的可能性仍然使用一个可用的初始资本,实现最优套期保值的效果。唯一限制初始对冲资金 0 是,它必须属于部分中描述的无套利价格区间<一个href="#sec3.1">3所示。1。

3.9的话。边界的参数 , 一个纯粹的理论作用在我们的设置。只要一个强加一个无套利假设在初始对冲资金 0 ,一个人可以成功地建立和维护一个non-self-financing对冲策略不知道参数 和 。

3.3。优化条件和最优套期保值问题

现在我们将更详细地描述我们的优化标准。节中解释<一个href="#sec3.2">3所示。2,当地的残差 ( , ) 代表实际的增量现金流保持对冲策略。一个测量的风险关联到一个特定的对冲策略 ( , ) 是基于一个储蓄帐户的余额产生的现金存款或贷款 ( , ) 由在每个平衡投资组合的调整时间。优秀的平衡 ( , ) 在一个储蓄帐户 与套期保值策略 ( , ) 是由积累当地剩余数量的时间吗 : ( , ) = = 1 ( , ) ( 1 + ) − , = 1 , … , 。 ( 3 。 1 4 ) 让我们注意 ( , ) 是一个 可测量的为每一个随机变量 = 1 , … , 。

定义3.10。序列的最小值 { } = 1 用 ℳ ( , ) 将最低余额(群)的对冲策略 ( , ) : ℳ ( , ) = 米 我 n 1 ≤ ≤ ( , ) 。 ( 3 。 1 5 ) 我们注意到 ℳ ( , ) 是一个 衡量随机变量相关的策略 ( , ) 。的数量 ℳ ( , ) 是最大的未偿贷款(如果消极的)或最低余额(如果积极)由给定的策略。

我们考虑以下风险基于暴徒的优化问题: 米 一个 x ( , ) ∈ Σ ( ℳ ( , ) ) , ( 3 。 1 6 ) 的期望是对物理测量吗 。

3.11的话。的数量 ( ℳ ( , ) ) 提供了一个衡量风险的套期保值策略 ( , ) 。这个量措施所需的资金维持对冲策略 ( , ) (如果负)。一个积极的价值 ( ℳ ( , ) ) 表明,投资者不需要添加额外的资金来保持对冲策略 ( , ) ,而是战略产生积极的现金流。因此,作为的价值 ( ℳ ( , ) ) 的风险增加,需要额外的增量资金保持对冲组合减少。最优值 ( ℳ ( ∗ , ∗ ) ) 代表了最低风险值与容许模型参数的集合 Σ ,反过来是由最初的对冲资金 0 。

现在我们将进行第二次优化准则用于本文。投资的回报率 0 在我们的不完全市场模式可以测量预期累积的残留量 ( Δ ( , ) ) 由non-self-financing对冲策略 ( , ) 与最初的对冲资金 0 ,在那里 Δ ( , ) 被定义为(<一个href="#EEq15">3.13)。

我们考虑下面的优化问题: 米 一个 x ( , ) ∈ Σ Δ , ( , ) ( 3 。 1 7 ) 的期望是对物理测量吗 。

3.12的话。在整个论文我们使用符号 ( ∗ , ∗ ) 为最优参数对关于目前正在考虑优化标准。最优值 ( Δ ( ∗ , ∗ ) ) 代表最大的返回值与容许模型参数的集合 Σ ,反过来是由最初的对冲资金 0 。

在我们过去的工作中,返回的特点 ( Δ ( , ) ) 已经被广泛的研究。在[<一个href="#B22">22我们指出残留积累之间的连接 Δ ( , ) non-self-financing产生的对冲策略和累积成本相关的对冲策略(见,例如,<一个href="#B6">6,<一个href="#B7">7,<一个href="#B29">31日])。这里我们考虑这一特点来说明我们的算法的灵活性。

3.13的话。比较(<一个href="#EEq15">3.13)和(<一个href="#EEq16">3.14),可以很容易地看到,累计余额 Δ ( , ) 产生的对冲策略 ( , ) 有关到期余额如下: Δ ( , ) = ( , ) ( 1 + ) − 。 ( 3 。 1 8 )

现在我们可以详细描述我们的最优套期保值算法。

3.4。最优套期保值算法设计

算法的输入参数初始对冲资金 0 未定权益的到期时间 和回报函数 的初始值,潜在的风险资产 0 ,无风险利率 的对冲 和潜在的风险资产的历史值的集合。

算法设计如下。

(一)构建容许参数集 Σ
容许参数设置 Σ (见定义<一个href="#deff2">3所示。8)数值使用轮廓结构软件,根据(<一个href="#EEq10">3所示。9)。我们确定一组离散 Σ 数值接近容许参数集 Σ ,由有限数量的 ( , ) 对。

(b)模拟未来路径潜在风险资产
算法可以很容易地把各种模拟风险资产的技术路径。在本文中,我们考虑引导抽样从一组历史跳跃风险资产价值。(见备注<一个href="#rem6">3.14)。风险资产价格路径由采样跳跃和给定的风险资产初始值。

(c)计算局部残差
为每一个 ( , ) 对离散的容许参数集 Σ 为每个模拟路径,构建当地剩余序列 ( , ) , = 1 , … , 使用(<一个href="#EEq13">3.11)。

(d)近似优化准则值为每个 ( , ) 一对
为每一个 ( , ) 对离散的容许参数集 Σ ,近似优化的价值则通过计算一个适当的统计模拟路径。

(e)确定优化问题的数值解
选择优化问题的近似解是发现通过选择最大(或最小)近似在容许值的优化准则 ( , ) 对。这个值对应于最优参数组合 ( ∗ , ∗ ) 因此最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。

我们的最优套期保值算法可以很容易地调整,以适应任何优化准则基于局部残差 ( , ) 或积累的残留 Δ ( , ) 产生的对冲策略。在本文中,我们将使用部分中描述的两个优化标准<一个href="#sec3.3">3所示。3。

使用最优参数 ( ∗ , ∗ ) ,可以评估额外的最优套期保值策略的特点 ( ∗ , ∗ ) 基于当地的残差 ( ∗ , ∗ ) , = 1 , … , ,由 ( ∗ , ∗ ) ,通过计算合适的统计模拟路径。的情况下选择风险为主要标准,相关的算法计算返回值 ( ∗ , ∗ ) 作为一个附加的特征选择对冲策略。的情况下返回被选为主要标准,相关算法计算出风险值 ( ∗ , ∗ ) 。这种方式用户获取风险收益的最优套期保值策略。

3.14的话。引导采样技术被用于广泛的金融应用程序(见,例如,(<一个href="#B30">32),在其中的引用)。可以找到引导重采样方法的数学基础(<一个href="#B31">33]。在本文中,我们使独立同分布的假设股票价格跳跃,证明我们使用引导重采样。模型的依赖跳可以很容易地纳入算法,研究了在早期作品的作者(<一个href="#B19">19]。

4所示。应用最优套期保值和价格与股票相关的人寿保险产品

在本节中,我们扩展我们的方法开发的部分<一个href="#sec3">3纯粹的养老生活的最优套期保值和价格与保证保险合同。

股票纯粹的养老合同担保由其到期收益(收益)描述如下: = 米 一个 x , 0 ⋅ { ( ) > } 。 ( 4 。 1 ) 在这里 是一个潜在的风险资产(如股票指数)值在时间吗 , 合同到期时间, ( 0 < ≤ 1 )是一个固定的比例系数等于潜在风险资产的初始值,保证生活保险到期。到期时,保险人将获得最大的二:保证金额 0 或终端价值 潜在的风险资产到期(只要他/她还活着)。

让我们以保险公司的位置,在一个特定日期是试图确定一个公平的价格一个纯粹的养老合同与保证到期时间 。下面的方法来自[<一个href="#B1">1),我们重写(<一个href="#EEq21">4.1)如下: = 0 + 米 一个 x − 0 , 0 ⋅ { ( ) > } 。 ( 4 。 2 ) 一个可以看到(<一个href="#EEq22">4.2),被认为是人寿保险合同包含嵌入的欧洲的看涨期权标的资产 ,成熟时间 和执行价格 0 到期收益函数 ( ) = 米 一个 x { − 0 , 0 } 。

以下部分描述的方法<一个href="#sec2">2,我们得出以下公式(nonunique)无套利价格 合同的时间为零: = 0 − + 0 ( , ) 。 ( 4 。 3 ) 在这里 0 ( , ) 代表无套利的时间 = 0 上述嵌入式欧式看涨期权的价格。我们回想一下,这个价格不能唯一地确定一个不完整的金融市场。另一方面,部分 0 ( , ) 合同的价格 可能是保险公司用来对冲金融风险与股票相关的人寿保险合同。

我们假设保险公司愿意投资的金额 0 ( , ) 对冲策略,优化给定的标准,如部分所述<一个href="#sec3">3。量 0 ( , ) 被解释为初始资本对冲 0 : 0 = 0 ( , ) 。 ( 4 。 4 )

重要的是保险公司确定一个合理的范围 0 值。直观地说,更大的初始对冲资金 0 相关的对冲策略,质量就越好 0 因此,降低金融风险。另一方面,越低 0 值,合同价格越低 更有吸引力的合同,客户。

节中解释<一个href="#sec3.1">3所示。1, 0 不同的开区间内无套利价格的嵌入式看涨期权。因此理论上可以低至这个区间的下限,从客户角度高度可取的选择。无套利价格区间的上限(5所示<一个href="#B18">18])表示的初始资本最低成本超级对冲。这个数量,虽然高度可取从保险公司的角度来看,不能被认为是一个现实的选择。

在我们的方法中,我们创建一个网格的无套利的值 0 ,最低的 0 值是下界 0 ( ) 由(<一个href="#EEq8">3所示。6), = 0 和 ( ) = 米 一个 x ( − 0 , 0 ) 。最大的 0 网格中的价值= 0 ( , ) ,在那里 0 ( , ) 是时候零布莱克-斯科尔斯上述嵌入式看涨期权和价格吗 是一个常数,可以由用户(经验,如果 选择的时间间隔(1.2),获得一个合理的范围内的 0 值)。

每一个计算 0 使用值在网格中作为输入参数(初始对冲资金)中描述的最优套期保值算法部分<一个href="#sec3.4">3所示。4。为每一个 0 价值,基于所选择的优化准则,该算法确定最优的模型参数 ( ∗ , ∗ ) 在容许参数集 Σ 和计算最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。也该算法计算最优选择的优化准则和价值提供了风险回报的最优策略。

分析风险回报的最优套期保值策略,保险公司选择 0 价值传递最可接受的结果根据自己的风险偏好。一旦 0 价值选择,保险公司能够生存保险合同价格和保证他们的客户。

使用(<一个href="#EEq24">4.4),让我们重写公式(<一个href="#EEq23">4.3)如下: = 0 − + 0 。 ( 4 。 5 ) 根据客户的年龄、生存概率 决定使用可用的死亡率数据(见,例如,<一个href="#B32">34])和合同价格 计算使用(<一个href="#EEq25">4.5)选择 0 价值。

5。说明性的数值结果

我们应用部分中描述的方法<一个href="#sec4">4纯粹的养老生活的最优套期保值和价格与保证保险合同,使用标准普尔500指数作为潜在的风险资产。在本节中,我们描述我们的模拟的数值结果。

5.1。风险模拟优化

我们保险公司的位置在3月19日,2010年,需要价格和对冲两个假想的纯粹与保证养老保险合同。第一个合同在10年内到期 ( = 1 0 ) 20年来,第二个合同到期 ( = 2 0 ) 。在这两种情况下的潜在风险资产是标准普尔500指数和开始日期是3月19日,2010年。标准普尔500指数起始值是1159.90 ( 0 = 1 1 5 9 。 9 ) 。每个合同的担保金额等于风险资产价值的100%作为合同的开始日期 ( = 1 ) 。

我们考虑两个无风险利率 价值观:2%和4%。对于每个参数的组合 ( , ) ,三个或四个初始对冲资金 0 值计算节中描述<一个href="#sec4">4(我们使用的价值 = 1 。 1 )。这些值在表中<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1列“对冲资金 0 ”。
情况下 率 成熟 套期保值的资本 风险 风险区间 返回
0 ∗ Δ
1 0.02 10 206.94 −1.83 (−4.25,2.96) 43.22
2 0.02 10 258.67 2.53 (0.32,5.49) 78.88
3 0.02 10 323.34 4.62 (3.18,7.33) 124.92
4 0.02 10 355.67 5.43 (3.32,7.79) 153.06
5 0.02 20. 378.32 1.84 (0.58,3.95) 114.62
6 0.02 20. 442.19 2.61 (1.17,4.69) 161.54
7 0.02 20. 491.32 3.15 (2.23,4.92) 191.72
8 0.02 20. 540.45 3.51 (2.49,5.04) 222.07
9 0.04 10 373.38 6.15 (3.38,8.92) 195.05
10 0.04 10 434.16 7.18 (4.79,10.76) 234.51
11 0.04 10 477.58 7.86 (5.38,11.07) 256.19
12 0.04 20. 629.13 3.44 (3.04,4.40) 234.49
13 0.04 20. 669.29 3.54 (3.09,4.86) 256.75
14 0.04 20. 736.22 3.69 (3.49,4.93) 288.23
表1
说明数值结果有两个纯养老合同担保。

每个初始对冲资金 0 作为输入参数用于最优套期保值算法(参见吗<一个href="#sec3.4">3所示。4)。在这个仿真,我们数值解的理论优化问题(<一个href="#EEq18">3.16)选择预期的最低余额作为优化准则。

在步骤(b)套期保值的算法,模拟二百年标准普尔500指数代表价值路径。在这项研究中,我们使用引导抽样从一组历史季度指数价值跳跃。我们的对冲策略,计算使用(<一个href="#EEq11">3.10),每季度重新平衡。

在计算局部残差算法的步骤(c),我们需要近似预期的暴徒值在步骤(d)。 ( , ) 对离散的容许参数集 Σ 为每个模拟路径,我们使用(<一个href="#EEq17">3.15)计算值 ℳ ( , ) 。这些值平均值模拟路径。平均值(用 ( , ) )数值接近期望 ( ℳ ( , ) ) : ( , ) ≈ ( ℳ ( , ) ) 。 ( 5 。 1 )

在步骤(e)中,我们确定一个近似解 ∗ 优化问题(<一个href="#EEq18">3.16): ∗ ≈ 米 一个 x ( , ) ∈ Σ ( ℳ ( , ) ) 。 ( 5 。 2 ) 为此,我们选择价值最大的近似 ( , ) 在容许 ( , ) 双: ∗ = 米 一个 x ( , ) ∈ Σ ( , ) 。 ( 5 。 3 ) 这个值对应于最优参数组合 ( ∗ , ∗ ) 因此最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。

作为额外的特征最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 我们确定一个近似返回(用 Δ )与最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) : Δ ≈ ∗ , ∗ 。 ( 5 。 4 ) 对于最佳的一对 ( ∗ , ∗ ) ,我们计算累积残余 Δ ( ∗ , ∗ ) 由(<一个href="#EEq15">3.13在每个模拟路径)。一个近似返回 Δ 通过平均累积发现剩余价值在模拟路径。

这一对 ( ∗ , Δ ) 描述了风险回报的选择最优套期保值策略。

5.2。数值结果对风险优化

数值结果的模拟部分中描述<一个href="#sec5.1">5.1展示在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1。

每组输入参数,列“风险”我们报告的价值 ∗ (见(<一个href="#EEq27">5.2))。让我们考虑风险值 ∗ 只有通过大量的不同初始对冲资金 0 与其它输入参数固定。例如,在例1到4的初始对冲资金 0 从206.94增加到355.67 和 是不变的。随着最初的对冲资金增加,的值 ∗ 分别也从−1.83增加到5.43。更大的 ∗ 值对应于低风险的投资者(见备注<一个href="#rem3">3.11更多细节)。

非参数估计的置信区间 ∗ 提出了列“风险区间。“区间的左端点的下四分位数估计的最低余额 ℳ ( ∗ , ∗ ) 值(对应于最优参数组合 ( ∗ , ∗ ) )。正确的端点上四分位数的估计 ℳ ( ∗ , ∗ ) 值。有趣的是,就连下四分位数的值 ℳ ( ∗ , ∗ ) 在大多数情况下是积极的。

列“回归”我们报告预计近似累积残余 Δ (见(<一个href="#EEq29">5.4)与每一个相关的最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。让我们回到上面讨论的情况下1到4。风险对冲策略减少( ∗ 值增加从1.83−5.43),返回策略增加( Δ 值从43.22增加到153.06)。

图<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/fig1/" target="_blank">1说明的行为 ( , ) (见(<一个href="#EEq26">5.1)) ( , ) 对不同的容许参数集 Σ 对于每个案例展示在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1。图的纵轴是标有数字的情况。每组的圆圈(位于水平线)代表所有可能的值的集合的优化准则 ( , ) 产生的对冲策略 ( , ) ,当 ( , ) 对改变在适当的参数集 Σ 。1底部的图, ( , ) 值是负的,但−1.83的最大价值选择的算法是一个巨大改进的最低价值大约−20。算法的应用案例2中产生类似的结果 ( ∗ , ∗ ) = ∗ = 2 。 5 3 比最低的可能值 ( , ) 约−12。的值 ( , ) 没有广泛传播的情况下14日13日和12日,但是在所有情况下,算法产生一个积极的最优值的 ( , ) 相比略有负面可能值没有优化。


图1
( , ) 范围的近似预期最低余额所有情况下的值。

在仿真结果的基础上提出了表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1价格,保险公司可以生存保险人寿保险合同保证依照他们的风险偏好。假设保险公司想价格10年期合同假设无风险利率为2%。假设,分析病例1到4表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1,他们发现风险回报的最优套期保值策略,以防3是令人满意的。最初的对冲资本的对应值是323.34。

假设一个50岁的人有兴趣购买10年期人寿保险合同。生存概率 1 0 5 0 决定使用[<一个href="#B32">34]: 1 0 5 0 = 0 。 9 3 3 8 。使用(<一个href="#EEq25">4.5), = 1 0 , = 5 0 , = 0 。 0 2 , = 1 , 0 = 1 1 5 9 。 9 0 , 0 = 3 2 3 。 3 4 ,保险人计算合同价格: 1 0 5 0 = 1 2 1 4 。 9 0 。1147.21相同的合同将成本一个60岁的人因为生存在这种情况下仅仅是概率 1 0 6 0 = 0 。 8 6 7 6 。一个40岁的人将不得不支付1245.52相同的合同因为他/她的生存概率 1 0 4 0 = 0 。 9 7 1 1 。

如果保险公司需要20年合同价格假设无风险利率为2%,他们将分析用例5 - 8所示。假设风险回报的最优套期保值策略,以防6是令人满意的。相应的初始资本对冲是442.19。

推理类似与前面的情况下,保险公司价格为40 - 20年的人寿保险合同,50 - 60岁的客户。合同价格是1151.02,1075.46和913.63,分别。

5.3。模拟返回优化

让我们考虑相同的两个假设的人寿保险合同在描述部分<一个href="#sec5.1">5.1。同一组的输入参数和初始对冲首都(例1到14表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1),我们将最优套期部分中描述的算法<一个href="#sec3.4">3所示。4,预计累计剩余产生的对冲策略选择作为主要优化准则。

步骤(一)到(c)的算法是一样的<一个href="#sec5.1">5.1。步骤(d),预计累计余额 ( Δ ( , ) ) 是近似的。为每一个 ( , ) 对离散的容许参数集 Σ 为每个模拟路径,我们计算累积残余 Δ ( , ) 使用(<一个href="#EEq15">3.13)。为每一个 ( , ) 对在 Σ ,累积残余 Δ ( , ) 通过模拟平均路径。这个平均值(用 Δ ( , ) )数值接近期望 ( Δ ( , ) ) : ( , ) Δ ≈ 。 ( , ) ( 5 。 5 )

在步骤(e)中,我们确定一个近似解 Δ ∗ 优化问题(<一个href="#EEq19">3.17): ∗ ≈ 米 一个 x ( , ) ∈ Σ Δ 。 ( , ) ( 5 。 6 ) 的值 Δ ∗ 是最大的近似价值 Δ ( , ) 在容许 ( , ) 双: ∗ = 米 一个 x ( , ) ∈ Σ ( , ) 。 ( 5 。 7 ) 这个值对应于最优参数组合 ( ∗ , ∗ ) 因此最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。

作为额外的特征最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 我们确定一个近似风险(用 )与 ( ∗ , ∗ ) : = ( ∗ , ∗ ) , ( 5 。 8 ) 在哪里 ( ∗ , ∗ ) 数值逼近期望吗 ( ℳ ( ∗ , ∗ ) ) (见(<一个href="#EEq26">5.1))。对于最佳的一对 ( ∗ , ∗ ) ,我们计算出最低余额 ℳ ( ∗ , ∗ ) 由(<一个href="#EEq17">3.15在每个模拟路径)。近似的风险 是发现的平均 ℳ ( ∗ , ∗ ) 在模拟路径。

这一对 ( Δ ∗ , ) 将描述风险回报的选择最优套期保值策略。

5.4。数值结果返回优化

数值结果与替代应用该算法优化标准生成的每个表中描述的14例<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1和展示在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2。
情况下 返回 风险
Δ ∗
1 51.872 −4.654
2 94.611 0.762
3 161.106 −0.438
4 160.947 2.845
5 128.366 0.978
6 165.268 1.767
7 194.585 2.437
8 229.673 3.489
9 199.127 6.094
10 241.652 4.420
11 263.344 7.773
12 235.642 2.705
13 260.138 2.893
14 291.412 2.645
表2
风险回报返回优化概要文件。

列“回归”我们报告中预期的累积残余的最优值 Δ ∗ 。“风险”列提出了相应的风险值 与最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) 。

类似于图<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/fig1/" target="_blank">1描述了行为的风险 ( , ) ,图<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/fig2/" target="_blank">2说明了回报的行为 Δ ( , ) (见(<一个href="#EEq30">5.5)) ( , ) 对不同的容许参数集 Σ 对于每个案例展示在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1。


图2
Δ ( , ) 范围的近似累积残余所有情况下的值。

表中给出的结果进行比较<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2与那些在桌子上<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1风险与收益的权衡,我们可以看到。自回归的特点是优化的结果包含在表中<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2的价值, Δ ∗ 在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2比的价值大吗 Δ 表中给出<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1对于每个案例。最优回报率可高达20%大于报道在表的价值<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1例3中所示,或小如大0.5%,12例。

图<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/fig3/" target="_blank">3描述了两个返回值为每个14例:最佳的回报 Δ ∗ (标明大胆点)和返回值 Δ 与最优风险(标有空缺点)。


图3
Δ ∗ Δ 最佳回报与返回值与所有情况下的最佳风险有关。

在返回大在每种情况下,风险 也更大。比较值 ∗ = − 1 。 8 3 在案例1中,在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1, = − 4 。 6 5 4 ,在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2。每个值代表了数值逼近预期的最低余额由相应的对冲策略。这个特征的较大的负值表明更大的风险。对于这个特殊的情况,我们可以看到,尽管返回相关的对冲策略,优化收益约20%是大,风险较大的250%以上。同样,在案例3中, ∗ = 4 。 6 2 在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1,优化风险。相应的风险值在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2是 = − 0 。 4 3 8 这表明一个更大的风险参与生产改进的回报。

在图<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/fig4/" target="_blank">4,两个风险值为每个14例:最优的风险 ∗ (标明大胆点)和风险价值 与最优回报(标有空缺点)。


图4
∗ 最优风险与风险价值与最优换取所有情况。

总之,结果表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab1/" target="_blank">1和<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2风险和回报之间提供了一个有趣的对比。自回归算法可以优化风险或用户能够确定最相关的标准。检查的结果应用与每个优化准则算法提供了一种方法来评估风险与收益权衡。

定价的纯养老合同担保的基础上恢复优化需要分析表中给出的结果<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab2/" target="_blank">2。在选择满意的风险回报的最优套期保值策略,保险公司确定相应的对冲资金。然后确定一个保险的人的生存概率和合同价格计算使用(<一个href="#EEq25">4.5)。

6。对冲策略调整

相比传统股票期权的估值,这通常出现在短时间范围(例如,6个月至2年),时间到期的金融期权嵌入在一个股票保险合同可以10年或更长时间。这引发了金融市场状况可能会改变的可能性大大超过保险合同的生命周期。由于模型参数是使用历史资产价值路径决定的,这些原始参数值不能准确反映市场条件的合同到期。我们算法的好处对冲金融风险嵌入在一个长期股票人寿保险合同是调整模型参数的能力在任何时候在接触期间使用最新的金融市场数据。在本节中,我们说明我们的算法的灵活性,使用最新的市场数据输入参数调整算法能更准确地反映当前市场状况。

考虑一个假想的欧洲长期看涨期权嵌入在一个股票人寿保险合同发起3月19日,2000年,2010年3月19日和成熟。让我们强调,我们用过去为这组数值试验时间,这样的历史市场数据是可用的。

潜在的风险资产是标准普尔500指数,和价值的开始日期 0 = 1 4 5 6 。 6 3 。看涨期权是钱的合同的开始日期(执行价格等于 0 ),到期时间 = 1 0 。可用的初始对冲资金 0 = 4 0 6 。 5 5 。

让我们以期权卖方的位置在3月19日,2000年,想确定return-optimal对冲策略的一生的选择。对冲策略将重新平衡的季度。

这个问题我们将探索两种可能的方法。第一种方法包括使用回报最大化套期保值算法来确定最优的套期保值策略的整个一生选项(一百一十年,2000 - 2010年)。我们会将这种对冲策略称为“原始”的策略。

第二种方法包括使用原始的对冲策略只对期权合约的人生的第一个五年(2000 - 2005),然后切换到一个更新的对冲策略,考虑了剩余寿命的最新市场数据(2005 - 2010)的选项。我们会将这种对冲策略称为“重新调整”策略。

这两个策略评估通过比较每种策略产生的回报的大小。为了做到这一点,我们将使用实际的标准普尔500指数数据可用于2000 - 2010。

为了确定原始的对冲策略,我们使用返回套期保值优化算法 0 = 4 0 6 。 5 5 。标准普尔500指数的值十年历史时期1990 - 2000作为输入用于模拟的“未来”风险资产的路径。无风险利率是固定的值 = 0 。 0 2 。原来的最优套期保值策略 ( ∗ , ∗ ) (与最优参数 ( ∗ , ∗ ) )确定。这种策略被应用于实际的2000 - 2010年标准普尔500指数的路径和相应的回报 Δ ( ∗ , ∗ ) 计算。我们将只对部分感兴趣的返回累积过去五年合同(2005 - 2010)。这积累回报= 128.15(见表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab3/" target="_blank">3)。
返回
原来的策略 128.15
重新调整策略 208.92
表3
返回值为原始和调整策略(实际为2005 - 2010年标准普尔500指数路径)。

调整策略是相同的原始的最优策略,第一个五年(2000 - 2005)。五年后,终止和现有对冲组合的策略是清算。新的对冲资本的数量可供选择的一生(2005 - 2010)。它由清算价值的对冲组合五年年底结合优秀的平衡(<一个href="#EEq16">3.14)(五年年底)在储蓄帐户用于积累当地剩余现金流。

最优套期保值算法3月19日,2005年,新对冲资金 0 = 3 7 4 。 4 1 和最近的历史值的标准普尔500指数(2000 - 2005)用于模拟的“未来”风险资产的路径。在这个实验中,我们使用相同的无风险利率 = 0 。 0 2 如果需要,尽管这个参数可以很容易地改变,以反映最近的市场条件。新的风险资产初始值 0 = 1 1 8 9 。 6 5 和新的成熟时间 = 5 。这将导致一个新的对冲策略 ( ∗ 1 , ∗ 1 ) 在剩下的五年使用的选项。总之,调整策略的组合两个五年战略。这一策略 ( ∗ , ∗ ) 使用在第一个五年的合同,和策略 ( ∗ 1 , ∗ 1 ) 用于过去五年的合同。

调整策略应用于实际的2000 - 2010年标准普尔500指数路径计算和相应的回报。返回累积过去五年合同(2005 - 2010)的报告在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab3/" target="_blank">3。在这个仿真,调整战略产生回报超过一倍半返回由原来的策略。

结果在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab3/" target="_blank">3生产只使用一个单一的资产价值路径,标准普尔500指数从2000年到2010年。提出了一种更健壮的统计描述返回表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab4/" target="_blank">4。这些结果使用二百个模拟创建标准普尔500指数2005 - 2010年期间的路径。实际的路径被引导模拟抽样标准普尔500指数跳在2005 - 2010时期。每个两个对冲策略(原始和调整)应用于二百个模拟路径。的统计描述这些模拟的结果展示在表<一个href="//www.newsama.com/journals/jps/2011/850727/tab4/" target="_blank">4。我们注意调整策略意味着返回值近两倍的原始策略。这些仿真结果确认,调整策略是对原始策略的改进。
原来的策略 重新调整策略
最小值 −99.66 最小值 −107.07
1季度 22.27 1季度 95.79
中位数 60.93 中位数 120.23
的意思是 59.22 的意思是 115.71
第三季度的 97.843 第三季度的 151.23
马克斯 186.65 马克斯 254.15
表4
返回原始统计数据和调整战略(2005 - 2010年200个模拟标准普尔500指数的路径)。

在这个数值实验,对冲策略调整的日期选择中间的选项。从业者可能使用他/她自己的判断以及市场数据选择校准的日期。战略调整过程中可以根据需要多次执行选项。

引用

  1. m·j·布伦南和e·s·施瓦兹”,与股票相关的寿险保单的定价资产担保价值,”<我>金融经济学杂志,3卷,不。3、195 - 213年,1976页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90003-9">出版商的网站|谷歌学术搜索
  2. m·布伦南和e·施瓦兹“另类投资策略的发行人股本与人寿保险政策和资产担保价值,”<我>商业杂志,52卷,不。1,第93 - 63页,1979。视图:<一个href="https://doi.org/10.1086/296034">出版商的网站|谷歌学术搜索
  3. a . r . Bacinello和f . Ortu与内生最低担保定价与股票相关的人寿保险,”<我>保险:数学和经济学,12卷,不。3、245 - 257年,1993页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0167-6687(93)90236-I">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  4. k . k . Aase和美国。,“unit-lined人寿保险的定价政策,”<我>斯堪的纳维亚精算杂志,没有。1,26-52,1994页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Pricing%20of%20unit-lined%20life%20insurance%20policies&author=K. K. Aase &author=S.-A. Persson&publication_year=1994" target="_blank">谷歌学术搜索
  5. t . Møller“对冲股票人寿保险合同,”<我>北美精算杂志,5卷,不。2、79 - 95年,2001页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Hedging%20equity-linked%20life%20insurance%20contracts&author=T. Møller&publication_year=2001" target="_blank">谷歌学术搜索
  6. h . Follmer和d . Sondermann冗余或有索赔,套期保值”<我>对数理经济学的贡献为杰拉德德布鲁、w·希尔德布兰德和a . Mas-Collel Eds。,pp. 205–223, Elsevier, North-Holland, 1986.视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Hedging%20of%20non-redundant%20contingent%20claims&author=H. Föllmer &author=D. Sondermann&publication_year=1986" target="_blank">谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  7. h . Follmer和m·施魏策尔,”对冲顺序回归:介绍期权交易的数学,”<我>奥斯汀公告卷。19日,29-41,1988页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Hedging%20by%20sequential%20regression:%20an%20introduction%20to%20the%20mathematics%20of%20option%20trading&author=H. Föllmer &author=M. Schweizer&publication_year=1988" target="_blank">谷歌学术搜索
  8. a . Melnikov和诉Skornyakova分位数对冲及其应用人寿保险。”<我>统计与决策,23卷,不。4、301 - 316年,2005页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1524/stnd.2005.23.4.301">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  9. a . v . Melnikov“有效对冲股票人寿保险政策,”<我>Doklady数学,卷396,不。6,752 - 754年,2004页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Efficient%20hedging%20of%20equity-linked%20life%20insurance%20policies&author=A. V. Melnikov&publication_year=2004" target="_blank">谷歌学术搜索
  10. a . Melnikov和y Romanyuk”,有效的套期保值和价格与股票相关的人寿保险合同在几个风险资产,”<我>国际理论和应用金融杂志》上,11卷,不。3、295 - 323年,2008页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1142/S0219024908004816">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  11. h . Follmer和p . Leukert分位数对冲。”<我>金融和推断统计学,3卷,不。3、251 - 273年,1999页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/s007800050062">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  12. h . Follmer和p . Leukert有效对冲:成本和短缺风险”,<我>金融和推断统计学,4卷,不。2、117 - 146年,2000页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/s007800050008">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  13. p . Klusik和z . Palmowski分位数对冲股票合约。”<我>保险:数学和经济学,48卷,不。2、280 - 286年,2011页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2010.12.002">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  14. Jaimungal和v . r .年轻,“定价股票纯粹的捐赠基金与风险资产,征收过程,”<我>保险:数学和经济学,36卷,不。3、329 - 346年,2005页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2005.02.010">出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
  15. a . Consiglio d·德·乔凡尼,“评价与保证保险产品在不完全市场上,“<我>保险:数学和经济学,42卷,不。1,第342 - 332页,2008。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2007.04.005">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  16. a . v . Nagaev和s . a . Nagaev”渐近无风险的利润出售的离散时间下看涨期权,“<我>验证Mathematicae,30卷,不。2、173 - 191年,2003页。视图:<一个href="https://doi.org/10.4064/am30-2-3">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  17. g . Tessitore和j . Zabczyk”定价多项式模型的选择,”<我>波兰科学院。公告。数学,44卷,不。3、363 - 380年,1996页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Pricing%20options%20for%20multinomial%20models&author=G. Tessitore &author=J. Zabczyk&publication_year=1996" target="_blank">谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  18. n .何丙郁先生l·金伯尔诉Steblovskaya, a . Nagaev”non-self-financing对冲的算法在离散时间不完全的市场中,”<我>离散数学及其应用,17卷,不。2、189 - 207年,2007页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1515/dma.2007.016">出版商的网站|谷歌学术搜索
  19. n .何丙郁先生l·金博,诉Steblovskaya”non-self-financing对冲的时间序列方法在离散时间不完全的市场中,”<我>应用数学学报和随机分析文章ID 275217年,20页,2008年。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=A%20time-series%20approach%20to%20non-self-financing%20hedging%20in%20a%20discrete-time%20incomplete%20market&author=N. Josephy&author=L. Kimball&author=&author=V. Steblovskaya&publication_year=2008" target="_blank">谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  20. n .何丙郁先生l·金伯尔诉Steblovskaya,“最优路径依赖期权的套期保值在离散时间不完全市场,”<我>通信在随机分析,卷2,不。3、385 - 404年,2008页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Optimal%20hedging%20of%20path-dependent%20options%20in%20discrete%20time%20incomplete%20market&author=N. Josephy&author=L. Kimball&author=&author=V. Steblovskaya&publication_year=2008" target="_blank">谷歌学术搜索
  21. h . Follmer和a . Schied<我>在离散时间随机金融:介绍Walter de Gruyter卷。27日,柏林,德国,2002年。视图:<一个href="https://doi.org/10.1515/9783110198065">出版商的网站
  22. n .何丙郁先生l·金伯尔诉Steblovskaya,“选择套期保值在离散时间不完全的市场中,”<我>杂志上的风险。在出版社。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Alternative%20hedging%20in%20a%20discrete-time%20incomplete%20market&author=N. Josephy&author=L. Kimball&author=&author=V. Steblovskaya" target="_blank">谷歌学术搜索
  23. j·考克斯,美国罗斯和m·鲁宾斯坦“期权定价:一个简化的方法,”<我>金融经济学杂志7卷,第263 - 229页,1979年。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Option%20pricing:%20A%20simplified%20approach&author=J. Cox&author=S. Ross&author=&author=M. Rubinstein&publication_year=1979" target="_blank">谷歌学术搜索
  24. 大肠卢西亚诺和e .豇豆属“Non-mean-reverting仿射过程随机死亡率”<我>学报》第15届国际AFIR讨论会20.05年9月,瑞士苏黎世。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Non-mean-reverting%20affine%20processes%20for%20stochastic%20mortality&author=E. Luciano &author=E. Vigna" target="_blank">谷歌学术搜索
  25. a . v . Melnikov“分位数对冲股票人寿保险政策,”<我>Doklady数学,卷96,不。5,428 - 430年,2004页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Quantile%20hedging%20of%20equity-linked%20life%20insurance%20policies&author=A. V. Melnikov&publication_year=2004" target="_blank">谷歌学术搜索
  26. h·利维和a . Levy”选项估值:二项式模型的延伸,“<我>期货和期权的发展研究5卷,46 - 69年,1991页。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Option%20valuation:%20an%20extension%20of%20the%20binomial%20model&author=H. Levy &author=A. Levy&publication_year=1991" target="_blank">谷歌学术搜索
  27. m . Schal“鞅方法,离散时间金融市场对冲。”<我>运筹学的数学,24卷,不。2、509 - 528年,1999页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1287/moor.24.2.509">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  28. g . Wolczynska“显式期权定价公式在离散不完整的市场,”<我>国际理论和应用金融杂志》上,1卷,不。2、283 - 288年,1998页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1142/S0219024998000151">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  29. o . Hammarlid最小化风险在不完全市场上,“<我>国际理论和应用金融杂志》上,1卷,不。2、227 - 233年,1998页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1142/S0219024998000126">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  30. l . Ruschendorf”,在离散时间模型的上部和更低的价格。”<我>学报的不欢而散数学学院卷,237年,第139 - 134页,2002年。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=On%20upper%20and%20lower%20prices%20in%20discrete-time%20models&author=L. Ruschendorf&publication_year=2002" target="_blank">谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  31. t·科尔曼,y, M.-C。赞助人,“分段线性下离散对冲风险最小化。”<我>杂志上的风险,5卷,页39 - 65,2003。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Discrete%20hedging%20under%20piecewise%20linear%20risk%20minimization&author=T. Coleman&author=Y. Li&author=&author=M.-C. Patron&publication_year=2003" target="_blank">谷歌学术搜索
  32. d . Ruppert<我>统计和金融:一个介绍施普林格,纽约,纽约,美国,2004年。
  33. s . n . Lahiri<我>依赖的数据重采样方法,施普林格系列统计,施普林格,纽约,纽约,美国,2003年。
  34. e·阿里亚斯,b .罗斯特朗说道,b . Tejada-Vera“美国生活表,2005,”<我>国家重要的统计报告,卷。58岁的没有。10日,第1 - 40页,2010年。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=United%20States%20Life%20Tables,%202005&author=E. Arias&author=B. Rostron&author=&author=B. Tejada-Vera&publication_year=2010" target="_blank">谷歌学术搜索

版权©2011年诺曼何丙郁先生等。这是一个开放的分布式下文章<一个rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/">知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。

更多相关文章

对本文没有相关内容可用。
PDF 下载引用 引用
下载其他格式更多的
ePub
XML
订单打印副本订单
的观点1500年
下载1038年
引用

相关文章

对本文没有相关内容可用。

文章奖:2020年杰出的研究贡献,选择由我们的首席编辑。<一个href="//www.newsama.com/article-year-award/" rel="noopener noreferrer" target="_blank">获奖的文章阅读。