我们研究一个排队系统配备一个备用服务器除了主服务器。备用服务器只向客户提供服务期间缺乏主服务器,当主服务器在度假或者维修的状态是由于突然失败的时候。服务时间,假期时间和维修时间假定遵循一般任意分布而备用服务时间服从指数分布。补充变量方法被用来获得稳态结果是明确的和封闭形式的概率生成函数的客户在队列中,顾客的平均数量,平均队列中的等待时间而MathCad软件被用来说明这项工作的数值结果。
1。介绍
由于其广泛的应用于柔性制造或计算机通信系统,
(
]
/
/
1
排队系统和假期
(
]
/
/
1
排队系统故障已经研究了几个作者包括(1 - - - - - -8 ]。最近的作者(9 ]研究了一些排队系统的假期和故障。
在这项工作中,我们研究一个
(
]
/
/
1
排队系统与伯努利安排假期和随机故障和额外的重要假设系统部署一个备用服务器假期期间和主服务器的维修时间。
马丹(10 ]研究排队系统的稳态行为与备用服务器在维修期间仅为客户提供服务。工作,修复时间假定遵循一个指数分布。本文认为假期和故障的附加假设部署备用假期期间和修复时间。我们推广结果不仅被马丹(10 ),但也获得的结果Maraghi et al。9 ]。最重要的是,我们假设服务时间,假期时间和维修时间有不同的通用(任意)分布而备用服务时间服从指数分布。的五个分布在这个模型中我们假设四个普遍分布,这是非常重要的,因为所有其他发行版等指数,确定性,Erlang-k分布将被包括在内。
本文的其余部分安排如下图。部分2 使潜在的假设认为排队系统。节中给出相关定义和使用符号3 。方程管理系统制定部分4 。节5 ,我们给方程的解决方案制定前一节中找到队列大小分布在一个随机的时代。平均队列大小和平均等待时间6 。节7 ,我们认为一个数值例子来说明我们的研究结果的应用。
2。假设
顾客到达系统批量可变大小的复合泊松过程。让
Δ
(
=
1
,
2
,
3
,
…
)
一批一阶概率我 顾客到达系统在一个短的时间间隔
(
,
+
Δ
)
,在那里
0
≤
≤
1
和
∑
∞
=
1
=
1
和
>
0
是批量的平均到达率。客户提供的服务一个接一个的“先到先得。”
主服务器的服务时间遵循一般(任意)分布的分布函数
(
)
和密度函数
(
)
。让
(
)
Δ
的条件概率密度服务间隔期间完成
(
,
+
Δ
]
,考虑到运行服务时间
,所以
(
)
=
(
)
1
−
(
)
,
(
2
。
1
)
,因此
(
)
=
(
)
−
∫
0
(
)
。
(
2
。
2
)
在完成服务,服务器可能休假的随机长度的概率
,或可能与概率保持系统提供服务
1
−
,在那里
0
≤
≤
1
。
服务器的假期时间遵循一般(任意)分布的分布函数
(
)
和密度函数
(
)
。让
(
)
Δ
的条件概率完成假期期间间隔
(
,
+
)
考虑到假期时间
,所以
(
)
=
(
)
1
−
(
)
,
(
2
。
3
)
,因此
(
)
=
(
)
−
∫
0
(
)
。
(
2
。
4
)
系统会随机分解,发生故障被认为根据泊松流意味着分解率
>
0
。进一步我们假设系统分解后,客户的服务中断回到队列的头,但立即采取由备用服务器服务。
一旦系统分解,它立即开始维修,维修期间遵循一般(任意)分布的分布函数
(
)
和密度函数
(
)
。让
(
)
Δ
修复完成的条件概率密度在时间间隔
(
,
+
Δ
]
,考虑到运行维修时间
,所以
(
)
=
(
)
1
−
(
)
,
(
2
。
5
)
,因此
(
)
=
(
)
−
∫
0
(
)
。
(
2
。
6
)
备用服务器就开始服务于客户的主要服务器分解或当主服务器完成后离开度假服务。备用服务时间跟随一个备用服务速率的指数分布
>
0
和平均备用服务时间
1
/
。
我们进一步假设系统主服务器连接完成后立即的假期或完成的维修,和客户提供的备用服务器立即转移到主服务器重新启动服务。
系统中所有随机过程是相互独立的。
3所示。符号
我们让(我)
(
,
)
:概率
,有
≥
0
客户在队列中不包括客户服务的一个主要服务器,运行该客户的服务时间
。因此,
∫
(
)
=
∞
0
(
,
)
表示存在的概率
≥
1
客户在队列中不包括一个客户服务价值的不管
; (2)
(
,
)
:概率
,有
≥
0
客户在队列中(和一个客户正在服役的备用服务器),和主服务器和运行假期度假
。因此,
∫
(
)
=
∞
0
(
,
)
表示时间的概率
,有
≥
0
队列中的客户和服务器是度假无关的价值
。当假期开始备用服务器启动系统服务于客户; (3)
(
,
)
:概率
,有
(
≥
0
)顾客队列(和一个客户的备用服务器)系统正在维修时经过修理时间
。因此,
∫
(
)
=
∞
0
(
,
)
表示时间的概率
,有
≥
0
队列中的客户和服务器正在维修无关的价值
; (iv)
(
)
:概率
系统中,没有客户和服务器空闲,但系统中可用。
假设稳态存在,我们
l
我
米
→
∞
(
,
)
=
(
)
,
l
我
米
→
∞
(
)
=
l
我
米
→
∞
∞
0
(
,
)
=
,
l
我
米
→
∞
(
)
=
0
,
w
h
e
r
e
=
,
,
,
l
我
米
→
∞
(
)
=
。
(
3
。
1
)
4所示。方程管理系统
根据上述假设,我们有四个可能状态的系统在一个短的时间间隔
(
,
+
Δ
)
:第一个是主服务器提供服务,第二个是主服务器是度假和备用服务器提供服务,第三个国家是主要的服务器是不活跃的由于系统故障,正在维修和备用服务器提供服务,最后可能的状态是,服务器是空闲的(没有客户系统),但系统中可用。通过讨论每种情况的概率和发现的极限
Δ
→
0
,我们得到以下的差分方程
(
)
=
−
(
+
(
)
+
)
(
)
+
−
1
=
1
−
(
)
,
≥
1
,
(
4
。
1
)
0
(
)
=
−
(
+
(
)
+
)
0
(
)
,
(
4
。
2
)
(
)
=
−
(
+
(
)
+
)
(
)
+
=
1
−
(
)
+
+
1
(
)
,
≥
1
,
(
4
。
3
)
0
(
)
=
−
(
+
(
)
+
)
0
(
)
+
1
(
)
,
(
4
。
4
)
(
)
=
−
(
+
(
)
+
)
(
)
+
=
1
−
(
)
+
+
1
(
)
,
≥
1
,
(
4
。
5
)
0
(
)
=
−
(
+
(
)
+
)
0
(
)
+
1
(
)
,
(
4
。
6
)
=
∞
0
0
(
)
(
)
+
(
1
−
)
∞
0
0
(
)
(
)
+
(
1
−
)
∞
0
0
(
)
(
)
。
(
4
。
7
)
下面的边界条件将被用来解决上面的方程:
(
0
)
=
(
1
−
)
∞
0
+
1
(
)
(
)
+
∞
0
+
1
+
(
)
(
)
∞
0
+
1
(
)
(
)
+
+
1
,
≥
0
,
(
4
。
8
)
(
0
)
=
∞
0
(
)
(
)
,
≥
0
,
(
4
。
9
)
(
0
)
=
∞
0
−
1
(
)
,
≥
1
,
(
4
。
1
0
)
0
(
0
)
=
0
。
(
4
。
1
1
)
5。队列大小分布在一个随机的时代
定义以下概率生成函数
(
,
)
=
∞
=
0
(
)
,
(
)
=
∞
=
0
,
=
,
,
,
(
)
=
∞
=
1
,
(
5
。
1
)
我们乘(4.1 )
,总和
从1到
∞
增加(4.2 ),那么通过简化和使用(5.1 ),我们得到
(
,
)
+
(
−
(
)
+
(
)
+
)
(
,
)
=
0
。
(
5
。
2
)
使用相同的过程,从(4.3 ),(4.4 )和(4.5 ),(4.6 )我们会分别
(
,
)
+
−
(
)
+
(
)
+
−
(
,
)
=
0
,
(
5
。
3
)
(
,
)
+
−
(
)
+
(
)
+
−
(
,
)
=
0
。
(
5
。
4
)
用(4.8 )
+
1
,求和
从0到
∞
中定义,并使用生成函数(5.1 ),我们得到
(
0
,
)
=
(
1
−
)
∞
0
(
,
)
(
)
+
∞
0
(
,
)
(
)
+
∞
0
−
(
,
)
(
)
+
(
)
(
1
−
)
∞
0
0
(
)
(
)
+
(
1
−
)
∞
0
0
(
,
)
(
)
+
∞
0
0
。
(
,
)
(
)
(
5
。
5
)
从(4.7 ),我们有
(
0
,
)
=
(
1
−
)
∞
0
(
,
)
(
)
+
∞
0
(
,
)
(
)
+
∞
0
(
,
)
(
)
+
(
(
)
−
1
)
。
(
5
。
6
)
用(4.9 )
和求和
从0到
∞
,我们得到
(
0
,
)
=
∞
0
(
,
)
(
)
。
(
5
。
7
)
同样,从(4.10 ),我们得到
(
0
,
)
=
∞
0
(
,
)
=
(
)
,
≥
0
。
(
5
。
8
)
积分(5.2 )从0到
收益率
(
,
)
=
(
0
,
)
∫
−
(
−
(
)
+
)
−
0
(
)
,
(
5
。
9
)
在哪里
(
0
,
)
是由(5.6 )。让我们考虑
=
−
(
)
+
。
积分方程(5.9 关于)部分
收益率
(
)
=
(
0
,
)
1
−
∗
(
)
,
(
5
。
1
0
)
在哪里
∗
∫
(
)
=
∞
0
−
(
)
的Laplace-Stieltjes变换服务时间吗
(
)
。
现在两边乘以(5.9 )
(
)
和集成
我们得到了
∞
0
(
,
)
(
)
=
(
0
,
)
∗
(
)
。
(
5
。
1
1
)
使用(5.11 从(),5.7 ),我们得到
(
0
,
)
=
(
0
,
)
∗
(
)
。
(
5
。
1
2
)
同样,我们整合(5.3 )从0到
,我们得到
(
,
)
=
(
0
,
)
∫
−
(
−
(
)
+
−
/
)
−
0
(
)
。
(
5
。
1
3
)
替代的价值
(
0
,
)
从(5.12 )(5.13 ),我们得到
(
,
)
=
(
0
,
)
∗
(
)
∫
−
(
−
(
)
+
−
/
)
−
0
(
)
。
(
5
。
1
4
)
让我们考虑
=
−
(
)
+
−
/
现在集成(5.14 关于)部分
我们得到了
(
)
=
(
0
,
)
∗
(
)
1
−
∗
(
)
,
(
5
。
1
5
)
在哪里
∗
∫
(
)
=
∞
0
−
(
)
Laplace-Stieltjes变换的假期吗
(
)
。
现在两边乘以(5.14 )
(
)
和集成
我们得到了
∞
0
(
,
)
(
)
=
(
0
,
)
∗
(
)
∗
(
)
。
(
5
。
1
6
)
现在集成(5.4 )从0到
,收益率
(
,
)
=
(
0
,
)
∫
−
(
−
(
)
+
−
/
)
−
0
(
)
。
(
5
。
1
7
)
替代的价值
(
0
,
)
从(5.8 )(5.17 ),我们得到
(
,
)
=
(
0
,
)
1
−
∗
(
)
∫
−
(
−
(
)
+
−
/
)
−
0
(
)
,
(
5
。
1
8
)
积分(5.18 关于)部分
我们得到了
(
)
=
(
0
,
)
1
−
∗
(
)
1
−
∗
(
)
,
(
5
。
1
9
)
在哪里
∗
∫
(
)
=
∞
0
−
(
−
(
)
+
−
/
)
(
)
的Laplace-Stieltjes变换修复时间
(
)
。
现在两边乘以(5.18 )
(
)
和集成
我们得到了
∞
0
(
,
)
(
)
=
(
0
,
)
1
−
∗
(
)
∗
(
)
。
(
5
。
2
0
)
现在使用(5.11 ),(5.16 )和(5.20 ),(5.6 )成为
(
0
,
)
=
−
−
∗
(
)
(
1
−
+
∗
(
)
)
−
1
−
∗
(
)
∗
(
)
,
(
5
。
2
1
)
在哪里
=
−
(
)
,从(5.21 )方程(5.10 ),(5.15 )和(5.19 ),分别
(
)
=
−
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
(
1
−
+
∗
(
)
)
−
1
−
∗
(
)
∗
(
,
)
(
)
=
−
∗
(
)
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
(
1
−
+
∗
(
)
)
−
1
−
∗
(
)
∗
(
,
)
(
)
=
−
1
−
∗
(
)
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
(
1
−
+
∗
(
)
)
−
1
−
∗
(
)
∗
(
。
)
(
5
。
2
2
)
让
(
)
表示队列大小的概率生成函数不考虑系统的状态。也就是说,
(
)
=
(
)
+
(
)
+
(
)
。
然后添加(5.22 我们获得
(
)
=
−
1
−
∗
(
)
+
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
(
1
−
+
∗
(
)
)
−
1
−
∗
(
)
∗
(
)
。
(
5
。
2
3
)
为了找到
,我们使用归一化条件
(
1
)
+
=
1
。
(
5
。
2
4
)
注意,如果
=
1
然后
=
0
和
=
0
,所以
(
1
)
是不确定的
0
/
0
的形式。因此,我们应用L hopital规则两次(5.23 ),我们得到
(
1
)
=
l
我
米
→
1
(
)
(
)
,
(
5
。
2
5
)
在哪里
(
)
和
(
)
是右边的分子和分母(5.23 分别)。两个质数(5.25 )表示的二阶导数
=
1
。开展衍生品
=
1
我们有
(
1
)
=
−
2
(
)
(
(
)
−
)
1
−
∗
(
)
{
1
+
(
)
}
+
∗
(
)
(
)
,
(
5
。
2
6
)
(
1
)
=
2
(
(
)
−
)
1
−
∗
(
(
)
(
)
+
{
1
+
(
(
)
−
)
(
)
}
)
−
1
−
(
(
)
−
)
∗
,
(
)
(
)
(
5
。
2
7
)
在哪里
(
1
)
=
1
,
(
1
)
=
(
)
是指到达客户的批量大小,
∗
(
0
)
=
1
,
∗
′
(
0
)
=
−
(
)
意思是假期,
∗
(
0
)
=
1
,
∗
′
(
0
)
=
−
(
)
平均修复时间。
因此,添加
(5.25 ),相当于1和简化
=
1
−
(
(
)
−
)
∗
−
(
)
(
)
1
−
∗
(
)
(
(
)
+
{
1
+
(
(
)
−
)
(
)
}
)
(
)
1
−
∗
(
)
+
∗
(
)
(
1
+
(
)
)
。
(
5
。
2
8
)
从(5.28 我们可以找到利用系数,
,在那里
=
1
−
。
作为一个特殊情况下如果我们假设这意味着没有站在服务器
=
0
,
=
=
−
(
)
使用这个在本文的主要结果,我们得到,
(
)
=
−
1
−
∗
(
)
+
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
1
−
∗
(
)
−
∗
(
)
(
1
−
+
∗
(
)
)
−
1
−
∗
(
)
∗
(
1
)
,
(
5
。
2
9
)
=
1
−
(
)
∗
−
1
(
)
+
(
)
∗
(
)
−
(
)
+
(
)
。
(
5
。
3
0
)
这些结果同意给出的结果(9 ]。
6。平均队列大小和平均等待时间
让
表示的意思是数量的客户在稳定状态下的队列。然后
=
|
|
|
(
)
=
1
。
(
6
。
1
)
因为这个公式给出了0/0的形式,然后利用洛必达法则得到四倍
=
l
我
米
→
1
(
)
(
)
−
(
)
(
)
3
(
)
2
,
(
6
。
2
)
在哪里
(
1
)
和
(
1
)
给出了(5.26 )和(5.27 ),分别
(
1
)
=
−
3
1
−
∗
(
)
(
1
+
(
)
)
−
6
2
∗
(
]
(
)
1
+
(
)
−
3
1
−
∗
(
)
(
1
+
(
)
)
+
2
(
)
+
2
2
+
3
(
)
∗
(
)
2
2
−
+
6
2
(
)
∗
(
)
−
3
∗
(
)
2
2
,
+
(
)
(
6
。
3
)
(
1
)
=
3
1
−
∗
(
)
(
)
{
2
−
}
+
6
2
∗
(
)
+
3
1
−
∗
(
)
{
+
}
−
3
2
∗
(
)
(
)
−
∗
(
)
2
2
+
(
)
+
6
2
1
−
∗
(
)
(
)
+
3
{
1
+
(
)
}
1
−
∗
(
)
+
2
∗
(
)
+
3
1
−
∗
(
)
2
2
,
+
(
)
(
6
。
4
)
在哪里
(
(
(
−
1
)
)
+
2
)
=
,
(
)
−
=
,
(
(
−
1
)
)
=
,
一个
n
d
(
)
=
。
7所示。数值例子
来说明这一章数值的结果我们认为服务时间,假期时间,备用服务时间和维修时间呈指数分布。所有的值都是选择,稳态条件满足。在表1 我们将介绍本文的新贡献的影响,我们将显示新的参数的影响
(备用服务速率)的趋势。我们选择以下值
=
7
,
=
3
,
=
2
,
=
7
,
=
2
,
=
0
。
5
,
(
)
=
1
,
(
(
−
1
)
)
=
0
我们认为,
需要的值0,1,4,6,8、10。
表1 表明,增加的价值
减少利用系数的值,平均队列大小和顾客的平均等待时间,而服务器空闲时间增加。所有的趋势显示的表。
确认
作者想表达深深的谢意和感谢裁判(s),他们的意见和建议,使论文的改进在其目前的形式。
