gydF4y2Ba一些强大数定律和强收敛属性数组的行负线性相关和负象限相关的随机变量。获得的结果不仅推广胡锦涛和泰勒的结果负线性相关和负象限相依随机变量,而且改进它。
<年代p一个ncl作为年代=”end-abs">
1。介绍
gydF4y2Ba让<年代vghe我ght=”15。5875" id="M1" style="vertical-align:-3.88116pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.5875" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
是一个独立分布的随机变量序列。Marcinkiewicz-Zygmund强大数定律(SLLN)提供<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq1.1">
当且仅当<年代vghe我ght=”14。175” id="M3" style="vertical-align:-2.21957pt;width:71.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.474998 14.175" width="71.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
<
∞
。这个案子<年代vghe我ght=”10。85" id="M4" style="vertical-align:-0.1254pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 10.85" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
柯尔莫哥洛夫。在独立的情况下(但不一定是同分布),胡和泰勒(<一个href=”#B1">1一个>]证明了下面的强大数定律。
<年代p一个ncl作为年代="statement" id="thm1.1">定理1.1。年代p一个n><我>让<年代vghe我ght=”14。775" id="M5" style="vertical-align:-3.2316pt;width:144.14999px;" version="1.1" viewbox="0 0 144.14999 14.775" width="144.14999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
,
1
≤
≤
,
≥
1
}
是一个三角行独立随机变量的数组。让<年代vghe我ght=”15。5875" id="M6" style="vertical-align:-3.88116pt;width:50.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.224998 15.5875" width="50.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
是一个正实数序列,这样<年代vghe我ght=”14。6875" id="M7" style="vertical-align:-3.20526pt;width:72.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 72.375 14.6875" width="72.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
↑
∞
。让<年代vghe我ght=”13。55” id="M8" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.1625 13.55" width="27.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是积极的,即使这样的函数<年代vghe我ght=”14。275” id="M9" style="vertical-align:-2.29482pt;width:48.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.625 14.275" width="48.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
是一个增加函数的<年代vghe我ght=”13。45”我d="M10" style="vertical-align:-2.21957pt;width:11.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.2625 13.45" width="11.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
和<年代vghe我ght=”16。8375" id="M11" style="vertical-align:-2.29482pt;width:61.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.587502 16.8375" width="61.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
+
1
是一个递减函数的<年代vghe我ght=”13。45”我d="M12" style="vertical-align:-2.21957pt;width:11.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.2625 13.45" width="11.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
分别为,我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq1.2">
对于一些正整数<年代vghe我ght=”9。875" id="M14" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.7624998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.7624998 9.875" width="7.7624998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。如果<年代vghe我ght=”13。55” id="M15" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
2
和我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq1.3">
在哪里<年代vghe我ght=”10。7375" id="M17" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个正整数,然后呢我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq1.4">
定义1.2 (cf。<一个href=”#B2">2一个>])。我>年代p一个n>一个有限的随机变量的家庭<年代vghe我ght=”15。5875" id="M19" style="vertical-align:-3.88116pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.5875" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
据说是负相关(NA),如果对任何不相交的子集<年代vghe我ght=”10。55" id="M20" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vghe我ght=”10。325" id="M21" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的<年代vghe我ght=”13。575” id="M22" style="vertical-align:-2.26974pt;width:76.300003px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.300003 13.575" width="76.300003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
1
,
2
,
…
,
}
和任何实际坐标态不减少的功能<年代vghe我ght=”13。4875" id="M23" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在<年代vghe我ght=”13。675” id="M24" style="vertical-align:-0.0pt;width:20.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.262501 13.675" width="20.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℝ
和<年代vghe我ght=”9。9375" id="M25" style="vertical-align:-2.34499pt;width:8.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.4375 9.9375" width="8.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在<年代vghe我ght=”13。525” id="M26" style="vertical-align:-0.0pt;width:20.475px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.475 13.525" width="20.475" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℝ
,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq1.5">
当协方差存在。无限的随机变量是每个有限亚科是NA NA如果。这个概念被引入Joag-Dev和Proschan [<一个href=”#B2">2一个>]。年代p一个n>
定义1.3 (cf。<一个href=”#B3a">3一个>,4一个>])。我>年代p一个n>两个随机变量<年代vghe我ght=”10。325" id="M28" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vghe我ght=”10。325" id="M29" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
据说负象限依赖(NQD短),如果对任何<年代vghe我ght=”13。325” id="M30" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.049999px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.049999 13.325" width="54.049999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
∈
ℝ
,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq1.6">
一个序列<年代vghe我ght=”15。5875" id="M32" style="vertical-align:-3.88116pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.5875" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
的随机变量两两NQD如果<年代vghe我ght=”14。3625” id="M33" style="vertical-align:-3.2316pt;width:16.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.5 14.3625" width="16.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vghe我ght=”16。2875" id="M34" style="vertical-align:-4.77652pt;width:18px;" version="1.1" viewbox="0 0 18 16.2875" width="18" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
对所有NQD<年代vghe我ght=”15。2875" id="M35" style="vertical-align:-2.34499pt;width:55.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.987499 15.2875" width="55.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
∈
ℕ
+
和<年代vghe我ght=”13。3875" id="M36" style="vertical-align:-2.34499pt;width:27.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.9125 13.3875" width="27.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
。年代p一个n>
定义1.4 (cf。<一个href=”#B4">5一个>])。我>年代p一个n>一个序列<年代vghe我ght=”15。5875" id="M37" style="vertical-align:-3.88116pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.5875" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
随机变量是线性负象限依赖(LNQD,简而言之),如果对任何不相交的子集<年代vghe我ght=”14。5625” id="M38" style="vertical-align:-1.76814pt;width:67.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.587502 14.5625" width="67.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
∈
ℤ
+
和积极的<年代vghe我ght=”19。2125” id="M39" style="vertical-align:-5.34312pt;width:18.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.9125 19.2125" width="18.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq1.7">
1.5的话。我>年代p一个n>它很容易看到,如果<年代vghe我ght=”15。5875" id="M41" style="vertical-align:-3.88116pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.5875" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
是一个LNQD随机变量序列,然后<年代vghe我ght=”15。5875" id="M42" style="vertical-align:-3.88116pt;width:87.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.5625 15.5875" width="87.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
+
}
∈
ℕ
仍然是一个LNQD随机变量序列,在哪里<年代vghe我ght=”7。1750002" id="M43" style="vertical-align:-0.1254pt;width:7.9749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9749999 7.1750002" width="7.9749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vghe我ght=”10。7375" id="M44" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.4749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.4749999 10.7375" width="7.4749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是实数。年代p一个n>
NA性能引起了广泛的兴趣,因为大量应用在可靠性理论中,渗流理论和多元统计分析。在过去的几十年中,很多努力致力于证明NA随机变量的极限定理。一个Kolmogorov-type强大数定律的NA随机变量建立了Matuła (<一个href=”#B5">6一个>),I.I.D.序列是一样的,Marcinkiewicz-type强大数定律是通过Su和王<一个href=”#B6">7一个>]NA随机变量序列的假设相同的分布;杨et al。<一个href=”#B7">8一个>)给了强大数定律的一般方法。
gydF4y2BaLNQD序列的概念引入的纽曼(<一个href=”#B4">5一个>]。一些申请LNQD序列被发现。见,例如,纽曼(<一个href=”#B4">5一个>)建立了中心极限定理的一个严格的平稳LNQD过程。王、张(<一个href=”#B8">9一个>)提供统一的收敛率LNQD序列的中心极限定理。Ko et al。<一个href=”#B9">10一个>)获得了Hoeffding-type LNQD序列的不平等。Ko et al。<一个href=”#B10">11一个>]研究了强收敛LNQD阵列的加权求和,等等。
gydF4y2Ba本文的目的是建立一个强大数定律NA和LNQD随机变量的数组。结果不仅扩展定理<一个href=”#thm1.1">1.1一个>独立序列上面NA和LNQD随机变量序列的情况下,但也提高了。
<年代p一个ncl作为年代="statement" id="lem1.6">引理1.6 (cf。<一个href=”#B11">12一个>])。年代p一个n><我>让<年代vghe我ght=”14。75” id="M45" style="vertical-align:-3.20526pt;width:75.012497px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.012497 14.75" width="75.012497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
,
≥
1
}
NA随机变量,<年代vghe我ght=”14。6875" id="M46" style="vertical-align:-3.20526pt;width:56.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.887501 14.6875" width="56.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vghe我ght=”15。4125” id="M47" style="vertical-align:-3.20526pt;width:76.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.8125 15.4125" width="76.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
<
∞
,<年代vghe我ght=”12。3”我d="M48" style="vertical-align:-1.29163pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 12.3" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,<年代vghe我ght=”13。55” id="M49" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.487499 13.55" width="34.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
2
。然后,存在一个正的常数<年代vghe我ght=”7。1875" id="M50" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.3874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.3874998 7.1875" width="7.3874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
这样我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq1.8">
让<年代vghe我ght=”7。1875" id="M52" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.3874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.3874998 7.1875" width="7.3874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
表示积极的常数也没有必要在每个外观。
<年代p一个ncl作为年代="statement" id="lem1.7">引理1.7 (cf。<一个href=”#B3a">3一个>,4一个>])。年代p一个n><我>我们随机变量<年代vghe我ght=”10。325" id="M53" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vghe我ght=”10。325" id="M54" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
NQD,那么我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq1.9">
引理1.8。年代p一个n><我>让<年代vghe我ght=”14。75” id="M56" style="vertical-align:-3.20526pt;width:75.012497px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.012497 14.75" width="75.012497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
,
≥
1
}
与零和LNQD随机变量序列<年代vghe我ght=”19。075001" id="M57" style="vertical-align:-4.25465pt;width:130.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 130.60001 19.075001" width="130.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
=
∑
=
1
2
。然后,我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq1.10">
对于任何<年代vghe我ght=”11。0625" id="M59" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.924999 11.0625" width="35.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
,<年代vghe我ght=”13。55” id="M60" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.075001 13.55" width="35.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
。我>年代p一个n>
这个引理很容易证明后的福娃和Nagaev<一个href=”#B12">13一个>]。在这里,我们忽略的细节证据。
2。主要结果<年代p一个ncl作为年代="statement" id="thm2.1">定理2.1。年代p一个n><我>让<年代vghe我ght=”14。775" id="M61" style="vertical-align:-3.2316pt;width:117.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 117.4375 14.775" width="117.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
;
≥
1
,
≥
1
}
数组的行NA随机变量。让<年代vghe我ght=”15。5875" id="M62" style="vertical-align:-3.88116pt;width:50.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.224998 15.5875" width="50.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
是一个正实数序列,这样<年代vghe我ght=”14。6875" id="M63" style="vertical-align:-3.20526pt;width:72.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 72.375 14.6875" width="72.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
↑
∞
。让<年代vghe我ght=”13。55” id="M64" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.1625 13.55" width="27.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是积极的,即使这样的函数<年代vghe我ght=”13。55” id="M65" style="vertical-align:-2.29482pt;width:42.650002px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.650002 13.55" width="42.650002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
是一个增加函数的<年代vghe我ght=”13。45”我d="M66" style="vertical-align:-2.21957pt;width:11.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.2625 13.45" width="11.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
和<年代vghe我ght=”14。275” id="M67" style="vertical-align:-2.29482pt;width:48.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.625 14.275" width="48.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
是一个递减函数的<年代vghe我ght=”13。45”我d="M68" style="vertical-align:-2.21957pt;width:11.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.2625 13.45" width="11.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
分别为,我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.1">
对于一些非负整数<年代vghe我ght=”10。325" id="M70" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.75 10.325" width="11.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。如果<年代vghe我ght=”13。55” id="M71" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
2
和我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.2">
在哪里<年代vghe我ght=”7。4250002" id="M73" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0375004 7.4250002" width="8.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个正整数,<年代vghe我ght=”12。5”我d="M74" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.0625 12.5" width="35.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
,然后我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.3">
定理的证明<一个href=”#thm2.1">2.1一个>。我>年代p一个n>对所有<年代vghe我ght=”12。3”我d="M76" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 12.3" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,<年代vghe我ght=”20。4375" id="M77" style="vertical-align:-4.2998pt;width:398.47501px;" version="1.1" viewbox="0 0 398.47501 20.4375" width="398.47501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
e
t
(
)
=
−
(
<
−
)
+
(
|
|
≤
)
+
(
>
)
,<年代vghe我ght=”22。362499" id="M78" style="vertical-align:-5.84473pt;width:206.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 206.78751 22.362499" width="206.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
1
/
)
∑
=
1
(
(
)
−
(
)
)
那么,<年代vghe我ght=”11。0625" id="M79" style="vertical-align:-0.30096pt;width:34.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.887501 11.0625" width="34.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.4">
首先,我们证明<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.5">
事实上,通过<年代vghe我ght=”14。7125” id="M82" style="vertical-align:-3.2316pt;width:60.299999px;" version="1.1" viewbox="0 0 60.299999 14.7125" width="60.299999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vghe我ght=”13。55” id="M83" style="vertical-align:-2.29482pt;width:59.325001px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.325001 13.55" width="59.325001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
↑
作为<年代vghe我ght=”13。45”我d="M84" style="vertical-align:-2.21957pt;width:27.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.9375 13.45" width="27.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
↑
和<年代vghe我ght=”16。674999" id="M85" style="vertical-align:-4.3951pt;width:201.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 201.675 16.674999" width="201.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Σ
∞
=
1
Σ
=
1
(
(
|
|
)
/
(
)
)
<
∞
,然后<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.6">
从(<一个href=”#EEq2.4">2.4一个>)和(<一个href=”#EEq2.5">2.5一个>),因此,<年代vghe我ght=”7。1374998" id="M87" style="vertical-align:-0.10033pt;width:7.8874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.8874998 7.1374998" width="7.8874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
足够大,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.7">
因此,我们只需要证明<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.8">
从这一事实<年代vghe我ght=”16。674999" id="M90" style="vertical-align:-4.3951pt;width:201.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 201.675 16.674999" width="201.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Σ
∞
=
1
Σ
=
1
(
(
|
|
)
/
(
)
)
<
∞
,这是很容易<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.9">
通过<年代vghe我ght=”12。5”我d="M92" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.0625 12.5" width="35.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
和<年代vghe我ght=”14。275” id="M93" style="vertical-align:-2.29482pt;width:65.287498px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.287498 14.275" width="65.287498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
↓
作为<年代vghe我ght=”13。45”我d="M94" style="vertical-align:-2.21957pt;width:27.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.9375 13.45" width="27.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
↑
,然后<年代vghe我ght=”14。4625” id="M95" style="vertical-align:-2.29482pt;width:65.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.474998 14.4625" width="65.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
↓
作为<年代vghe我ght=”13。45”我d="M96" style="vertical-align:-2.21957pt;width:27.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.9375 13.45" width="27.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
↑
。
gydF4y2Ba马尔可夫不等式,引理<一个href=”#lem1.6">1.6一个>,
∑
∞
=
1
(
∑
=
1
(
/
)
2
)
/
2
<
∞
,我们有<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.10">
现在我们完成定理的证明<一个href=”#thm2.1">2.1一个>。年代p一个n>
推论2.2。年代p一个n><我>定理的条件下<一个href=”#thm2.1">2.1一个>,然后我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.11">
推论的证明<一个href=”#coro2.2">2.2一个>。我>年代p一个n>由定理<一个href=”#thm2.1">2.1一个>推论的证明<一个href=”#coro2.2">2.2一个>是显而易见的。年代p一个n>
2.3的话。我>年代p一个n>必然的结果<一个href=”#coro2.2">2.2一个>不仅推广了胡锦涛和泰勒NA随机变量的结果,但也提高了。年代p一个n>
定理2.4。年代p一个n><我>让<年代vghe我ght=”14。775" id="M100" style="vertical-align:-3.2316pt;width:117.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 117.4375 14.775" width="117.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
;
≥
1
,
≥
1
}
数组的行LNQD随机变量。让<年代vghe我ght=”15。5875" id="M101" style="vertical-align:-3.88116pt;width:50.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.224998 15.5875" width="50.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
是一个正实数序列,这样<年代vghe我ght=”14。6875" id="M102" style="vertical-align:-3.20526pt;width:72.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 72.375 14.6875" width="72.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
↑
∞
。让<年代vghe我ght=”13。55” id="M103" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.1625 13.55" width="27.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是积极的,即使这样的函数<年代vghe我ght=”13。55” id="M104" style="vertical-align:-2.29482pt;width:42.650002px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.650002 13.55" width="42.650002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
是一个增加函数的<年代vghe我ght=”13。45”我d="M105" style="vertical-align:-2.21957pt;width:11.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.2625 13.45" width="11.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
和<年代vghe我ght=”14。275” id="M106" style="vertical-align:-2.29482pt;width:48.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.625 14.275" width="48.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
|
|
是一个递减函数的<年代vghe我ght=”13。45”我d="M107" style="vertical-align:-2.21957pt;width:11.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.2625 13.45" width="11.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
分别为,我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.12">
对于一些正整数<年代vghe我ght=”9。875" id="M109" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.7624998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.7624998 9.875" width="7.7624998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。如果<年代vghe我ght=”13。55” id="M110" style="vertical-align:-2.29482pt;width:62.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.174999 13.55" width="62.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
<
≤
2
和我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.13">
然后我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.14">
定理的证明<一个href=”#thm2.4">2.4一个>。我>年代p一个n>对于任何<年代vghe我ght=”12。3”我d="M113" style="vertical-align:-1.29163pt;width:62.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.950001 12.3" width="62.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≤
≤
,<年代vghe我ght=”12。3”我d="M114" style="vertical-align:-1.29163pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 12.3" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,让<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.15">
证明(<一个href=”#EEq2.14">2.14一个>),它就可以证明<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.16">
首先,我们证明(<一个href=”#EEq2.16">2.16一个>):
其次,我们证明(<一个href=”#EEq2.16">2.17一个>)。由引理<一个href=”#lem1.7">1.7一个>,我们知道<年代vghe我ght=”14。775" id="M120" style="vertical-align:-3.2316pt;width:195.46249px;" version="1.1" viewbox="0 0 195.46249 14.775" width="195.46249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
−
,
1
≤
≤
,
≥
1
}
是一个数组的行LNQD意味着零随机变量。让<年代vghe我ght=”18。725” id="M121" style="vertical-align:-3.80836pt;width:170.96249px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.96249 18.725" width="170.96249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
∑
=
1
(
−
)
2
。取<年代vghe我ght=”11。0125” id="M122" style="vertical-align:-3.20526pt;width:49.575001px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.575001 11.0125" width="49.575001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,<年代vghe我ght=”14。6875" id="M123" style="vertical-align:-3.20526pt;width:68.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.800003 14.6875" width="68.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
/
,<年代vghe我ght=”12。3”我d="M124" style="vertical-align:-1.29163pt;width:35.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.237499 12.3" width="35.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
。由引理<一个href=”#lem1.8">1.8一个>,尽管<年代vghe我ght=”11。0625" id="M125" style="vertical-align:-0.30096pt;width:34.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.887501 11.0625" width="34.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.20">
从(<一个href=”#EEq2.12">2.12一个>),(2.13一个>)、马尔可夫不等式和<年代vghe我ght=”14。3375" id="M127" style="vertical-align:-3.13504pt;width:15.7px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7 14.3375" width="15.7" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
不平等,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.21">
请注意,<年代vghe我ght=”14。7125” id="M129" style="vertical-align:-3.2316pt;width:76.699997px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.699997 14.7125" width="76.699997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
≤
|
|
,<年代vghe我ght=”13。55” id="M130" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.137501 13.55" width="35.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
和<年代vghe我ght=”13。55” id="M131" style="vertical-align:-2.29482pt;width:62.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.174999 13.55" width="62.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
<
≤
2
。从(<一个href=”#EEq2.12">2.12一个>),(2.13一个>),
不平等,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.22">
最后,我们证明(<一个href=”#EEq2.16">2.18一个>)。为<年代vghe我ght=”12。3”我d="M134" style="vertical-align:-1.29163pt;width:62.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.950001 12.3" width="62.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≤
≤
,<年代vghe我ght=”12。3”我d="M135" style="vertical-align:-1.29163pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 12.3" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,<年代vghe我ght=”14。7125” id="M136" style="vertical-align:-3.2316pt;width:62.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.825001 14.7125" width="62.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,然后<年代vghe我ght=”14。3625” id="M137" style="vertical-align:-3.2316pt;width:96.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 96.9375 14.3625" width="96.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
。定义的<年代vghe我ght=”14。3625” id="M138" style="vertical-align:-3.2316pt;width:24.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.174999 14.3625" width="24.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
如果<年代vghe我ght=”14。3625” id="M139" style="vertical-align:-3.2316pt;width:57.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.75 14.3625" width="57.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
,然后<年代vghe我ght=”14。7125” id="M140" style="vertical-align:-3.2316pt;width:170.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.3875 14.7125" width="170.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
=
−
<
,如果<年代vghe我ght=”14。3625” id="M141" style="vertical-align:-3.2316pt;width:68.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.462502 14.3625" width="68.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
−
,然后<年代vghe我ght=”14。7125” id="M142" style="vertical-align:-3.2316pt;width:170.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.3875 14.7125" width="170.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
=
+
<
0
。所以<年代vghe我ght=”14。7125” id="M143" style="vertical-align:-3.2316pt;width:162.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 162.2 14.7125" width="162.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
≤
|
|
(
|
|
>
)
。因此,<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.23">
完成证明。年代p一个n>
定理2.5。年代p一个n><我>让<年代vghe我ght=”14。775" id="M145" style="vertical-align:-3.2316pt;width:117.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 117.4375 14.775" width="117.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
;
≥
1
,
≥
1
}
数组的行LNQD随机变量。让<年代vghe我ght=”15。5875" id="M146" style="vertical-align:-3.88116pt;width:50.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.224998 15.5875" width="50.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
∈
ℕ
,是一个正实数序列<年代vghe我ght=”14。6875" id="M147" style="vertical-align:-3.20526pt;width:72.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 72.375 14.6875" width="72.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
↑
∞
。让<年代vghe我ght=”15。5875" id="M148" style="vertical-align:-3.88116pt;width:69.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.412498 15.5875" width="69.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
(
)
}
∈
ℕ
,甚至是一系列的积极功能和满足(<一个href=”#EEq2.12">2.12一个>)
>
2
。假设我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.24">
在哪里<年代vghe我ght=”7。4250002" id="M151" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0375004 7.4250002" width="8.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个正整数,<年代vghe我ght=”12。5”我d="M152" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.0625 12.5" width="35.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
条件(<一个href=”#EEq2.13">2.13一个>)和(<一个href=”#EEq2.24">2.24一个>)暗示(<一个href=”#EEq2.24">2.24一个>)。我>年代p一个n>
定理的证明<一个href=”#thm2.5">2.5一个>。我>年代p一个n>符号后,在定理证明的方法<一个href=”#thm2.4">2.4一个>,(2.16一个>),(2.18一个>),
1
<
∞
持有。所以,我们只需要证明<年代vghe我ght=”14。2375” id="M154" style="vertical-align:-3.13504pt;width:47.575001px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.575001 14.2375" width="47.575001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
<
∞
。让<年代vghe我ght=”13。55” id="M155" style="vertical-align:-2.29482pt;width:47.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.400002 13.55" width="47.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
/
2
。由(<一个href=”#EEq2.24">2.24一个>),我们有<年代p一个ncl作为年代=”e问u一个t我on" id="EEq2.25">
完成证明。年代p一个n>
推论2.6。年代p一个n><我>定理的条件下<一个href=”#thm2.4">2.4一个>或定理<一个href=”#thm2.5">2.5一个>,然后我><年代p一个ncl作为年代=”e问uation" id="EEq2.26">
2.7的话。我>年代p一个n>由于LNQD最大的不平等,LNQD我们得到的结果推广和改进的结果胡锦涛和泰勒。年代p一个n>
确认
gydF4y2Ba支持的工作是由中国国家自然科学基金(11061012)、中国广西科学基金(2011 gxnsfa018147),和广西研究生教育的创新项目(2010105960202两个同伴m32)。
引用
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