随机前沿模型和固定效应估计通过蒙特卡罗最大似然

文摘

非线性估计固定后果模型是饱受附带参数的问题。提出了一种程序选择合适的密度为集成附带参数似然函数的上下文。更新使用的密度是基于先验信息从数据和健壮的可能关联的类属特异性的常数项与解释变量。蒙特卡洛实验随机前沿模型的特定上下文执行检查和比较的抽样性质提出了估计量与随机随机估计和相关。估计量是无偏的结果表明,即使在短板。应用程序一个越野面板的欧盟制造业提出了。提出了估计量生产效率得分的分布表明这些行业是高效的,而其它估计显示更穷的性能。

1。介绍

附带参数问题被正式定义并研究了Neyman和斯科特1]。一般来说,问题出现在许多模型的参数估计数量的增加与观测的数量。甚至在这种模型中,参数是常见的所有观察结果不能一致估计由于他们依赖观察——或与具体参数。在计量经济学中,这个问题似乎更相关面板数据模型中附带parameters-although不像潜在的多参数数据代表类属特异性的拦截。在这种背景下,附带参数数量的增加线性的横断面尺寸面板。证据不一致的估计问题时忽略了可用于离散选择模型(2),托比特书(3),和随机前沿模型(4,5]。

兰开斯特(6)确定三轴周围的集中提出解决方案:(i)集成的参数从可能基于一个假定的密度,(ii)取代附带参数的最大似然估计和最大似然函数的分析的结果对常见的参数,和(3)变换的参数,他们成为近似正交通用参数,然后将它们集成了之前使用一个统一的可能性。

在集成的可能性的情况下,贝叶斯方法很简单:制定每个附带参数之前,之前使用这个集成的可能性。所指出的张伯伦(7),这样一个过程没有提供一个明确的解决问题的办法。当附带的参数的数量增长,先知先觉放在这些参数的数量也会增长,因此,先知先觉永远不会由数据。然而,似乎,这是最好的事可做。最后,附带的问题成为选择合适的先验参数。

不存在直接与贝叶斯方法在频率论的统计数据。相反,一个随机问题的配方可以用(4,5]。在此设置中,附带参数集成的可能性基于“前”密度。然而,这种密度不更新数据的形状,但只有的参数。因此,它不能被视为一个之前在贝叶斯框架中使用。(通常的做法是使用一个正常密度作为一个“前”,并不取决于数据。)这个随机公式将会产生fixed-T一致估计量,只要真正的底层的数据生成过程与具体参数与解释变量不相关的。

允许附带参数的相关解释变量,Abdulai和Tietje8]使用Mundlak [9]对固定和随机估计量之间的关系,在一个随机前沿模型。虽然这种方法可能会减轻随机估计量的偏差,没有证据如何Mundlak估计执行的非线性模型。

本研究提出了一种不同的方法将附带参数在频率论的可能性。在面板数据模型中,附带参数被视为丢失数据和方法开发的盖尔芬德和卡林10)是用于更新一个真正之前(贝叶斯意义上)附带参数使用的信息数据。然后用于集成制定后附带参数的可能性。

剩下的纸是组织如下:在部分2,该估计量是开发的总体框架和相关的现有频率论者和贝叶斯估计。以下部分将讨论一些实际问题和可能的计算陷阱。部分4提出了一套蒙特卡洛实验随机前沿模型的特定上下文。提出了估计量的抽样性质比较线性的固定效果,随机效应,与Mundlak随机效应的方法。下一节提供了一个应用程序的估计欧盟制造业的数据集,而部分6总结提出了一些。

2。蒙特卡罗最大似然在面板数据模型

我们考虑一个面板数据模型的一般公式如下: 在哪里和时变观测数据。的s是定常和未被注意的数据,可能相关以来的年代。s是未被注意的,他们将吸收的类属特异性的常数项。可尊敬的模型变得 固定效应的观点作为潜在的数据而不是参数证明,从频率论的角度看,随后的整合似然函数的年代。因变量的性质(离散、审查等)和不同的分布假设引起一系列的计量经济学模型。

在这种模型中,它通常是容易得到的密度依赖变量条件独立和类属特异性的拦截。让和的向量和矩阵叠加数据组。贡献的可能性th组条件是 在哪里很容易指定。最大似然估计是基于观测数据的密度;也就是说,在密度上略对。在integrated-likelihood方法,固定集成从联合密度的影响和。我们遵循Gelfand和卡林10)获得一个适当的密度根据这样一个集成可以通过编写的密度数据进行略微的固定作用 在哪里在参数空间任意点的吗。

很明显从这个配方扮演的角色重要性密度的评价积分。然而,这是一个非常具体的密度的重要性:它有相同的函数形式未知,但在任何选择评估(研究员)。相同的函数形式可以利用被积函数和重要性密度达到一种形式,在一些额外的假设条件下,每一个密度将已知的或容易假设函数形式。通常情况下,积分(2.4)将通过仿真评估。这个配方的边际似然,盖尔(11)表明,在宽松的规律情况下,蒙特卡洛hypoconverges可能性可能性理论和蒙特卡罗最大似然估计的最大似然估计的概率1收敛。

的联合密度和可以写成的产品(从(2.3)条件和可能性的边际密度。然后,(2.4)成为

以下假设是对数据生成过程: 的话说,这种假设意味着和不依赖于相关吗。你可能认为这之间的关系和是由一组参数之前的实现。(在数学术语,这将要求)。这意味着设置的参数输入的分布有条件地在,但无条件是分离的。

在实践中,这取决于应用程序,这种假设可能是也可能不是限制。考虑,例如,规范的生产函数是输出,是一个向量的输入,然后呢代表了定常未被注意的特征的影响,如生产单位的位置,输出。假设在(2.6)意味着,尽管可能影响的水平位置输入使用,位置和输入的联合密度不涉及投入的边际生产率。另一方面,有条件地对产出的密度是否涉及到边际生产率系数,因为这条件密度是通过应用贝叶斯规则。

在假设规定(2.6),(2.5)可以简化

从理论上讲,可以指定的方式考虑任何先验信念常数项和独立变量之间的相关性。然后,可以通过仿真计算的积分。然而,几乎没有指导如何制定这些信念。此外,选择在估计过程中没有更新,它不是真正之前,就像在频率论的随机效应。另外,我们只能指定的边际密度和使用贝叶斯规则 再一次,没有多少指导如何指定。(另外,为了与假设是一致的(2.6),我们需要承担密度这并不涉及)。但是现在这个问题并不重要:它是而不是假设这是用于集成。也就是说,之前是一个贝叶斯意义上的术语,因为它是透过对于一个给定的可能性之前使用的集成。因此,后的密度吗。

之前检查的作用估计之前,我们注意到频率论的随机方法可以被使用(派生2.8)简化(2.7)。如果被认为是独立的和参数的密度是不同的,那么无条件的可能性并不取决于估计就类似于一个格林(4]表明

很明显,有一个优势基础上的估计似然函数(2.7),而不是(2.9)。通过抽样而不是,我们使用信息中包含的数据与。例如,我们可能在之前的假设通常是或均匀分布和独立的数据。但即使这之前独立假设不会实施独立估算,因为之前的过滤通过的可能性(2.8)。

在贝叶斯推理,密度之前的角色随时间的增加观察每组。但面板的短时间维度的原始致因是附带参数问题。这里提出的估计量仍受到批判,开发相应的贝叶斯估计量:之前不会主导的密度数据与保持固定。另一方面,当真正的数据生成过程是与常数项与独立变量,这里的方法降低随机估计量的偏差存在。

3所示。计算和一些实际问题

第一步的应用MC最大似然估计值在前面开发后的样品鉴于。因为这个后验密度包括似然函数,其函数形式,一般来说,不像任何已知分布的内核。但是,这后是每一维的和简单随机抽样技术,如拒绝抽样,可以使用。当然,pmmh算法提供了一个更一般的框架来从任何分布抽样。后的上下文(2.8),一个pmmh算法可以用来构造一个马尔可夫链,而持有固定的。

考虑到随机数是来自后整个数据集的模拟似然函数可以写成 在哪里是th从。MC可以最大化对似然函数。第一项与对产品是恒定的在优化,可以忽略。相关部分的模拟对数似

有待解决的一个实际问题的选择。从理论上讲,这个选择应该不是问题。然而在实践中,当进行有限精度的计算机器,。原则上,应该模仿的形状吗,因为它的角色的重要性密度积分的评价(2.4)。如果选择远离,那么这两个密度将概率质量在不同的位置和比例(3所示。2)将生病的表现在参数空间的点建议密度趋于零,而不可能性。

盖尔芬德和卡林10通过选择一个初始]提出解决这一问题并运行一些迭代通过替换与前一步MC最大似然估计。在最后一步,样本的数量增加到减少蒙特卡罗标准错误。这个迭代过程产生的估计具有相同的理论属性作为选择任意获得的估计量。另一方面,这个迭代过程引入了另一个问题:如果在这一系列的迭代收敛的价值支持的数据,然后在随后的迭代的比率(3所示。2)将大约团结。(实际上,模拟可能永远不会成为一个由于引入的噪声通过随机抽样)。因此,MC似然函数将不再依赖或者至少它会很平坦。这导致数值并发症,现在与常规用于最大化的可能性。解决这个问题的方法是通过引入一些噪声的估计从迭代中,说之前,用它代替对于迭代。此外,增加方差参数中包含(s)将导致该提议密度比可能有更重的尾巴,减轻这样的数值不稳定问题两个密度的比值。

4所示。蒙特卡洛实验

在本节中,我们执行一组随机前沿模型上的蒙特卡罗实验(12,13]。小王和何14)分析派生类的似然函数的随机前沿模型扩展属性(15通过使用在和一阶差分转换)。而不是限制注意这类模型,提出制定Meeusen和van den Broeck [13这里使用) 的噪声分量误差项都要遵循正态分布均值为0,方差吗,而错误的低效率组件都要遵循一个速度的指数分布。观察的技术效率得分时期被定义为在单位时间和假设值。

在描述规范和假设的独立,集团的贡献固定效应的可能性条件 在哪里和。的应用程序的主要目标通常是随机前沿面模型不仅估计模型的参数,但也observation-specific效率分数。这些估计可以获得 在哪里。

三个实验是可变长度的面板(执行、8、16),同时保持观察的总数(横截面和时间维度的总和)固定在2000年。四个评估人员检查的抽样性质:(i)线性内固定效应估计量,(ii) MC最大似然,(3)简单随机效应,并使用Mundlak (iv)相关的随机效应的方法。

生成的数据序列如下:(我) s是来自正态分布均值为零,方差2,(2)为每一个,吸引了来自正态分布的意思和标准偏差等于为两个独立的变量,和,(3) 得到了来自正态分布与零均值和标准差等于0.3,(iv) 吸引了从指数分布与速度等于0.3,(v)因变量是构造成。

MC极大似然估计量,均匀先验假设的年代及其集成的可能性是基于3000个随机从后吸引了。这些画是用pmmh随机漫步算法获得的。随机评估人员,都要遵循正态分布与的意思吗和方差。集成随机估计量的未被注意的影响,使用高斯求积。(尽管集成的未被注意的影响可以由格林[使用模拟作为建议4),在正态分布的集成通过Gauss-Hermite正交大幅减少计算成本。)

表1礼物的手段、均方误差和偏差的百分比四估计,基于1000年重复。线性固定后果估计量是无偏的斜率参数,以及对复合误差项的标准差。然而,这估计不能辨别错误的两个组件。然而,它可以被用来提供与具体但定常效率分数使用施密特和镰刀的方法(16]。该方法有一个额外的治疗所有未被注意的异质性效率低下的缺点。

另一方面,正如预期的那样,简单的随机估计量是有偏见的斜率参数。然而,有趣的是,偏差较小的方差参数的误差项的低效率组件。这表明,一个可以使用简单的随机分布的估计量获得表明行业级效率即使在情况下,集团是与独立变量的影响。

MC最大似然和相关随机估计都几乎无偏斜率和方差参数,即使是小的。此外,两个估计的均方误差随着面板的时间维度的增加减少。MC的极大似然估计量这可以归因于这一事实每组增加更多信息用于制定后。

获得的估计observation-specific效率得分涉及集团首先生成估计拦截。估计的影响可以得到随机估计使用集团平均水平的依赖和独立变量,同时会计的偏态复合误差项(14]。另一方面,MC最大似然估计值可以提供的估计年代将他们视为数量估计的仿真后的常见参数估计模型。在这两种估计,年代和替换(4.3)的点估计得到的估计observation-specific效率分数。

然而,随机和MC的极大似然估计s是只一致的。一种不同的方法,这与治疗是一致的年代缺失的数据,整合他们的期望(4.3)。一个可获得的期望无条件的丢失的数据。通过这种方式,相关的不确定性是适应当时估计observation-specific效率分数。的集成s是通过使用以下过程:(1)画样本在哪里是随机或MC最大似然估计,(2)对于每一个画、评估,在那里,(3)采取的样本均值s /。

迭代法的预期,这个样本均值将收敛于无条件的期望。(在随机模型,集成也可以由正交而不是模拟。)

图1提出了散点图的实际和预测效率得分MC最大似然和相关特定蒙特卡罗随机估计重复。除了已知的问题,低估了许多高效的观察,整合的方法年代的期望产生良好的预测效率得分MC极大似然估计量。另一方面,相关的预测随机估计约45°线更加分散。MC极大似然估计量的优势随机估计量,因为它不需要指定一个系统组效果和独立变量之间的关系。换句话说,估计效率的质量分数从随机估计量恶化如果有很多噪声之间的关系集团和集团的独立变量的影响。

5。应用程序

本节提出了一种应用在本文讨论的估计欧洲制造业的面板。数据集来自eu - klems项目项目17),涵盖了从1970年到2007年。它包含年度信息产业分类根据国家层面的四位NACE修订2系统。为应用程序所使用的数据集的一部分覆盖10制造业所需的数据系列的6个国家完成(丹麦、芬兰、意大利、西班牙、荷兰和英国)。

生产前沿被指定为柯布-道格拉斯在资本存量和劳动力投入,增值是因变量。一个线性时间趋势包括捕获自主技术进步。该模型规范 假设在哪里和。每个国家都被视为一个组中的每个行业有自己的拦截,但所有行业的生产技术在所有国家都认为是由相同的斜率参数表示。

使用线性模型估计固定后果,MC最大似然,简单和相关随机估计。这项研究的结果发表在表2。鉴于在严格模式下规范集团预计将与解释变量的影响,这并不奇怪,相对较大的差异的参数估计线性固定后果和简单随机估计出现。不可忽视的差异也观察之间的线性固定后果的估计和相应的估计的估计可能占集团效果和独立变量之间的相关性。尽管这个结果似乎与蒙特卡罗模拟的结果,我们需要记住,蒙特卡罗估计平均结果是有效的,而应用程序考虑单个数据集特性可能导致这些差异的地方。例如,限制在资本和劳动力变量的变化可以引起多重共线性和呈现点估计不精确。

另一方面,所有三个估计可以区分噪声和低效率效果产生非常类似的参数估计误差的方差两届。相关参数的估计时间趋势表明,行业经验,平均生产率增长速度略大于2%。

图2礼物的核密度估计observation-specific技术效率得分通过整合集团期望的影响(4.3)使用MC最大似然和两个随机估计。似乎只有MC极大似然估计量的生产技术效率得分的分布类似于最初的假设的模型,与大多数行业高效。另一方面,简单的随机估计产量效率得分的双峰分布。

6。结论和进一步的评论

提出了一种通用程序选择合适的密度频率论者integrated-likelihood方法在面板数据模型。该方法需要先验的位置的密度与常数项。然而,这些先验估计和更新以这种方式对最终的参数估计的影响最小化。

一组蒙特卡洛实验检验的抽样性质提出了估计和比较它们与现有的属性相关的估计。尽管在特定上下文中实验随机前沿模型,提出的估计可以推广到其他非线性模型。结果表明,即使在非常短板,MC最大似然估计值和随机估计量增强组平均值的随机前沿模型中的解释变量实际上是公正的。

回到张伯伦的(7)观察,在面板数据之前设置的贡献绝不是由数据,结果从蒙特卡洛实验表明这不是一个重大的问题。看来,当目标是不附带参数的估计,但其集成的可能性,那么即使非常模糊先验不引入任何偏见的常见的参数估计。

最后,估计应该选择哪一个?从这里的估计认为,MC和Mundlak随机估计能够区分效率低下和集团的详细时间未被注意的异质性,而合理公正的对常见参数。两者的区别是基于理论的理由。MC估计能够占到与具体参数的相关性与解释变量在任何未知的形式。另一方面,相关随机估计量缺乏这样一个理论支持;仍然存在没有分析结果在非线性估计量的性质设置。

相关随机估计量的另一个缺点是,它需要包含集团的独立变量在模型中。这种方法可能引起高度的多重共线性内如果有小变化数据。最后,在随机前沿模型的特定背景下,MC最大似然估计值observation-specific效率提供了更好的评估分数。

引用

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