飙升狄利克雷过程先验高斯过程模型

文摘

我们扩展贝叶斯框架变量选择高斯过程(GP)模型采用飙升狄利克雷过程(DP)之前结构包含共设置分区。我们的方法导致了非参数治疗医生的协方差的分布参数协方差矩阵,进而诱发协变量的聚类。我们评估两个之前的结构:第一个雇佣一个质点和连续分布的混合物作为前DP定心分布,因此,反是集群。第二个使用了一个混合的飙升和DP之前连续分布的集中分布,导致聚类的协变量选择。通过基于模型的聚类DP模型借协变量信息。尤其是我们的仿真结果,表明减少后抽样可变性,进而提高了预测性能。在我们的模型公式,我们完成后的推理小说采用的组合和扩展现有算法下的表现与之前DP模型推理和比较前两个结构。

1。介绍

在本文中,我们扩展贝叶斯框架变量选择高斯过程(GP)模型采用飙升狄利克雷过程(DP)之前结构包含共设置分区。Savitsky et al。1)将高斯过程的广义线性模型框架McCullagh和Nelder2)通过扩展的灵活性响应面躺在连续函数空间。建模方法的结果在一个类的非参数回归模型协方差矩阵依赖于预测。GP模型,特别是适应高维异构协变量空间共拥有不同程度的线性和非线性协会响应,拉斯穆森和威廉姆斯(3]。

在本文中,我们调查前混合模型诱导的非参数治疗医生的协方差的分布参数协方差矩阵,进而诱发协变量的聚类。混合先验,雇佣一个峰值在零现在通常用于变量selection-see例如,乔治和麦克洛克(4和棕色等。5)对单变量和多变量回归的设置,分别和沙等。6]probit模式——尤其成功应用高维设置。这些方法使用前混合配方的回归系数施加一个先天的多重性惩罚,所认为的斯科特和伯杰(7]。最近,麦理浩et al。8)提出了一种贝叶斯非参数方法的单变量线性模型包含混合先验包含一个狄拉克测量组件到弗格森的DP建设(9]和Antoniak [10]。Dunson et al。11)使用类似的飙升定心分布在一个逻辑回归。根据这些作者指出,DP模型借信息通过基于模型的聚类,反是可能诱导通过空间或时间相关,可以达到更好的变量选择和预测性能对单独使用混合先验的模型。麦理浩的建模设置内et al。8)和Dunson et al。11狄利克雷引发的),聚类过程在单变量回归系数和强度在共借了。金等。12)改编的DP建模框架提供有意义的后验概率急剧假设系数的随机效应模型。他们的目标不一定是变量选择,而是更一般的问题测试假设的模型参数。他们的模型公式不共享信息跨而是反是集群之间的回归系数向量观测。

虽然上述前建筑都使用一个质点的混合物和连续分布的定心分布DP之前,在本文中,我们还调查结构,采用混合的飙升和DP之前连续分布的中心。前者方法集群所有,后者导致集群的协变量选择。之前的配方我们采用显示减少后抽样可变性与增强的协变量的预测性能的情况下,表达几乎相同的协会来响应。

在我们的模型公式,我们完成后的推理小说采用的组合和扩展现有的之前与DP算法推理模型和变量选择。与之前的结构为线性模型,能够直接对模型空间指标和边缘化样本模型系数后验,我们的非线性建模框架采用nonconjugate先知先觉。我们实现健壮的选择结果通过设置分区附上之前我们征收DP模型和相关参数空间。我们优化后的表现与修改辅助吉布斯抽样算法尼尔(13),占了协变量包含讨厌琐碎的集群。我们研究表现在模拟数据前两个结构。之前我们的DP模型结构表示广义nonconjugate配方与关联后抽样算法,虽然具体的GP模型,可能适用于其他nonconjugate设置。

本文的其余部分结构如下:GP模型和协方差矩阵公式进行了综述2。部分3介绍我们的飙升DP配方之前,包括单独的模型只集群协变量和协变量选择。抽样方案后推理部分中描述4。模拟部分进行5,我们比较了集群建设混合先验模型也比较前两DP模型公式。基准数据集分析部分6。结束语部分7。

2。广义高斯过程模型

Savitsky et al。1GP模型合并)的广义线性模型框架McCullagh和Nelder2通过使用关系 链接功能,在那里的(可能是潜在的)正则参数是观察。然后上指定的高斯过程之前潜在的向量 与协方差矩阵作为一个任意复杂的预测因子的函数。这个一般建筑延伸到潜在的回归模型用于连续,分类,和统计数据,通过选择适当的链接(2。1),包含在特定的单变量回归和分类贡献尼尔(14)和Linkletter et al。15]。连续数据回归模型,例如,通过选择链接功能(身份2。1)获得 与的观察到的响应向量和与一个精度参数。对推理可以集成与边缘化的可能性。

Savitsky et al。1]扩展GP模型还包括类Cox比例风险模型(16通过定义的故障率在哪里是基线风险函数,故障时间,被定义为(2。2)。让三元组显示数据,审查指数如果观察审查,是正确的如果相关的故障时间,观察到的。假设没有事件/故障时间和我们之间的关系是不同noncensored失败。在本文中,我们使用部分可能配方,定义为 在哪里,之前的个人风险和的评估在失败的时间。部分可能方便的使用避免了之前的基线风险的规范。

2.1。协方差公式

一个共同的选择在(2。2)是一种协方差函数,包括一个常数项和一个指数,也就是说, 与作为一个1和的矩阵一个矩阵的元素和,相关变量。这一届指数协方差提供了一个简洁的表示,支持广泛的一类线性和非线性响应表面。特别是,拉斯穆森和威廉姆斯(3]显示指数形式(2。5)可以由一个线性结构通过扩大投入,的年代,在一个无限的基础上。之前所选的参数化允许简单的规格也是用Linkletter et al。15)的转换使用的指数项尼尔(14和袋等。17在他们的协方差矩阵公式。这个建筑是敏感比例正常化,我们发现最好的结果的预测躺在单位立方体。其他的选择指数等结构,包括第二个指数项和Matern结构,综述了在Savitsky et al。1]。

3所示。飙升狄利克雷过程之前模型变量的选择

变量的选择可以实现GP建模框架和协方差矩阵的类型(2。5)实行混合先验协方差参数,也就是 为,雇佣了一个之前的和一个,也就是说,一个质点分布在一个,。这个配方是相似的精神使用混合先验用于变量选择在线性回归模型中,,例如,在乔治和麦克洛克(4和棕色等。5分别为单变量和多变量回归设置。

在本文中,我们将混合先验变量选择狄利克雷过程之前协变量模型,集群加强选择。弗格森的狄利克雷过程(DP)建设(9]和Antoniak [10)是一个典型的选择之前在一个未知的分布,。特别是,给定一组先天的i.i.d.参数,,,我们定义DP之前,在那里参数基础测量之前定义的意思是,。浓度参数,之前,表达了信心基础措施。从其子as离散。,implying a positive probability of ties to instantiate randomly generated partitions. Indeed, many contributions in nonparametric Bayesian inference are formulated in terms of random partition models, that is, probability models that cluster the set of experimental units. See Quintana [18非参数贝叶斯模型的]一个不错的评论。

这里我们引入概率分布与特定关注集群设置分区(通过反是;先天的i.i.d.协方差参数,),而不是通常的选择i.i.d.观察。让,因为,定义的惟一值,让我们定义的集群。让显示的所有可能的分区的空间协变量。分区捕捉到一个特定的不相交的协变量的聚类为等我们恢复的协变量的全套不相交的联盟,。布莱克威尔的DP提供了聚(urn方案和MacQueen19)被边缘化定义一个联合建设为一个特定的分区之前, 在哪里伽马函数和吗集群的协变量的数量。更高的值往往会产生大量的集群。这是显而易见的如果我们因式分解联合之前 我们介绍集群指标,,和使用可交换性将协变量作为最后一个补充道。在这里显示的数量,不包括协变量,分配给重要的集群。同样的,捕获的总数集群时不含协变量。特别是,这之前的建设条件显示,协变量的概率集群的统一所有或为。我们完成之前的规范允许充分的数据来更新浓度参数贝叶斯方法。之前需要注意的是,我们的建设是在协变量集的分区包含这所有的观察都在每个集群。我们未来发展两个特定和替代配方之前,第一个允许集群all-trivial selected-covariates和第二个关注集群只有协变量选择。

3.1。协变量聚类所有

之前第一个建设我们考虑采用混合之前的定心分布DP模型之前,因此,反是集群。让我们考虑协方差参数,与,因为。我们之前进行通常的DP建设 它包括前混合吗和伯努利之前在基地分布,协变量的先验概率包容。可以放置在进一步测试之前引入额外的变化。稀疏模型下,我们先天的期望最不被排除在模型空间,我们完成分配相关的讨厌的协变量到狄拉克测量组件的条件下混合之前设置,有效地减少了参数空间的维数。我们的聚类模型(3.4)因此加强排除妨害建设之前,反是co-clusters讨厌协变量。让我们简单的集群定义为,明星符号显示独特的价值观。微不足道的集群可以提取到一个单独的行集合条件之前制定的分区(3.3), 注意之前(3.5)加强选择将所有琐碎的反是合并为一个集群。在本文的后面,我们将使用一个数据扩增方法进行后样品从这个nonconjugate模型公式。

3.2。协变量聚类选择

或者,我们可以用之前的模型,采用混合的飙升和DP之前连续分布的中心,因此,导致聚类的协变量选择。我们构建这个模型 这可能是写的更直观。这个配方范围分区设置为集群只选中的协变量。当协变量选择的尺寸,获得的,将改变在每一个迭代算法后推断,我们可能仍然排斥,鉴于生产前聚(urn配方(3.3)我们组, 我们注意到分母现在使用的规范表达,而不是,占我们的协变量减少聚类集。简单并不集中在一起,这样我们先天的期望降低功效将琐碎的协变量从模型空间。换句话说,这之前施工前生成一个相对平坦的分配模式下重要的集群稀疏比(3.5)。然而,我们期望提高计算速度和我们只是集群协变量。

4所示。马尔可夫链蒙特卡罗方法

我们完成后的推理小说采用的组合和扩展现有算法推理与DP模型和变量选择。特别是,我们适应的辅助吉布斯算法尼尔(13)数据扩充计划画后样品回去给我们的nonconjugate模型公式。

首先,我们扩展我们的符号和使用来表示向量,当,因为。对模型(3.5),我们收集的协方差参数在哪里表示集群独特的价值观。对模型(3.7),我们有反映了一个事实,协变量选择是分开进行聚类。

我们回忆起增强数据的可能性Savitsky et al。1)作为广义配方使用GP模型构造联合后验分布模型参数, 与和获取观测数据增强未被注意的GP变量,,对于潜在的反应,比如生存模型(2。4)。请注意,取决于浓度参数聚类,通过之前。我们收集所有其他模型相关参数;例如,单变量回归模型(2。3)。

4.1。协变量聚类所有

我们首先定义抽样算法使用协变量聚类建筑(3.5),包括所有covariates-both琐碎和选择。我们获得顺序算法的样本Gibbs-type时尚。我们提高效率的辅助吉布斯算法尼尔(13)用于样品通过修改,避免重复了微不足道的集群。我们提出如下的抽样方案。(1)更新:尼尔的辅助吉布斯算法(13)实现集群的抽样指标通过引入临时辅助参数通常来自基地分布(3.4)。虽然重要的集群的多个吸引几乎肯定是独一无二的,重复了微不足道的集群是完全重复。我们做一个修改辅助吉布斯算法通过确保我们的状态空间总是包含琐碎的集群,因此,避免重复的几代人。该算法使用了一个调优参数,作为临时辅助参数的数量产生的前方便取样获得在每一个迭代。我们首先绘制辅助参数条件之前考虑到当前状态空间值。如果之一,那么可能多个辅助参数有一个连接到琐碎的状态。我们因此样本微不足道的集群,将这个值。然而,如果,然后辅助参数独立于琐碎的状态和采样是重要的集群,如原辅助吉布斯算法。接下来,我们画出集群指标,从条件后,吉布斯在一个步骤的设置分区状态,包括我们的辅助参数, 我们使用缩写词(4.1),与,独特的参数相关的集群指数,。在下面的例子中,我们使用,因此一个概率分配协变量的每个新的集群成正比。尼尔(13)指出,更大的价值生产后吸引了较低的自相关。(2)更新:我们更新集群参数,,使用Metropolis-within-Gibbs。这个方案由2动作:一个模型之间的共同更新为离散的方式,在模型更新为协变量在当前模型在模型之间的移动。我们使用统一的建议书年代。在我们的集群配方,我们更新集群,而不是因此,反是借贷协变量coclustered之间的力量。(3)更新:我们采用两步吉布斯抽样算法Escobar和西部[20.构造成一个混合后两个伽马分布的混合组件,,来自贝塔分布。该算法提供了便利条件独立从,鉴于。(4)更新:这些是更新使用pmmh动作。提案产生的伽马分布集中在前面采样值。

4.2。协变量聚类选择

我们描述的步骤执行更新从(3.7)。(1)更新吉布斯:获得了一步以常规的方式,采用辅助吉布斯算法根据条件后 (2)更新:我们更新离散采用Metropolis-within-Gibbs算法。注意到一个更新,添加了协变量还增加了一个集群,同样,切除协变量也丢弃在集群的集群只包含删除协变量。(3)更新我们更新的独特之前选择的值协变量离散的方式使用Metropolis-within-Gibbs算法和统一的建议。(4)更新在步骤3中:。之前的算法。(5)更新:在步骤4。之前的算法。

获得两个方案,最后选择的变量是通过采用边际的截断值包含单变量的后验概率基于目标预期错误发现率(EFDR)类似于牛顿的时尚et al。21]。例如,我们的后验概率的事件,也就是说,一个重要的关联的预测的反应。我们修复判断错误发现率,并选择协变量的后验概率的排斥在零假设下,,低于阈值,,也就是说, 与指标函数。如上所述,金等。12),最优阈值后,可能的最大值设置决定的。

5。模拟研究

我们探索的表现提出了模型的模拟数据和基准数据集。结果将表明,DP的应用先验可能供应减少后抽样可变性,反过来,提高预测性能,的情况有一个预期的协变量聚类中。我们调查的表演在上述前两种结构。

5.1。Hyperparameters设置

在下面的例子,我们一般遵循指南hyperparameter设置在Savitsky et al。1]因为之前设置相关的混合之前建设部分3和特定的数据模型。特别是,我们使用先验,。此外,我们中心和规范化的响应和转换躺在设计矩阵生产一小截距项,进而提供更好的条件GP协方差矩阵。Savitsky et al。1)注意小的敏感性的选择的结果协变量包含之前的预期。在这里我们设置在下面的例子。在单变量回归模型(2。3),之前的参数精度误差项,,应该设置为估计先天的预计剩余方差。我们选择。

至于DP先知先觉,我们选择设置,产生约7.5之前的预期数量的集群协变量。我们简要讨论敏感的选择这些hyperparameter设置仿真结果。

5.2。集群和没有集群

我们首先考虑一元回归模型(2。3)下的协变量聚类和比较性能(3.5与原GP建设()3.1)Savitsky et al。1]。后一种方法,我们使用他们MCMC-scheme 2完成后推理算法。结果我们报告获得通过使用响应内核,包括线性和非线性的协会和协变量的子组共享相同的函数形式,促使集群, 与,协变量,模拟从一个。我们使用与响应内核,由第一个7。我们做10000年获得迭代,丢弃一半老化。结果呈现在图1;情节(a)、(b)礼物盒阴谋后的样品没有聚类和聚类模型(下3.5),分别。只有第一个20协变量显示,帮助可视化。一个容易指出减少传播之间的不共享相同的函数形式在协变量的采样值协变量)为所有在我们的聚类模型的应用。这样减少内部和之间的利差后采样影响,反过来,预测性能。特别是,我们评估了预测精度通过查看均方预测误差(摩根士丹利)归一化方差的随机选择的测试集,术语“规范化摩根士丹利亚洲”。规范化摩根士丹利下跌从0.12到0.02在我们的聚类模型的应用。我们的最小二乘后聚类算法进一步应用达尔(22)选择采样中分区,post-burn-in,那些最接近实证成对集群概率获得平均后的样品。我们的模型返回正确的3集群。

5.3。集群与协变量选择

接下来,我们比较两个前表演的模型(3.5)和(3.7),聚类所有协变量和协变量选择,分别。我们进行这种比较在Cox生存模型(2。4)。内核被构造成潜在的反应 与,协变量,模拟从一个。我们生成观察到,我们使用。我们随后生成随机审查我们5%的生存时间。图2介绍了聚类的结果所有协变量(情节(a)、(c))协变量,只有选择(情节(b)、(d))。再一次,我们看到预期的集群行为中选择在这两个模型,反是稍微不那么锋利的集群分离在后一种情况下,指示减少借贷协变量coclustered之间的力量。我们进一步尝试之前预期数量的集群采用,在协变量,发现进一步轻微减少抽样传播为协变量选择增加,可能造成更大的倾向于产生更多的集群。

值得注意的是,在稀疏模型,模型的密度算法聚类选择不只是13到14倍协变量模型下,集群。更准确地说,这里给出结果前模型计算了4600 cpu秒数比后者协变量模型聚类所有63000 cpu秒数。稀疏模型下这并不奇怪,因为协变量模型制定集群所有分配共获得集群在每一个迭代,而建设协变量聚类选择的分配。当然计算次增加比例对聚类方法来真正的集群的数量。报告CPU运行时间是基于利用Matlab 2.4 GHz四核(Q6600)电脑4 GB的RAM运行64位的Windows XP。

6。基准数据应用

我们分析Breiman和弗里德曼的波士顿楼市数据23]使用协变量聚类模型(3.5协变量),包括所有。这个数据集相关中值预测自有房屋的价值人口普查跟踪在波士顿大都会区;看到Breiman和弗里德曼(23预测的详细描述)。我们举行了一个随机选择的验证组250年的观察。图3比较框块边缘后的样本协变量对所有在接下来的两个模型:(1)不包括集群(结果复制从Savitsky et al。1),和(b)集群共使用(3.5)。规范化msp分别为0.1和0.09,分别。协变量聚类因此导致相对温和改善的表现,虽然本身不是一个明确的指标更喜欢这个构想。

我们再观察一些减少传播后样品的集群共对制定Savitsky et al。1]不集群,但效果不太明显比观察我们的模拟。当协变量聚类后的样品中经常coclustered反是密度往往表达更大的位置对齐和总体分布相似采样值。基于对齐后的采样值,一个简单的目视检查图的情节(b)3建议两个集群,。的确,后与提出的最低分数最小二乘配置达尔的聚类算法22),它提供了一个分析方法选择集群中后分区,遏制和一个单独的集群捕获。设置分区与第二最低最小二乘偏移分数定义第二个集群。通常这些结果支持我们的主观视觉解释。

7所示。讨论

在本文中,我们扩展了贝叶斯框架变量选择广义高斯过程(GP)模型采用飙升狄利克雷过程(DP)之前结构包含共设置分区。我们的方法导致了非参数治疗医生的协方差的分布参数协方差矩阵,进而诱发协变量的聚类。我们提出了密度方案后推断使用辅助的尼尔吉布斯算法的修改(13)促进后抽样模型下稀疏避免重复琐碎的集群的生成。我们的模拟结果表明减少后抽样可变性和增强的预测性能。此外,之前我们有评估两个结构:第一个雇佣一个质点和连续分布的混合物作为前DP定心分布,因此,反是集群。第二个使用了一个混合的飙升和DP之前连续分布的集中分布,导致聚类的协变量选择。前者建设达到一个更好的集群分离之前,集群只计算协变量选择更有效率。

在未来,它可能是有趣的扩展我们的非参数协变量聚类模型的层次结构,对之前的协变量之间的依赖。另一个可能的扩展我们的建模框架包括增强的同时就业互补集群观测的狄利克雷混合物建设纳入回归模型的误差项。之间没有内在的冲突这两个计划以来所有的观察都是在每个集群协变量。

确认

m . Vannucci部分由NIH-NHGRI,格兰特R01-HG003319 NSF-DMS,格兰特数量1007871。t . Savitsky支持下NIH-NCI格兰特T32 CA096520。

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