发现效率现状和有效投影在线性分式多目标规划:一个线性编程技术

文摘

线性分式多目标规划(MOLFP)问题是重要的问题有特殊结构多目标优化。MOLFP问题,目标函数是线性分式函数和约束是线性的;也就是说,可行的设置是一个多面体。在本文中,我们提出一个方法来识别的效率状况MOLFP问题的可行的解决方案。通过该方法,一个有效的投影在高效的低效的解空间。提出的问题是构造线性规划结构。

1。介绍

多目标规划(MOP)是一个著名的研究领域在优化和运筹学。多目标优化问题有几个目标函数和一组可行的解决方案。有几个特殊的结构多目标优化问题。其中一个类包括线性分式多目标规划(MOLFP)问题,包含多个线性分式目标函数和多面体可行集。

有很多方法来找到有效的解决方案的多目标优化问题构造基于迭代数值,互动,和其他方法。如果目标函数或约束并不是线性的,那么我们应该解决一个数学规划问题,并不是线性的,但如果目标函数和约束是线性的,那么当前方法,通常,解决线性规划(LP)的问题通常更可取比计算的非线性规划问题的努力。

一个著名的和有趣的方法来找到一个可行的解决方案的效率状态在拖把本森的方法提出了本森(1]。该方法接收一个拖把的初始可行解的问题,识别效率状态。如果可行的解决方案是无效的,那么这种方法会产生一个有效的解决方案的投影被评估低效率的解决方案。另一个众所周知的方法找到一个拖把的问题的有效的解决方案是加权和的方法。通过这种方法拖把问题转化为一个单目标函数优化问题。目标函数的权重的拖把决策者指定的问题的观点。如果权值是负的,那么最优解是弱有效的,特别是如果重量是积极的,那么最优解决方案是有效的。除了加权和的方法,约束方法也是一个知名的技术来解决拖把问题。没有聚合的目标函数;而不是只有最初的目标之一是优化,而其他人则转化为约束条件。哈伊姆等,介绍了这一方法。2),和一个广泛的讨论中可以找到Chankong和哈伊姆3]。

MOLFP问题的目标函数是分数的分子和分母,目标函数是仿射。检查的效率状况的一个可行解MOLFP问题的传统方法,我们应该解决一个分式规划问题这是不可取的解决线性规划问题。

线性分式规划联赛问题包括多面体可行集和分数分子和分母是仿射函数的目标函数。换句话说,目标函数的分子和分母同时凸,凹,但是整个目标函数通常不凸,凹,虽然它是拟凸和拟凹,同时进行。所以一个联赛的所有局部最优解问题是全局最优的解决方案。此外,如果LFP问题有最优解,那么它有一个极端的最优解。保证联赛的一个最优解的存在问题,我们假设可行集有界和目标函数的分母是积极的还是消极的在整个可行集。Charnes和库珀4)表明,一个联赛的问题可以解决线性编程技术;即构造线性规划问题的最优解是联赛的最优解的问题,在目标函数的分母的迹象是不改变在整个可行集。有一些研究在解决focous LFP吉尔摩和Gomory等问题5],Martos [6),Illes et al。7],Tantawy [8],Odior [9]。

因为解决MOLFP问题在多目标优化的重要性,一些文章已经发表在解决MOLFP问题的主题。大多数发表的研究都是基于交互技术,迭代线性化、参数和分解方法。Kornbluth和Steuer10)发现的弱有效解MOLFP问题基于基于单纯形算法。Meteve和Gueorguieva11)确定了使用非线性规划问题弱有效解。骑士和埃尔南德斯(12)提出了一种控制估算方法找到一组弱有效解。Dinkelbach [13解决一个MOLFP使用参数化技术,这种方法的问题是延长Almogy和莱文14),Crouzeix et al。15),福尔克和Palocsay16),tam et al。17],Skiscimi和Palocsay [18],Schaible和施19]。

在tam的参数化技术等。17),计算出的参数是解决一些方程,获得可行的解决方案,必然不是有效的解决方案。大多数参数技术提取Dinkelbach [13不能保证解决MOLFP问题。也有一些方法解决MOLFP问题是基于迭代技术,如哥(20.],Kuno [21深处,莳和图伊(22),戴et al。23],科斯塔和阿尔维斯24],Matejaš和Perić[25],Valipour et al。26]。大部分的技术解决MOLFP问题试图找到一个有效的解决方案一个MOLFP问题。

在本文中,首先,我们提出一个方法,识别的效率状态任意MOLFP问题的可行解。然后,我们提出一种方法,不仅确定了任意可行解的效率状况,还发现任意可行解的一个有效的投影。在这两种方法中,我们关于MOLFP问题构造线性规划问题。此外,我们表明,在评估被评估提出了可行解的线性规划问题,在第一种方法,如果最优值为零,则被评估可行的解决方案是一种有效的解决方案。在第二个方法中,线性规划问题的最优解是一个弱有效解。特别是,如果该问题的最优解是独一无二的,那么最优解是一种有效的解决方案。我们的行为和应用提出问题类似于本森的(1)问题,哈伊姆提出的约束问题,et al。2),为解决MOLFP问题。本森的方法之间的差异,约束方法,我们提出的方法是建议的结构问题。我们提出的问题是线性规划问题,而本森的和约束问题,对应于一个MOLFP问题,不仅有非线性目标函数也有非线性约束。

节2,我们介绍一些概念、定义和属性,需要在主讨论。节3主要讨论和属性。给出了两个数值例子来说明我们的方法在部分4,最后一部分是结论。

2。预赛

2.1。线性分式规划问题

线性分式规划问题建模如下: 在哪里是一个非空的和有界集和(已知)系数向量,(已知)系数矩阵,是常数。此外,对所有。

为了解决联赛问题(1),通常,Charnes和库珀的方法4使用)。让和;因此,问题(1)可以转化为以下问题:

定理1。让是一个问题的最优解(2);然后,是联赛的最优解问题(1)。

证明。看到Charnes和库珀(4]。

2.2。多目标优化

考虑下面的多目标规划问题: 在哪里可行的设置和吗,是目标函数。通常,存在目标函数之间的冲突在他们的目标;然后,通常情况下,不存在任何一个拖把问题的可行解优化目标函数。因此,有效解和弱有效解的概念介绍了拖把,而不是最优解。

定义2。一个点是一种有效的解决方案或帕累托最优解决方案的问题(3如果没有其他这样对所有和至少一个。

定义3。一个点是一种弱有效解的问题(3如果没有其他这样对所有。

定义4。一个点是一种严格有效解决问题(3如果没有其他,,这样对所有。

备注5。定义2,3,4意味着每个严格高效的解决方案是一种有效的解决方案和有效的解决方案是一种弱有效解但逆转,必然是不正确的。

有很多方法可以在拖把找到有效的解决方案。其中最著名的一个可行的方法来识别效率状态本森(提出的解决方案是1本文在简介。

这个想法和本森的方法的目的是确定一个可行的解决方案的效率状态的拖把。如果提到可行解不是有效的然后本森的方法找到一个有效的解决方案提到的拖把,主导着低效率的可行解。这个发现有效的解决方案被称为低效的解决方案在效率上的投影空间。本森(提出的问题1向量之间的距离最大化的目标函数对应于被评估可行的解决方案()和目标函数对应的向量所有可行的解决方案,主导。本森距离函数的方法(规范)。

通过上面的解释,本森的方法建模如下:

定理6。如果是一个问题的最优解(4),然后是一种有效的解决方案的问题(3)。

证明。看到本森(1]。

定理7。如果最优目标的价值(4)等于零,那么可行的解决方案是有效的。

证明。看到本森(1]。

另一种方法来解决多目标优化问题是约束方法介绍的哈伊姆et al。2]。在这种方法中,只有一个最初的目标是最小化,而其他人则转化为约束条件。的约束问题与拖把相关问题(3)制定为 在哪里。

定理8。让的最优解(5)对于一些,然后是一种弱有效解(3)。

证明。看到哈伊姆et al。2]。

定理9。让是一个独特的最优解(5)对于一些,然后是一个严格有效的解决方案(3),因此是有效的。

证明。看到哈伊姆et al。2]。

3所示。提出的方法

线性分式多目标规划问题制定如下: 在哪里是一个非空的和有界集,,,对所有。此外,可行集是一个多面体(有界多面体)和是积极的还是消极的所有可行解MOLFP问题(6)为所有。不失一般性,在本文中,我们假设对所有和。

解释提出的方法,首先,我们表达MOLFP本森的方法问题(6),把它转换成一个线性规划问题。本森的问题对应MOLFP问题(6)如下: 在哪里是一个可行的解决方案(6),,。

让是一个有界集。这意味着可行的(7)是有界的。然后,有效拖把问题(6)不是空的,问题(7)有一个最优解。

第一组的非线性约束的问题(7),我们将这些约束转换为线性约束如下: 为。因为,尽管,我们有和,,我们有为。

考虑下面的线性规划问题: 下面的定理给出了上述问题的优化目标价值关系和MOLFP问题的有效解决方案(6)。

定理10。如果最优目标的价值(9)等于零,那么可行的解决方案是一种有效解决MOLFP问题(6)。

证明。对问题的约束(9),因为,,我们得出以下结果在可行的(9): 因为对所有,我们有对所有。
因为所有变量的系数,目标函数的问题(9)是积极的,他们等于1,是一个最佳的解决方案(9);因此,与,所示满足以下关系: 所以 现在,假设是一个最佳的解决方案(9假设和矛盾不是一个有效的解决方案MOLFP问题(6)。然后,有一个可行的解决方案这样对所有和对于一些。
让和对所有。这些关系表明对所有和对所有。因为,,我们得出这样的结论:是一个可行的解决方案(9)。
同时,我们有最优性的假设相矛盾吗在(9)。因为客观的价值(9)对应是严格正的客观价值(9)对应是零,因此是一个有效的解决方案(6)。

现在,我们表达约束方法MOLFP问题(6)。让是一个可行的解决方案(6),,。因此,约束问题(5)对应于MOLFP问题(6)如下: 我们上面的非线性规划问题转换成一个线性规划问题使用Charnes和库珀的转换方法。让和。上述问题转化为下列线性规划问题:

定理11。让是一个问题的最优解(14)对于一些,然后是一个问题的最优解(13)。

证明。起初,我们声称在所有可行解(不为零14)。矛盾,假设是一个可行的解决方案(14)。所以和。这些暗示是一个衰退的方向(可行的MOLFP集(6)这是一个矛盾的主要假设的有界性。所以在所有可行的解决方案,特别是是积极的在所有最优解(14)。
是一个最佳的解决方案(14),。让。我们证明是一个最佳的解决方案(13)。 此外, 对所有和。这些暗示 所以是一个可行的解决方案的问题(13)。我们表明,是一个最佳的解决方案(13)。矛盾,假设不是一个最优解(13)。因此,存在可行解(13),这样 让和。很容易看到是一个可行的解决方案(14)。此外,从(18)我们有,这与假设矛盾是一个最佳的解决方案(14)。因此是一个问题的最优解(13),完成证明。

定理12。让是一个问题的最优解(14)对于一些,然后是一种弱有效解MOLFP问题(6)。特别是,如果是一个独特的最优解(14),然后是一种严格有效MOLFP问题(解决方案和有效的解决方案6)。

证明。假设是一个最佳的解决方案(14)。因此,通过定理11,是一个最佳的解决方案(13),对于定理8,是弱有效解MOLFP问题(6)。此外,如果是一个独特的问题的最优解(14),然后是一个独特的问题的最优解(13),对于定理9,是一个严格高效的解决方案,因此,它是一个有效的解决方案MOLFP问题(6),这就完成了证明。

的话13。由定理12,我们认为一个问题的最优解(14)澄清MOLFP问题的弱有效解(6)。如果最优解(14)是独一无二的,那么这个最优解决定MOLFP问题的有效的解决方案(14)。否则,如果问题(14)选择最优解,然后澄清效率状态的最优解(14我们使用问题(9)和定理10。

4所示。例子

例1。考虑以下MOLFP问题: 根据问题(14)问题(19)可以转化为以下问题: 在哪里是一个可行的解决方案的问题(19)。

为每个任意可行点,这被称为一个被评估可行的解决方案,我们将解决问题(20.),获得的投影被评估可行解的问题(19)的弱有效空间。然后,我们检查有效状态的投影使用问题解决方案(9)和定理10。问题的最优解(20.)对应几个被评估可行的解决方案,他们的效率状态已经列在表中1。注意,如果是一个独特的问题的最优解(20.),然后MOLFP问题(是一种有效的解决方案19),我们不需要检查的投影(9)。图1显示的是可行的和有效的解决方案(19)。矩形的顶点,,,和其内部的集合是可行的解决方案。上所有的点都大胆的片段和有效的解决方案(19)。

注意点,,非常有效。如果我们选择他们作为被评估点和解决问题(20.的最优解),然后(20.)对应于三个点,预测这些可行解决方案的有效空间,是独一无二的和等于本身。

表1礼物的结果检查7可行解(19)6可行解决方案的可行集的边界,其中一个是一个内部点的可行集。投影点对应可行点行1到4的自己和他们有效的问题(9),也认可图1。特别是,点1到3行是基本可行的解决方案(19),因此它们是有效的极端点(19)。还行4段的可行解。

另一种可行的解决方案行5到7是低效的。行5和6的点的低效率的可行集的边界(19)及其预测领域和,分别。行7点是一个可行的内部点(19)及其投影线段。

例2。在这里,我们考虑一个MOLFP三个目标函数的问题已从Kornbluth提取和Steuer [10)如下: 上述MOLFP问题的可行集如图2。可行集是一个三角形的顶点,,。所有的粗体部分是有效的,除了点和这是弱有效。其他点的可行集效率低下。更多说明,见Kornbluth和Steuer10]。

关于(6),(13)和(14),MOLFP问题(21)转化为下列线性规划问题: 在哪里是一个可行的解决方案的问题(21)。

通过求解线性规划问题(22为每个任意可行解的)(21),我们可以获得的投影在弱有效的空间(21)。解决问题的结果(21)已被列入表几个可行的解决方案2。在表2,我们看到列2和4对应行1到4是一样的。换句话说,被评估可行解决方案的预测行1到4的自己和他们是有效的使用问题(9)对应于(21)。此外,所有其他可行的解决方案在5到8行是低效的,和他们的预测从(22),是有效的。

5。结论

在现实世界中,许多事件和问题建模为多目标规划问题。线性分式多目标规划(MOLFP)问题具有特殊的结构在多目标规划问题。可行集的多面体和他们的目标函数是分段的提名者和分母是仿射函数。

因为MOLFP问题的特殊结构,在本文中,我们提出一个线性编程技术找到一个可行的解决方案的效率状态的MOLFP问题,如果它是无效的,那么我们的项目在有效的空间MOLFP问题。为此,我们提出两个线性规划问题。提出的一个线性规划问题,试图找到一个可行的解决方案的MOLFP问题占据被评估可行的解决方案。如果不存在最优解的线性规划问题等于被评估提出可行的解决方案,然后被评估可行的解决方案是低效的。在这种情况下,最优解是一个投影的被评估可行解的弱有效集MOLFP问题。否则,如果该问题的最优解是一样的被评估可行的解决方案,然后是弱有效可行的解决方案。另一个线性规划问题提出了识别效率状态的可行的解决方案。我们可以检查的效率状态任意可行解或投影点,得到的另一个问题,线性规划问题。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

引用

1. 惠普本森,”向量最大化有效解的存在性问题。”优化理论与应用》杂志上,26卷,不。4、569 - 580年,1978页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. l . s . Lasdon y y哈伊姆,d . a .默说,“在一个bicriterion制定集成系统识别和系统优化的问题,“IEEE系统,人,控制论1卷,第297 - 296页,1971年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
3. 诉Chankong y .哈伊姆,多目标决策:理论和方法美国,爱思唯尔科学,纽约,纽约,1983年。
4. a . Charnes和w·w·库珀”,与线性分式泛函,编程,”海军研究物流9卷,第186 - 181页,1962年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
5. p·c·吉尔摩和r . e . Gomory削减股票问题的线性规划方法。第二部分,“运筹学,11卷,不。6,863 - 888年,1963页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. b . Martos“双曲编程”,海军研究物流11卷,第155 - 135页,1964年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
7. t . Illes。Szirmai, t . Terlaky“有限双曲编程,纵横交错的方法”欧洲运筹学杂志》上,卷114,不。1,第214 - 198页,1999。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. s . f . Tantawy”一个新的过程求解线性分式规划问题,“数学和计算机模拟,48卷,不。5 - 6,969 - 973年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
9. a . o . Odior”解决线性分式规划问题的一种方法。”国际工程与技术杂志》上1卷,第304 - 298页,2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. j·s·h·Kornbluth和r·e·Steuer”多目标线性分式规划。”管理科学,27卷,不。9日,第1039 - 1024页,1981年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. b Metev和d . Gueorguieva”,一个简单的方法获取弱有效点线性分式多目标规划问题,“欧洲运筹学杂志》上,卷126,不。2、386 - 390年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
12. r .绅士和m·埃尔南德斯,“估计方法在线性分式多目标控制问题,”电脑与行动研究没有,卷。31日。11日,第1832 - 1821页,2004年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. w . Dinkelbach”,在非线性分式规划,“管理科学13卷,第498 - 492页,1967年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
14. y Almogy o·莱文,”一类分式规划问题,”运筹学卷。19日,57 - 67,1971页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
15. j。j . a . Ferland Crouzeix, s . Schaible“广义分数的算法程序,”优化理论与应用》杂志上卷,47号1,35-49,1985页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
16. j·e·福尔克和s . w . Palocsay”,广义的图像空间分析部分项目,”杂志的全局优化,4卷,不。1,第88 - 63页,1994。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
17. k . tam、c . tam和e . Ohlenderf“Multicriterial部分优化”参数优化和第四相关主题,j . Guddat h . t . Jongen f . Nozicka g .仍然和f . Twilt, Eds。彼得·朗,页359 - 370年,柏林,德国,1997年。视图:谷歌学术搜索
18. c . c . Skiscim和s . w . Palocsay”与的比率最小生成树”,杂志的全局优化,19卷,不。2、103 - 120年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
19. Schaible和j·史”,最近的事态发展在部分编程:单比和最大最小情况下,”第三届国际会议在非线性分析学报》上w .高桥和t .田中,Eds。,pp. 493–506, Yokohama Publisher, Yokohama, Japan, 2004.视图:谷歌学术搜索
20. j·p·科斯塔:“MOLFP计算non-dominated解决方案”,欧洲运筹学杂志》上,卷181,不。3、1464 - 1475年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. t . Kuno”和最大化算法几个线性比例的总和,“杂志的全局优化,22卷,不。1 - 4、155 - 174年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
22. n t·h·阮莳和h .”,统一单调的广义线性分式规划方法,”杂志的全局优化,26卷,不。3、229 - 259年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
23. y戴,j·史和美国,“锥形分区算法最大化直流比例的总和,“杂志的全局优化没有,卷。31日。2、253 - 270年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
24. j·p·科斯塔和j·m·阿尔维斯,”一个参考点技术来计算MOLFP nondominated解决方案,“数学科学杂志》,卷161,不。6,820 - 831年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. j . Matejaš和t . Perić”,一个新的迭代法求解多目标线性规划问题,“应用数学和计算卷,243年,第754 - 746页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
26. e . Valipour m . a . Yaghoobi和m . Mashinchi”迭代方法解决线性分式多目标规划问题,“应用数学建模,38卷,不。1,38-49,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

版权

版权©2016名Mirdehghan和哈桑Rostamzadeh。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。