一种用折扣机制解决固定成本运输的混合动态规划

抽象的

考虑将不同类型车辆分配用于将一组产品从制造商运送到其仓库/交叉码头的问题，以最大限度地减少总运输成本。配送网络涉及一种异质车辆车队，具有可变运输成本和固定成本，其中折扣机制应用于运输成本的固定部分。假设可用车辆的数量限制为某些类型。提出了分立非线性优化模型形式的数学编程模型。开发了一种混合动态编程算法，用于查找最佳解决方案。为了提高解决方案算法的计算效率，在动态编程算法中结合了若干概念和例程，例如嵌入状态例程，代理约束概念和边界方案。通过所提出的解决方案算法选择和解决了真实的世界案例问题，获得了最佳解决方案。

1.介绍

运输是全球物流系统的关键部分，因为长途距离可以与客户分开。在五种主要运输方式中，铁路，道路，管道，水和空气，卡车载有美国商品的重量和价值的最高比例[1］．由于物流经常对运输成本不敏感，因此必须更彻底地分析运输总成本。

本文考虑了设计成本高效的道路运输模型的问题。拟议的运输模式是由现有分销网络的发展中国家索里科工业集团（SIG）的运输模式中的车辆仓库分配。虽然考虑到这个现实世界问题，探讨了这种运输模式的更广泛版本。彻底的调查表明，大多数发展中国家，如阿富汗，印度，伊拉克，巴基斯坦，土耳其，所有海湾公司委员会和独立国家国家的联盟都有与SIG的范围非常相似的运输模式。因此，我们的方法可能会被发展中国家的类似制造商调整。

基于这些假设，问题被定义为用于将一组产品从制造公司提供到一组不同的仓库/交叉码头，并将适当的车辆分配给分布分支以最小化总运输成本。非线性整数编程形式的数学模型用于制定问题。然后开发了一种解决所提出的问题的精确解决方法。所提出的解决方案方法用于解决案例问题，结果报告。

2。文献综述

近年来，由于电子商务的使用，大部分的物流活动都发生了变化。然而，实物运输仍然依赖于运输系统来完成操作。许多数学模型和定量方法已经被开发来优化运输系统的运行，以满足客户的需求。物流增加了供应链过程的价值。根据第26届年度“国家物流报告”供应链管理专家委员会在2015年发表的美国商业物流成本是1.45万亿美元,2014年,同年运行的运输成本近一万亿美元,占总物流成本的65%以上(1］．这些统计数字表明，对物流成本的最大贡献是运输。物流优化在过去几十年里得到了显著的普及[2］．过去3年的变化使公司提供了更加灵活性和控制物流活动的控制[3.］．涉及大量问题的决策的大规模分配网络的设计使得难以发展竞争性分配策略[4.］．最近的技术发展可以实现交通和物流服务周围正式选择的交易。执行物流系统的建模，以寻求最佳的系统配置，以最大限度地降低成本或最大化操作性能，以满足或超过客户期望[5.］．对物流成本概念的研究是由于WALLER和FAWCETT的工作6.和Kowalski等人[7.］．

交通也被认为是物流和供应链过程的重要因素。Goossens和Spieksma [8.研究了具有排他边约束的普通运输问题的推广。在他们的工作中，他们证实了他们提出的模型是NP-hard。然后Waldherr等人[9.]借助另外辅助资源提供支持运输的瓶颈运输问题的新延伸。提出了一种用于满足总需求的单一商品的运输系统。Adlakha和Kowalski [10]提出了一种解决某些运输问题的解决方案算法。[中的绝对点的概念11探讨了采用的是，探讨了具有二次函数成本系数的运输问题的直接分析算法。

其他研究尝试是考虑折扣机制的人及其对整体运输成本的影响。折扣固定成本运输可被视为固定成本运输问题的版本。这被认为是NP难题问题，因为成本结构导致目标函数的值表现得像阶跃函数[12］．已经开发了许多模型来克服这个问题。对于根据数量的变化考虑折扣价格的模型，请参阅DAS等人。[13]，Acharya等人。[14]，Blazewicz等。[15和Osuji等人[16］．

在几个真实世界的情况下，研究并实施了成本高效的分销网络和更好地利用用于运输货物的车辆。这些研究中的一个是Donselaar和Sharman进行的实验[17]. 这项实验的重点是荷兰一个省的运输和分销部门。Bhadury等人[18]制定了一套全面的方法，以优化运输公司收购汽车运输公司的规划。香港正在进行一项基础设施发展计划，以使其过时和不完善的运输系统现代化。在完成该项目后，香港作为华南港的战略地位得到加强。19.]. 另一个尝试是对巴西汽车运输业的研究，以评估不同类型的货物和服务的地理区域对卡车运输管理效率水平的影响[20.］．对全球生产和分销网络设计的文献的系统审查是由于OLHAGER等人的工作。[21.］．

另一种尝试是Reimann等人的工作。[22.]在战术和业务层面审查了关于综合生产和分配决策的现有文献。因此，焦点是关于明确考虑以较低的卡车装载方式将交付给多个客户端的问题。它们通过考虑分别考虑批量/容量分配和调度模型来区分战术和运营生产问题。在Biellia等人的研究工作中，提出了数学模型和用于处理车队管理系统的解决方案算法的趋势。[23.］．他们根据不同的传输模式，每个具有特定特征的传输模式确定了舰队管理中最相关的问题，并概述了数学模型的开发和计算算法的最新贡献。使用舰队管理问题的模拟有些尝试。那些有兴趣的人称为Kiani等人。[24.]，Netto和Botter [25.]和sebbah等人。[26.］．

为了求解所提出的数学规划模型，可以采用动态规划方法。动态规划是一种强大的方法，即使在离散解空间中也能得到全局最优解。然而，由于决策变量和状态变量数量的增长需要大量的计算机内存存储和计算时间，这种强大方法的使用受到了限制。为了克服动态规划技术中状态变量的维数问题，已经进行了大量的研究。早期的尝试是通过使用拉格朗日乘数的概念进行的[27.］．另一种尝试是使用代理限制[28.］．拉格朗日和代理约束框架都遭受了二元间隙的存在。虽然格洛弗[29.格林伯格[30.]，以及水上和西克洛斯基[31.已经表明，与拉格朗日方法相比，替代方法的差距的发生和尺寸通常较少，但是统一理论为使用代理约束方法提供算法过程的基础并没有出现，并且一般计算困难正在等待对于统一的理论。第三次尝试是Morin和Esogbue的方法[32.谁提出了一种动态编程算法，该算法正在搜索嵌入状态以获得最佳解决方案。后一种尝试提供了一种强大的解决方案程序，用于解决一个动态编程模型的一般类别。从那时起，一套研究工作已经致力于减少状态空间解决方案[33.righini和salani [34.]，方等。[35.]，Russo等人。[36.和基比勒、基玛敬。37.］．

该问题实际上是固定费用运输问题的推广。固定费用运输问题是一个NP难的组合优化问题[38.］．由于所提出的问题的计算复杂性，开发了一种混合动态编程（DP）解决方案算法。为了提高解决方案方法的计算效率，诸如嵌入状态例程，代理约束概念和边界方案的若干概念和例程被纳入DP算法的强大枚举方法。在部分3.将呈现数学编程的发展。在部分4.，将描述开发混合DP的过程。部分5.致力于计算实验。最后在本节进行了总结6.．

3.发展数学模型

为了获得用于将产品提供给仓库/交叉码头的车辆的最佳分配，我们需要以数学编程模型的形式制定问题。正如我们稍后会看到用于处理此类问题的数学模型是非线性离散优化模型的形式。由于这些问题的计算复杂性需要开发有效的解决方案方法。在以下部分中，我们将描述数学模型的发展和解决方案方法。

3.1。问题描述

考虑一下图形用布景有向弧及其集合的性质代表制造和仓库/交叉码头的节点。制造是索引0，并且码/交叉码头（分支）从1索引到．分支具有众所周知的需求，总重量．有车辆的类型，以及类型的车辆总数是(对于大多数类型的车辆没有数量限制，但在我们的情况下问题只有两种类型的车辆是有限的)。车辆类型的容量在重量方面它可以交付指定的以及车辆类型的蒸腾电荷对于以仓库/交叉码头结尾的路线是．我们希望分配适当的车辆类型，以便提供仓库/交叉停靠基站的总需求，以最大限度地减少分配产品到所有仓库/交叉码头的总运输成本。还假设有租用车辆的折扣政策。此折扣根据租用的车辆数量而异，以其固定成本应用。通过此折扣政策，如果租用类型的数量车辆小于，租赁公司要求固定成本．如果类型的数量车辆大于或等于，但少于， 什么时候，租赁公司收取折扣价值作为固定费用。让我们考虑一下作为类型的数量将产品运输至仓库/交叉码头的车辆．假设有很多折扣间隔数，用于确定修复成本的通用公式可以写如下： 在哪里．

由于现有的分销网络，从制造公司到仓库/交叉码头的距离是固定的并且得到的。该目的正在将一组车辆分配给通向仓库/交叉停靠的每个分支，以最小化总运输成本。开发了数学模型，并将在以下部分中呈现。

3.2。数学模型

在所提出的数学模型中使用的一些参数列出如下： :类型车辆数量分配用于将产品运送到Depot / Cross Dock． ：车辆类型的重量容量． :车型的可变运输成本到Depot / Cross Dock． :各类车辆总数． ：由Depot / Cross Dock订购的产品总重量． ：一步函数表示分支的总运输成本(通往仓库/交叉码头）分销网络。 ：使用车辆类型的固定成本． :仓库/交叉码头总数。 :车辆类型总数。 ：总运输成本。UB：目标函数值的上限。 的权重因子用于定义代理约束的第Th个约束。UBB：由子程序绑定获得的目标函数值的上限。UBS：客观函数值的上限，由替代问题的最佳解决方案获得。SO:一个矩阵，用于记录原始问题在DP求解过程的每个阶段中所嵌入的状态变量。SR:一个向量，用于记录原始问题在DP求解过程的每个阶段中所嵌入的状态变量的返回值。SOS：一个矩阵，用于记录代理问题在DP解决方案过程的每个阶段中嵌入的状态变量。SRS：一个向量，用于记录代理问题DP解决过程每个阶段中嵌入状态变量的返回值。

所提出问题的目标函数可表示为 在哪里是一种阶梯功能，表示固定部分的运输成本和是运输成本的变量部分。让我们定义每个仓库/交叉停靠（分支）的总运输成本，如下所示。

然后我们会有 可以实现，将上述数学模型按分支分解如下: 由于数学模型的分解，动态规划(DP)方法似乎是解决该问题的最佳选择。考虑到这种方法，DP方法的正演计算的递归方程可以发展如下。

让是州变量的表示车辆类型的阶段，分配给了车站/交叉码头。

是总运输成本车站/交叉码头。

各阶段的递归方程可以表示为 DP解决方案算法是一种有效的解决方案方法，用于状态变量的尺寸很小。因此，DP方法的选择实际上基于壳体问题的实际条件，这提供了用于减少状态可变维度的一些考虑因素。此外，案例问题的实际情况提供了一些其他计算方面，使我们能够找到案例问题的相对大的数学模型的最佳解决方案。在以下部分中，我们将介绍建议问题的确切解决方案算法的开发。

4.求解算法的开发

所提出的解决方案算法基本上是DP方法。如我们所知，DP算法的状态空间解决方案在解决方案过程的连续阶段进展时呈指数增长。这种指数增长需要每个阶段的广泛枚举努力，因此需要不合理的计算时间。因此，我们提出了几种状态减少机制，并将其集成到用于开发有效解决方案算法的DP算法。我们还通过了一种强大的界限机制，以限制DP算法的连续阶段中的状态空间解决方案的增长。在说明所提出的算法的步骤之前，我们描述了这些机制。

4.1。状态空间减少机制

利用嵌入式状态解空间的概念，提出了一种高效的混合状态解算法。利用内嵌状态，利用矩阵记录状态空间解，其中只有当目标函数值变化时才枚举状态变量。我们还采用代理约束的概念来降低问题的状态空间解的维数。我们知道，DP方法的计算效率随着状态变量维数的增加而降低。因此，如果我们将状态变量的维数降为一个维数，我们可以大大提高DP求解算法的效率。通过使用代理约束，我们可以用一个约束替换所有约束。通过这种转换，我们将动态规划方法的多维状态变量降为一维。通过将原问题转化为替代问题，不丢弃原问题的任何解点。

因此，我们可以解决代理问题而不是原始问题，我们保证，通过搜索代理问题的可行空间来获得原始问题的最佳解决方案，我们正在考虑所有解决方案点，而不会丢失单点。然而，代理问题可能包含对原始问题不可行的解决方案点。但是，通过解决代理问题，我们可以找到原始问题的最佳解决方案，以防原始问题是可行的，也可以找到非常近的上限到原始问题的最佳解决方案。

值得注意的是，通过解决代理约束问题，我们获得了状态变量值的整个范围的最佳返回值。通过在矩阵中记录状态变量的返回值，我们只需要解决一次代理问题。在DP解决方案的任何阶段，我们可以使用该矩阵来获得原始问题的最佳解决方案的更新的上限，并在基本上的DP算法的后续阶段中降低状态变量的生长。

4.2。绑定状态空间解决方案

边界是另一种尝试降低获得最佳解决方案的计算要求。当我们认为车辆类型中没有有限的数量时，可以通过车辆分配来获得强大的上限。因此，我们在解决方案算法中纳入了一个子程序，用于在解决方案过程的连续阶段找到强大的上限。已编写开发的子程序，使其可以在每个阶段更新。初始化这个子程序，我们让．该子程序的步骤描述如下。

子程序绑定

步骤1。根据其降低顺序和分配索引的容量排序车辆到最大的车辆容量，分别达到最小的容量，让．让．

步骤2。让．如果，去步骤4.．否则完全加载车辆类型．让．

第3步。让；踏2．

第四步。让．如果、载货车辆型号和；踏5.; 否则，转至步骤2．

第5步。如果， 让；踏2；否则让我们和停止。

4.3。解决方案算法

求解算法基本上是DP方法，其中加入了代理约束和边界例程，以提高计算效率。为了开发替代问题，我们可以简单地使用约束的和或使用约束的加权和。很明显，如果我们可以定义适当的权重因子来获得约束的加权和，我们将有一个更好的代理问题与更接近的上界值。在车队分配问题中，定义递归方程DP状态变量的约束是对车辆数量施加限制的约束。考虑不同车辆的能力，我们可以找到合适的权重因子来平衡这些能力，从而定义一个更接近不同车辆能力实际限制的单一约束。例如,如果车辆1型有能力携带20吨产品,汽车2有能力携带10吨的产品,和车辆3有能力携带5吨的产品,我们可以定义的重量因素1,2,4,根据他们的能力分配比例,分别为这些车辆。使用这些权重因子来获得代理约束，提供了一个非常接近原始约束的单一约束，从而为原始问题提供了一个具有较小的对偶间隙的解决方案。

解决方案算法的步骤（1）确定正确并将原始问题转换为代理问题，使用．（2）让和．（3）计算代理问题的最优解。（4）如果替代问题的最佳解决方案对原始问题有可行的，请转到步骤；否则，设UBS为代理问题的最优目标函数值。(5)将代理问题得到的状态变量及其相关的最优目标函数值分别记录在矩阵“SOS”和向量“SRS”中。(6)调用子程序。(7)构造嵌入状态并计算其相关的返回值，使用原始问题的DP算法的递归方程。(8)对于每个状态变量，通过添加最便宜的仓库/交叉码头的运输成本来计算最坏情况的情况到. 此外，对于每个状态变量，从SRS中找到其相关的最佳返回值，并将其分配给UBS。从嵌入状态中找出与代理问题最优解相关的状态变量。如果状态变量对原始问题是可行的，则转至步骤；否则，让我们. 丢弃相关最坏情况大于或等于UB的状态变量；然后去．（9）如果， 让和；踏; 否则，转至步骤．(10)记录最佳解决方案并停止。

5.案例问题

正如我们之前所指出的那样，建议问题的动机来自真正的世界案例问题。在以下部分中，我们首先描述了真实世界案例问题的范围。在我们的案例问题中，存在一些实用的方面，其中所提出的数学模型及其解决方案算法可以更直接地调整。然后，我们探索这些方面及其获得的福利，我们获得了更有效地解决我们的案例问题。

5.1。案例问题描述

SIG拥有几家食品制造厂，其中之一是奶制品制造厂，名为Kalleh Co.，生产各种各样的奶制品。该制造工厂的产品被分销到其仓库/交叉码头和交叉码头，从那里他们被分销到周围的零售商店(2154)。在SIG的东道国，几乎没有大型超市;相反，有大量的小零售商，这是非常类似于西方的便利店。因此，直接将产品分销给零售商在经济上是不合理的。全国各地分布着194个堆场和交叉码头，总面积达160万平方公里。这个配送系统的车辆是从集团之外的几家公司租来的。每辆车的租赁成本是固定成本和可变成本的总和，固定成本取决于带有折扣机制的车辆类型，可变成本取决于行驶距离。折扣机制根据租赁车辆的数量来实施。车辆的数量是有限制的，特别是大型车辆与冷藏室。 We found this problem as a challenging one and defined a more general form of the problem in way that may be used for similar manufacturers in the developing countries.

目前，该集团的乳制品制造厂每天生产2300多吨不同的乳制品，并计划将产量提高到2700吨/天。该集团还有一个销售和分销公司(SDF)，负责在全国销售该制造公司的产品。自卫队在全国主要城市拥有85个储存设施(仓库)和109个交叉码头，通过这些设施，他们的产品可以配送到同一城市的指定商店和附近的小城市。这些设施作为SDF的销售分支，每个分支都包含一个销售办事处。如前所述，在这个国家的大多数商店是小商店，更类似于发达国家的便利店。因此，需要这些仓库/交叉码头，因为他们的产品不能直接从生产设施运输到指定的商店。

虽然PF生产大量的商品产品，但它的生产系统是通过订购系统工作的。具体来说，每个分店的销售处每周收集指定店铺的下周需求，并将订单传递给SDF的中央销售处。中央办公室汇总了这个订单，并将其发送给生产公司的计划部。计划部门制定生产计划，并在制造工厂执行。根据这些时间表，产品被生产并发送到销售支持部门的存储设施。然后这个部门将产品运送到全国各地的仓库/码头。

由销售支持部门执行的现有交通规划遭受了两项重大缺陷。首先，运输计划是基于以前的经验而不是使用任何系统方法进行。第二次规划过程是根据每日可用车辆和产品而不是每周进行的。由于这些缺陷，不正确选择车辆类型，因此它们被效率低下。为了展示车辆的负担效率，我们收集了过去12个月的数据。桌子1说明了车辆容量的使用。在此表格中，还证明了可用车辆的类型和数量及其标称容量。看起来我们对可用类型1和2型车辆的数量有所限制。实际上没有限制类型3型的车辆数量。

根据本集团的政策，每周订单通过两个出货量交付。实际上，在制造公司和几个仓库/交叉码头和交叉码头之间超过1400公里的大距离几乎证明了这一政策。

因此，考虑到这一政策，我们面临的限制，在数量的1型和2型作为和分别为每周。假设产品每周订单直接送到销售支持部门，我们现在需要为每周运输计划开发系统的方法。

指表1，可以注意到车辆的容量使用不符合令人满意的水平。有不同类型的产品（牛奶，奶酪，酸奶，冰淇淋等），具有不同的容器和包装类型（瓶子，圆柱形状塑料容器，立方纸，不规则形状的真空包装等）和不同密度可以证明在能力使用情况下的缺陷百分比。然而，还有一些其他不合理的缺陷，这是由于产品分配到车辆类型的不当。由于运输费用根据车辆的类型和送货距离，因此负载低效导致总运输成本更多。因此，我们提出了一种改进该逻辑过程的数学模型和解决方案算法。开发了数学规划模型，以获得用于将产品分配给全国销售分支机构/交叉码头的运输计划。该数学模型的性能的衡量标准被定义为我们想要最小化的运输成本。

5.2。案例问题的解决方案

为了解决案例问题，我们收集了有关货运成本和仓库/交叉码头的订单量的所需数据和信息。然后，通过简单的线性外推，调整生产的订单量增加。为了获得替代问题，我们可以使用平等的重量．然而，为了获得更接近的上界，我们需要确定合适的权值，使所代理的约束能够更好地代表车辆类型。为了获得这些重量，我们使用了车辆的名义容量。表示车辆类型限制的原始约束如下: 车辆数量限制是针对1型和2型两种车型，标称容量分别为20吨和16吨。基于这些标称容量，我们确定权重值为和分别适用于1型和2型车辆。这些车辆的额定承载能力是根据它们能承载的重量计算的。然而，由于产品的形状不同，因此密度不同，我们根据表中所示的因素修改了名义容量1以获得他们能承受的重量的更真实的数字。表示这些限制的约束条件修改如下: 利用求解算法，我们得到了每周产品订单配送车辆的最优分配。将通过使用所提出的方法获得的解决方案与上一年的实际成本进行比较，表明一年运输成本节省833.8万美元以上。

6。结论

在本文中，我们考虑了一些车型数量有限的异构车队车辆分配问题。该问题是一个离散非线性优化数学规划模型。数学模型的分解性质鼓励我们选择动态规划求解算法来解决这个优化问题。由于数学程序的计算复杂性，随着决策变量和状态变量数量的增加，计算时间呈指数增长。因此，所提出的问题被归类为NP难问题。由于这一事实，我们通过在DP求解算法中加入多个例程，开发了一种有效的求解方法。我们通过放宽对车辆类型数量的限制，合并了一个边界例程，用于寻找最优解值的上界。我们还使用嵌入状态的概念来限制目标函数值的枚举，在DP的整个求解阶段，仅限于目标函数值的跳跃。我们还引入了代理约束的概念，并提出了一个例程，用于获得所提出问题的最优目标函数值的另一个上界。通过使用这些上界和更新这些上界的机制，我们在DP解决方案的连续阶段中收紧了状态变量的增长。

然后，我们应用了所提出的数学模型和开发解决方案算法来解决真实的世界案例问题。案例问题介绍了一家制造商生产各种乳制品，现有的配电系统由194个仓库和交叉码头和6种类型的车辆提供，用于提供其产品。所需的车辆由外部公司租用。有限制租用的一些更大容量车辆的数量。车辆的运输成本是其固定成本的总和，并且可变成本与旅行距离成比例地产生。根据要租用的每日车辆数量，将折扣机制应用于固定成本。折扣通过阶梯函数通过车辆数量来改变。每周对产品的需求是已知的，并通过一周前的订单拣选系统决定。预计将车辆分配到仓库/交叉码头路线，以最大限度地减少总运输成本。提出了一种案例问题的离散非线性优化模型形式的数学编程模型。 The mathematical model was then converted to the recursive equations of a discrete dynamic programming model and solved by a developed solution algorithm. To increase the computational efficiency of the solution algorithm, several concepts and routines, such as the imbedded state routine, surrogate constraint concept, and a bounding mechanism, were incorporated in the dynamic programming solution algorithm. We employed the last 12 months of the transportation costs data for evaluating the solution of the proposed model. The results revealed that the use of the proposed model can provide a considerable saving on the transportation costs.

利益冲突

作者宣布没有关于本文的出版物的利益冲突。

致谢

作者感谢许多个人和Kalleh公司销售和分销计划部门的支持和帮助。谨向全体工作人员表示衷心的感谢。该项目由Solico Industrial Group和Kalleh Inc.资助。作者非常感谢Solico Industrial Group和Kalleh Inc.提供的资金支持、指导和持续监督，以及提供有关项目的必要信息，也感谢他们在完成项目方面的支持。

参考

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