多学科设计的结构优化框架

摘要

本工作描述了一个结构优化框架的发展，以适应不同的客户需求。其目的是为优化研究分析师提供一个可访问的框架。该框架利用有限元分析程序的直接接口能力，将移动渐近线的方法集成到有限元分析程序中。分析灵敏度被纳入，以提供一个稳健和有效的优化搜索。开发了用户宏来将设计算法和分析灵敏度与有限元分析程序连接起来。为了测试优化工具和灵敏度计算，考虑了三个大小和一个拓扑优化问题。此外，以非结构耦合为例，对加热板的颤振分析进行了分析。在浆料优化中，计算的半解析灵敏度与解析灵敏度和有限差分灵敏度相匹配。解析设计与数值设计的差异小于2.0%，这主要是由于有限元的离散性。在拓扑问题中，二次元在解决棋盘模式时具有鲁棒性。

1.介绍

越来越多的工程产品被要求保持高效率，但同时在相互冲突的客户要求下表现良好。这方面的例子包括热负荷[1，气动弹性，热，屈曲载荷，声学和冲击载荷的组合。结构优化通过同时询问多个学科来努力提高性能。然而，仍然需要在现有的优化工具中考虑新的规程。

自20世纪80年代以来，工业界认识到结构优化的潜力。现在有多种商业结构优化工具来解决产品设计问题。这些工具主要出现在学术研究社区，然后商业化，专注于特定的应用。早期的结构优化实现包括在诸如NASTRAN、ANSYS和ABAQUS等有限元软件中添加尺寸和形状优化[2，第243页]。托马斯等人[3.表明早期版本的Altair OptiStruct是基于应用均匀化方法进行拓扑优化的[4]．《创世纪》(5]专注于采用高级近似技术[6，7]和灵敏度工具，以提供有效的优化搜索[8]．为了获得ABAQUS中的设计灵敏度，Yi等人[9应用响应面技术逼近设计导数，对齿轮减振器进行结构优化。作者利用python访问ABAQUS内核，制定噪声判据。

Thomas等人[3.强调了商业工具中结构优化的重要要求。在这些需求中，界面的易用性和工具的狭窄应用焦点阻碍了工具扩展到更广泛的应用程序。例如，到目前为止，拓扑优化仅限于结构问题，没有考虑重要的物理问题[10对结构至关重要。另一方面，研究工具经常利用内部代码来建模一个狭窄的物理问题，然后结合结构优化。将该方法扩展到商业工具可能需要大量的开发。

希望有一个设计优化工具，提供介于研究和商业应用之间的开发环境。该工具应易于使用稳健的优化方法，分析灵敏度，先进的近似方法，并包括所有重要的物理。新准则的分析灵敏度的发展对于基于梯度的优化工具的有效性尤为重要。此外，正如Thomas等人所建议的[3.]，结构优化软件应具有广泛的分析能力，包含不同类型的元素，并易于集成新的物理和材料类型。有限元分析程序（FEAP）[11]，由加州大学伯克利分校的泰勒教授开发，是一种研究用FORTRAN语言编写的有限元代码。它提供了广泛的元素，包括结构分析和热能力在线性和非线性、静态和瞬态域。代码被设计成通过开发用户宏来合并新的元素、物理、材料、网格和解决程序。此外，宏为优化程序提供了接口功能。

在考虑气动弹性约束的结构优化中利用FEAP进行了一些工作。月亮(12]进行了机翼在发散约束下的气动结构优化。阿隆索等[13，14]演示了将高保真CFD代码与FEAP耦合在一起的优化框架。特别是在[13利用有限差分工具计算结构灵敏度。在上述研究中，使用了一个基于python的编程接口来将流动代码包装到结构分析工具中。最近，Schafer等人[15]通过耦合界面(MpCCI)将有限体积流动求解器(最快)与FEAP耦合，进行了无导数形状优化研究。

在这项工作中，开发了一个结构优化和分析灵敏度框架。该框架通过访问用户界面从FEAP命令结构中构建。其优点是直接访问解析梯度公式所需的有限元矩阵，灵活选择数值优化导出了解析梯度，并将其应用于移动渐近线法[16]来加速优化搜索(此处使用此方法作为示例，用户可以根据应用程序选择其他基于梯度的优化技术)。为了处理相互竞争的目标，采用帕累托方法[17多目标算法用于解决多目标问题。帕累托前沿是通过约束方法。报纸在本版继续2提供非线性结构方程组的一般形式3.，总结了解析灵敏度方程。节4，介绍了结构优化框架的实现和灵敏度分析。节5在美国，进行了数值研究，以证明该框架在具有尺寸和密度设计变量的结构问题中的应用。最后一节6通过分析加热板的屈曲和颤振，论证了新物理的结合。

2.结构分析

在结构静力非线性分析中，有限元法给出了一组平衡方程[2，第274页]： 在哪里是一个设计变量，是一种全球反应变形，为外部施加的负载，是由于变形引起的结构内部荷载，以及是加载延续参数。

用牛顿法计算方程组的解，得到了残差的泰勒级数近似 在哪里为内外荷载作用下的切向刚度矩阵，如下所示: 在单元级计算切线刚度矩阵，然后对整体系统进行组装。当外力与变形无关时，矩阵是对称的。在这种情况下，直接求解器被用来求解方程组. 变形是否更新了新的解决方案直到收敛到指定的精度。

3.敏感性分析

性能函数依赖于变形，可以写出设计变量： 为了用有限差分计算灵敏度，需要重新计算响应在设计变量的扰动值处．除了计算成本外，这种灵敏度还容易导致有限元解的不准确性。半解析计算灵敏度有两种选择[2, 274页)。直接法由平衡方程(1)在聚合反应： 采用正演有限差分法计算残差的灵敏度。注意，这只需要在新设计时增加剩余部分。分解后的切线刚度矩阵可从(2）.方程(5)为所有设计变量重复求解。对于具有大量设计变量的优化问题，计算成本增加。伴随方法通过预乘(5)与伴随向量相加(4）.伴随向量是通过设置的系数来计算的为零: 在哪里指矩阵的转置。对于外部荷载与变形无关的结构系统，切线刚度矩阵是对称的，这一操作可以跳过。响应灵敏度计算为 请注意,(6)对每个与变形相关的性能函数重复求解。在此类函数数量较多的优化问题中，直接法更为合适。

4.FEAP的实施

优化框架应用于FEAP输入文件的问题解决阶段[11,第3页)。这里有一个直接的界面(称为用户宏[18])的程序进行了优化搜索，敏感性分析，并定义了目标函数和约束条件。宏允许访问FEAP程序指针，并定义新的用户指针以便在框架中使用。在FEAP中，新的用户命令与现有的解决方案命令交织在一起，实现如图所示的算法1，其中用户命令调用用户宏;见表1．

优化搜索的用户宏集成了移动渐近线(MMA)方法的Fortran源代码[16]．该方法不仅有效，而且适用于结构优化。

由于算法灵敏度分析部分的数据管理比较复杂，下面将介绍直接灵敏度计算的基本结构。(我)计算响应在指定的设计变量下．这是用牛顿方法实现的。FEAP命令由线性分析的“TANG，，1”或非线性分析的同一命令的一个环路组成。(2)用户宏保存响应并设计变量向量和残余转换为用户指定的指针。(3)设计变量上的循环．(iv)用户宏分配保存的用户指针和进入FEAP程序指针。(v)用户宏扰乱设计变量，．(vi)为扰动设计构建残差。这由FEAP命令“FORM”实现(七)用户宏使用正向有限差分计算残差的灵敏度。此处调用用户指针中保存的剩余值。(八)用户宏计算响应的灵敏度，这是由于, (5）.(第九)转到步骤(iii)寻找另一个设计变量。

如果希望采用伴随灵敏度，则首先使用(6）.为此，我们构造了一个用户宏来计算响应的灵敏度性能．这种灵敏度可以作为输入文件或FEAP内存的相应指针中的虚构负载分配。这里使用的是后者。然后通过(1)形成切线刚度矩阵(“TANG”)计算伴随向量;(2)构造残差(“FORM”);(3)求解方程组(“SOLVE”)。现在执行的是直接敏感性算法，但上面的步骤(viii)被一个用户宏代替，该用户宏实现(7）.注意，每个新的设计都会计算一个新的伴随向量。

5.数值研究

研究了悬臂梁在不同荷载条件下的尺寸设计问题。两个问题有解析解，并作为优化框架的验证[19，20.]．然后，给出了一个拓扑设计问题。

根据梁截面沿轴线的变化，布置了尺寸优化问题。首先，限制面积均匀变化，保持一个恒定的长宽比;第二，设计波束深度，保持恒定宽度[2，第38页]。

5.1.均匀锥形梁

采用欧拉-伯努利梁单元来表示变形。变形向量由轴向，侧,每个节点的斜率。设计变量为梁单元的横截面面积。由于FEAP中的横截面积和转动惯量是由单独的变量定义的，因此在每次设计更新后，转动惯量都会重新计算。表格2提供均匀渐变梁的通用特性。

5.1.1。尖端偏转目标和尖端载荷

考虑悬臂梁承受静载荷的情况；参阅图2（a） .最小化尖端偏转和重量的目标问题公式如下： 受 在哪里为各梁单元的截面面积，和是区域设计变量的上限和下限，为梁自由端侧向挠度，是梁的体积，是轴向应力，还是下标指目标函数或约束的比例值。在初始等截面处计算了比例值。是否有一组限制施加在体积约束上，以产生效率曲线和是设置最大应力的一个因素。此处采用缩放以实现有效的优化搜索。由于这种缩放，报告的结果通常是无量纲的。

目标的敏感性由(4)，其中第一个显式项为零 因此，客观灵敏度仅由末端响应在横向方向上的导数组成。通过对一个或两个元素的解析推导来检验计算的灵敏度[2, 265页)。约束的灵敏度是显式计算的。

梁的初始等截面面积为米²并且允许在区间内改变 M²．(8 c)设置为3.0。将为梁中的十个图元指定十个设计变量。对于，优化搜索收敛为在8次迭代。只有体积约束是有效的;参见图3（a）．图中给出了排量和体积的效率曲线3（b）．在曲线的右端，位移被最小化，体积被限制为小于初始体积。在左端，位移被最小化，体积被限制为初始体积的30%。体积与初始设计相同位移降低了19%。此外，叶尖位移等于初始设计时，体积减少20%。

5.1.2中。合规目标和分布式负载

本文所考虑的悬臂梁受均布荷载;参见图2(b).目标是在不增加体积的情况下减少变形曲线下的总面积: 受 合规管理的目标被定义为 积分是通过近似来计算的三次埃尔米特形状函数，并对所有元素求和: 在哪里是每个元素的长度。目标对元素变形的敏感性是 对设计变量的敏感性通过求和(13)覆盖所有元素，然后应用(4).效率曲线从梁的均匀横截面积开始计算 M². 面积设计变量的下限和上限为0.001 M²到0.05²分别为。十个元素模拟变形，每个元素分配一个设计变量。体积约束在和 在里面增量为0.1；见图4．在相同重量下，梁的刚度提高了2.5倍(）.这是在[19，作者计算了．这种差异随着设计变量数量的增加而减小。

5.2。深度锥形束

所考虑的悬臂梁具有尖端弯矩、几何形状和尺寸，如图所示5（a）。此处倾向于使用美国惯用单位与分析结果进行直接比较。Haug和Kirmser[20.]推导了应力和尖端位移约束下最小体积的解析厚度设计。尖端位移目标保留为 受 为板厚设计变量，下限是，和为上限。利用板单元来模拟变形[21]．利用FEAP中的块命令生成板的网格;参见图5（b）．每个块对应一个不同的材料编号。在图5（b），共生成20个材料或设计变量。然后这些材料合并在一起形成完整的结构。在此过程中删除了重合节点。

叶尖挠度与厚度设计变量的灵敏度报告在图中6．灵敏度受固定端边界条件的影响;参见图6(一)在板单元中。为了提高灵敏度的准确性，每个设计变量需要使用更多的元素[22，23].灵敏度重新计算，每个设计变量包含更多元素；见图6 (b)。在固定端附近可以看到更平滑的灵敏度。或者，可以通过设置以恢复梁的刚度[24, 533页)。

载于[20.]的最大尖端位移为0.5英寸。(0.0127 m)，最大应力为30000 psi (207 MPa)，设计变量的下限和上限分别为0.3和0.5 in。,分别。该材料具有psi (69 GPa)．数值设计亦在[6通过利用改进的近似技术来减少优化迭代。最大体积设为最小解析体积(）.对比结果见表3.. 发现了良好的一致性。

5.3。悬臂结构拓扑

分析了广泛研究的MBB问题的拓扑设计[25]．梁的长高比为6，并在其中心进行简支和加载。由于对称，优化时考虑了梁的一半;参见图7. 优化问题是在规定的材料体积极限下，使结构的柔度最小化： 受 采用固体各向同性材料（SIMP）[26]。在这种方法中，设计变量对应于材料元素的体积密度。体积密度与感兴趣的力学性质有关。的弹性模量通常为合规目的而选择: 在哪里是材料的弹性模量，并且是避免奇异的最小刚度。或可设为二次材料的模量。是选择惩罚参数来产生密度的二元值(0或1)。柔度是根据

考虑到拓扑优化中存在大量的设计变量，伴随方法(7)用于计算合规目标的灵敏度。伴随向量由(6)通过设置．虽然有限差分步长用于计算剩余灵敏度必须根据网格尺寸和惩罚参数仔细选择，明确计算了体积约束的灵敏度。

采用二维方形块对设计域进行离散。每个块对应一个不同的材料或设计变量。用12个区块构造了一个设计域实例;参见图7．在平面应力假设下，计算了梁的位移。所考虑的光束参数为，，，及．

严格应用(16)与每个设计变量的4节点元素相结合，通常会导致棋盘格图案破坏设计。迪亚斯和西格蒙德[27表明，当存在这些模式时，所设计的结构具有虚假的更高刚度。图中展示了一个这样的例子8．

规避棋盘格的标准方法是使用高阶元素和过滤器[28]．在此基础上，利用有限元分析中的元素库解决了数值计算的困难。研究了8节点(Q8)和9节点(Q9)单元，为每个设计变量提供了额外的自由度;参见图9．

与线性4节点单元相比，这些单元提供了位移场的二次插值。每个设计变量的附加自由度的存在可以更好地估计位移场及其灵敏度，特别是SIMP方法的惩罚公式。为了得到高效的设计方案，对罚参数采用了延拓方法。计算了Q8和Q9单元的26 × 78个设计变量网格的拓扑结构;参见图10和11,分别。

高阶元素几乎可以从设计中消除棋盘。计算了具有精细设计变网格的拓扑结构;参见图12．目标是在大约20次迭代中达到最小值，剩余的迭代致力于去除中间密度。灵敏度过滤器的使用[26也消除了棋盘问题，并提供了独立于细化网格尺寸的设计;参见图13．中等密度现在转移到材料的边界附近，这可能给制造造成解释困难。

6.加热板的屈曲和颤振分析

在航空航天应用领域，许多研究人员都对面板颤振进行了研究。例如，参见斯坦福大学和伯伦大学[29及其参考文献。本文研究的加热板两端固定，上表面承受空气动力流动;参见图14．

上下表面从最初的无应力参考温度加热。加热导致热应力，可能导致屈曲和/或降低侧向空气动力负载的阻力。为了分析面板，必须考虑结构模型中的气动和热载荷。一旦这些发展，一个特征值分析的动力系统，以计算颤振和屈曲指标。

6.1.面板模型

运动方程是基于虚功原理，通过平衡带有弹性、惯性和结构耗散的外部功而导出的[24，第375页）。元素的工作平衡减少到 在这里，，及是单元质量、阻尼和刚度矩阵，为热应力产生的应力刚度矩阵[24，第642页]节点变形是轴向变形吗、侧,旋转的自由度。为气动流动引起的外部节点载荷。本文推导了欧拉-伯努利梁单元的空气动力载荷和应力刚度矩阵。

6.2.空气动力载荷

结构面板暴露在准定常超声速流动中。采用活塞理论对面板上表面的压力进行建模。压力是由Dowell给出的[30.]： 在哪里是流速，马赫数,为动压力，空气密度，和.通过有限元形状函数将表面压力分解为功等效节点荷载［24, 111页): 在这里由描述轴向位移的线性形状函数和描述横向挠度的厄米形状函数组成．标量的压力是由插入近似侧向变形到(19）.将气动载荷分解为弹性和阻尼元件， 压力通常以与横向变形相反的方向作用于面板。对于线性分析，可假定该方向为常数： 等效弹性节点荷载为 空气动力阻尼载荷变大 将气动力对变形求导可得到气动刚度和阻尼矩阵[31]： 使用MATLAB符号工具箱，计算空气动力矩阵： 此处向轴向自由度添加零点，以使矩阵的大小与单元刚度矩阵相匹配。

6.3。热负荷

热载荷的作用是通过发展轴向压应力来降低面板的整体刚度。这对屈曲和颤振约束有不利影响。板内的净压应力通过计算热应变板[24计算热应力的过程总结如下：（1）计算单元的一致节点热载荷；（2）组装热节点载荷和常规弹性刚度矩阵；（3）通过求解 在哪里整体刚度矩阵是和吗为热负荷矢量;(4)用热变形更新各单元的应力;(5)最后计算单元应力刚度矩阵。

在给定稳态热边界条件下计算热负荷[29]．然后应用一维傅里叶定律，计算面板内的温度分布: 在这里指在没有热应力的情况下，从参考温度上升的温度。通过对截面上的初始热应力进行积分，可以得到轴向热力[32]： 在哪里为热膨胀系数，热弯矩由弯曲应力在截面面积上的积分得到[33，第406页]： 通过将轴向载荷和弯曲载荷插入[24, 90页) 在哪里是应变位移矩阵，给出 热变形由以下公式计算：(27)以及具有节点的单元中的轴向热应力，则计算为 基于面内膜应力计算应力刚度矩阵[24, 642页):

6.4。运动方程

单元运动方程(18)可以用气动阻尼和刚度矩阵表示: 组装(35)，则面板的运动方程为 为方便稳定性分析，(36)以第一顺序书写: 在哪里和分别是总刚度矩阵和总阻尼矩阵。可以得到(37)通过假设一个指数解: 在哪里正确的特征向量是否与特征值相对应.该系统特征值问题的解决定了其稳定性特征[34，第248页）。必须选择特征值解算器来处理由于空气动力刚度矩阵。非对称特征值驱动器DGGEVX。这里使用F [35]．

对于未加热面板和零流量工况，(38)给出系统的自然模态，第一模态为 在哪里为面板的抗弯刚度。对于加热板和零流量工况，(38)导致临界屈曲温度．这个温度无量纲化为 对于一个热条件，第一次屈曲温度屈服．

6.5。颤振与屈曲结果

颤振的开始以Hopf分岔的出现为典型[36]随着流速参数的增加。将参数定义为[30.]： 在Hopf点，系统的一对复共轭特征值穿过虚轴导致一个不稳定的正阻尼。为了确定颤振边界，确定最不稳定模态的阻尼， 被跟踪以确定什么时候．

图中给出了一个颤振计算实例15．面板有质量比．采用五要素对结构进行分析，并施加气动载荷。没有考虑结构阻尼。对于未加热的面板和在时，特征值产生面板的固有频率。作为流量参数时，第一模和第二模的频率看起来更接近。附近，它们的频率合并成一个频率，此时第一模态的阻尼变为正。这个颤动点与报告(37]，因为作者将气动阻尼项降低模型折算为静态条理论[38]．

均匀温度下加热板的本征值追踪比，可以观察到面板弯曲，由于热应力的风。通过零屈曲频率和一阶模态的正阻尼来识别;参见图16.当空气动力载荷增加超过，如在[29，直到一个关键的到达时，面板因颤振而失去稳定性。

以类似的方式，可以在的范围内追踪颤振和屈曲边界; 见图17．每次加热负荷确定了颤振和屈曲点。中研究的边界[29]在这里计算。

利用寻根技术可以更快地识别颤振点。假位置法是一种根括号法，可以通过迭代来方便颤振点的定位[39, 129页) 在哪里和分别为流量参数的上、下值。该方法是基于在根的相对两侧定位一个函数的正负值。对于零结构阻尼，系统阻尼要么为正，要么为零。因此，为了使该方法工作，必须引入一个较小的结构阻尼。在本工作中，采用瑞利型结构阻尼: 常数在哪里和假设第一模态和第四模态的阻尼系数恒定为0.01% [40, 455页)。重新计算没有加热的面板的颤振点，给出了几乎相同的结果如上(0.3%的差异)。

7.结论

开发了一个结构优化框架，该框架将FEAP的有限元分析能力与基于梯度的优化搜索相结合。该框架结合了分析灵敏度以提供设计梯度。该优化算法通过使用用户mac直接与FEAP内存管理系统集成ros，提供优化搜索的高效执行。

利用该框架分析了四个测试问题，包括尺寸优化和拓扑优化。在尺寸设计变量方面，由于有限元的离散性质，该问题的解与解析设计相同，但有1-2%的差异。在拓扑优化中，发现8节点和9节点方元在设计中处理棋盘图案时具有较强的鲁棒性，而后者的优势稍小。最后，对加热板进行了屈曲和颤振分析，以证明将新物理引入结构分析的能力。

这个框架有许多优点。首先，该框架提供了方便访问FEAP程序的所有功能，其中包括各种元素的热和力学分析，以及与并行稀疏矩阵求解器接口的能力。其次，由于直接集成，结构模型可以扩展到大问题。第三，用户可以扩展FEAP中已有的工具，派生出自己的元素和宏来分析新的物理。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

承认

作者要感谢加利福尼亚大学伯克利教授Robert L. Taylor对使用FEAP的宝贵见解。

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