文摘
最大割问题是一个经典的图论问题,近年来已被广泛研究。最大的减少问题是一个更普遍的问题,那就是找到一个分为两部分的一个给定edge-colored图颜色的数量最大化边缘穿过分为两部分。在这项工作中,我们给了一些关于最大下界的削减edge-colored正确完整的彩虹图不含三角形或彩色4-cycles。
1。介绍
经典的分区的问题之一就是著名的最大割问题:给定一个图 ,找到一个分区 的边的数量最大化穿过和 。这是一个非常活跃的研究课题在组合学和计算机科学在过去的30年。对于一个图 ,让边的最大数量在减少 。为一个整数 ,让表示的最小值 ,作为范围内对所有的图表边缘。一个简单的概率参数或贪婪算法显示 。回答问题的鄂尔多斯,爱德华兹(1,21973年]证明了这一点 这是正确的就是明证完全图数为奇数的顶点。
在这项工作中,我们我们关注最大的削减edge-colored图:给出一个简单的图形 一个边缘着色 ,对于每个 , ,找到一个分区 的最大化的边缘颜色的数量和 。法等。3)提出了这个问题,研究了其复杂性。让 。这个问题转化成最大割问题 。
对于一个edge-colored图 ,我们使用生成子图的表示引起的边缘颜色 。我们使用来表示的颜色出现在 。为每一个 ,我们也使用表示颜色出现在 。对于任意两个不相交的子图和的 ,我们使用 表示颜色的集合出现在边缘之间和 。如果 ,然后我们写 而不是 。对于任意两个不相交的子集和的 ,我们使用 作为速记 ,在哪里表示的子图引起的 。我们说是正确的如果每一对相邻的边缘分配不同的颜色。我们说是单色的,如果 。和我们说如果所有的边缘是彩虹分配不同的颜色。让是一个完整的图形顶点。一道彩虹被称为彩虹三角形。为一个顶点 ,颜色的程度 ,用 ,是不同的颜色的数量出现在边缘事件 。
对于一个edge-colored图与颜色,让的最大数量的颜色 。让表示的最小值 ,作为范围内所有edge-colored图表颜色。区分最大割的图,我们首先需要禁止下列情况:接近 。如果 ,然后接近 。此外,让 是一个edge-colored完全图 颜色,子图是彩虹和剩下的边缘是单色。然后,它很容易验证 虽然 。在这些情况下,我们可以给最大的下界的削减的帮助下最大削减的结果图。为了避免这些情况,我们在本文中只讨论最大彩色削减edge-colored完整的图,其中包含没有彩虹三角形或适当的彩色4-cycles。
使用概率的方法,我们首先给出一个下界通过约束 。
定理1。让 是一个edge-colored图 。为每一个颜色 ,如果 ,然后 。
以下四个结果讨论的下界 ,作为彩虹是一种edge-colored完全图不含三角形,正确颜色的4-cycles或单色4-cycles。
定理2。让 是一个edge-colored完全图 。如果 不包含彩虹三角形或适当的彩色4-cycles,那么 。
定理3。让 是一个edge-colored完全图 。如果 不包含适当的彩色4-cycles 。
定理4。让 是一个edge-colored完全图 顶点, 颜色。如果 不包含彩虹三角形,然后是一个常数 ,这样 。
定理5。让
是一个edge-colored完全图
。如果
不包含彩虹三角形或单色4-cycles,那么
。
在本文的其余部分,给出一些有用的前题2的证明定理1 - 3节中给出3的证明定理4和定理5节中给出4。最后,我们列举一些开放的问题。
2。预赛
我们第一次国家有用的引理的结构包含没有正确颜色的4-cycle edge-colored完整的图形。
引理1(见马丁et al。4])。让 是一个包含不适当的彩色4-cycle edge-colored完成图。然后为每个颜色 , 包含一个控制顶点。
以下基本结果正确颜色的存在周期彩色图表证明中发挥着关键作用。
引理2(见格罗斯曼和Haggkvist [5和杨6])。让
是一个edge-colored图不含正确颜色的周期。然后
包含一个顶点
这样的组件
是加入了
边缘的不止一个颜色。
对于一个edge-colored图
,一个分区
的被称为Gallai分区如果
和
为
。
引理3(见Gallai [7])。让
是一个edge-colored
。如果
不包含彩虹三角形
有一个Gallai分区。
一个图表有顶点
,让的程度为
。序列
的序列称为学位
。下面的引理,证明了阿龙et al。8),给的下界一个稀疏图的度序列
。
引理4(见阿龙et al。8])。存在一个绝对的常数 这样,每一个常数 ,有一个常数 使用以下属性。让 有一个图表 顶点, 边缘和度序列 。假设在任何组诱导子图 顶点都有一个共同的邻居包含最多 边缘。然后,
3所示。证明的定理1 - 3
定理1的证明。让 是一个随机的分区通过将每个 成或 ,独立概率为1/2。为每一个颜色 ,让事件的随机变量指标,存在优势 彩色的这样 , 或 , 。回想一下, 。然后,有一个顶点 ,哪个事件至少边缘已经 。让 表示颜色的集合出现在边缘之间和 。然后, 线性的期望, 因此,存在一个分区 这样 。
定理2的证明。让彩虹是一种edge-colored完全图不含三角形或适当的彩色4-cycles。李等人[9]给出了观察,表明这个图不包含正确颜色的周期。为了完整性,我们回忆起的证据。矛盾,假设
是一个正确颜色的最小长度的循环吗
。不失一般性,假设
和
,然后
。否则,以来
或
将是一个正确颜色的周期短于
,一个矛盾。同样的,
。否则,以来
或
将是一个正确颜色的周期短于
,一个矛盾。假设
。回想一下,
不是一个正确的循环。因此,
或3。如果
,然后
将是一个正确颜色的周期,一个矛盾,所以呢
。同样,自
不是一个正确的循环。因此,
或3。如果
,然后
将是一个正确颜色的周期,所以呢
。因此,将是一个正确颜色的周期。
请注意,不包含正确颜色的周期。然后,通过引理2,有一个
这样
。请注意,不包含正确颜色的周期。有一个
这样
。继续这样做,我们获得一个顶点序列
的和一个图像序列
,这样
为
。
现在我们的地方成和地点成
。因此,
。然后,我们的地方成和地点成
,因此,
和
。其余顶点可以放置。然后,我们有
为
。请注意,
。因此,我们可以获得一个分区
这样每个边缘颜色落入
。
定理3的证明。让是一个包含不适当的彩色4-cycle edge-colored完成图。我们得到的结果很容易 。因此,我们假设 。如果为每个颜色 , ,然后通过定理1,我们有 。做完了。现在,我们假设存在一个颜色 这样是一个匹配。由引理1,包含一个控制顶点。所以是一个优势。假设 。如果 ,然后我们完成。所以我们假设 ,这意味着有一个边缘在吗 ,说 ,彩色的和 。因此,将是一个正确的彩色4-cycle,矛盾。
4所示。证明的定理4和5
定理4的证据。让是一个edge-colored不含彩虹三角形。由引理3,有一个Gallai分区 。不失一般性,假设 。让的子图引起的 。然后,有一个Gallai分区 。继续这个过程,不失一般性,我们可以得到一个那 和 。让 。Gallai分区的定义,我们有 。让 。然后,存在一个顶点 ,这样 。让 。同样,存在一个顶点 ,这样 。继续这个过程,为每一个 ,存在 这样 。我们得到一个顶点序列 。现在我们构造一个彩虹子图的这样 。让 是一个图得到通过保持一个任意边缘从每个颜色。然后,我们有 。请注意, 不包含三角形。让 是一个序列的程度 。让表示数量的邻居的与 。请注意, 。然后, 由引理4,我们完成证明。
证明定理5。让彩虹是一种edge-colored完全图不含三角形和单色4-cycle。我们声称有最多1颜色 ,这样 。否则,让 ,这样 和 。让 是彩色的 ,,让 是彩色的 。很明显,和不是事故,是吗不包含彩虹三角形,这意味着 。因此,将是一个单色4-cycle,矛盾。所以,最多有1色边缘颜色和颜色匹配。让的子图通过删除匹配。由定理1,我们有 。
5。开放的问题
自然在本节中,我们提出了以下两个问题最大的削减edge-colored完整的图形。
问题1。什么是最小的 这样每个edge-colored完全图 与 彩虹的颜色不含三角形承认一个分区 令人满意的 吗?
问题2。什么是最小的 这样每个edge-colored完全图 与 正常颜色不含彩色4-cycles承认一个分区 令人满意的 吗?
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是支持的科研项目由陕西省教育部门(项目号21 jk0994),陕西自然科学基础研究项目(项目2022号金桥- 026),和YDBK 2019 - 71。