文摘

解决参数组合的一个基本区域不仅与应用程序组合还有其他科学的许多分支。在这项研究中,我们构造一个类的托普利兹图和用所以凯莱图。首先,我们回顾一些这类的特性图。事实上,这类图是顶点传递,并通过计算与他们相关的邻接矩阵的谱,我们表明,这类图形不能传递。此外,我们表明,这类图形不能距离正则,因为困难的一类图的计算解决参数不定期的距离,我们认为这个理由关注一些解决参数。特别是,我们确定最小解决集,双重解决集,并有强烈的这类度量尺寸图。

1。介绍

摘要图很简单,无向和连接。图的自同构是一个排列的顶点组的财产,对于任何顶点和 ,我们有是相邻的在当且仅当是相邻的在 。所有图的同构 ,排列组成的操作,是一个置换群对称群的一个子群 。这是自同构群 ,用 。假设和是两个图表。如果有一个双射 ,从来这是相邻的在当且仅当是相邻的在 ,然后我们说是同构的 。如果我们考虑一个图作为一个网络,那么网络的稳定性是非常重要的,特别是,如果图是顶点传递,徒轨迹上 ,然后研究网络的成本会很低,因此,网络将会更加稳定。考虑一个有限群 ,假设是的一个子集所以它是采取逆下封闭和不包含身份;然后,凯莱图 有顶点组和边集 。因此,凯莱图的研究是非常有用,因为每个凯莱图是顶点传递(1]。每一对之间的距离 的顶点之间的测地线的长度是和 ,用 或者简单地 。一个顶点 据说解决一对 如果 。解决参数组合的一个基本区域不仅与应用程序组合还有其他科学的许多分支。安排的子集 在连通图的顶点 ,一个顶点的度规表示在是 - - - - - -向量 相对于 。此外,子集被认为是解决集如果任何一对顶点杰出的一些顶点吗 。一套解决最少的顶点称为指标依据和解决的基数组被称为公制尺寸用 。一个图的度量维度是最少的顶点在一组属性,距离任何顶点的列表的惟一地标识集顶点。度量维度在代数图论的概念可以追溯到1970年代。这是定义由Harary独立和熔炼工2)和斯莱特(3]。近年来,大量文献发展(4]。这一概念有不同的应用领域的网络发现和验证(5]。更多细节,请参阅[6- - - - - -9]。一个(n * n)矩阵 被称为托普利兹矩阵如果 为每一个 ,参见[10]。事实上,托普利兹矩阵是一个方阵,在每个条目对角线平行于主对角线相等,因此,托普利兹矩阵是由其第一行和列。一个简单的无向图与顶点集 和它的邻接矩阵 被称为托普利兹图如果是托普利兹矩阵。在本文中,我们考虑一类托普利兹图会用凯莱图如下。

让是一个固定的整数大于或等于 ;同时,让 和 相应的设置,这样 。因此,我们说 如果 。现在,让 和 是集的子集 ,,让 两组的是联盟的细化和这 。我们可以看到,一个图表顶点,顶点标签的集合 和边集: 这是托普利兹图 。托普利兹的结果图,看到11,12]。图1图显示了托普利兹 。

特别是,我们可以验证托普利兹图这是定义已经同构凯莱图吗 ,在哪里 是双面的 ,和 是一个逆封闭的子集 。因此,托普利兹图是一个顶点传递。同时,为了方便,我们可以使用符号在凯莱图 ,相反的符号托普利兹图 。一些指标计算距离正则图的一个类(13,14]。相反,因为困难的一类图的计算解决参数不距离固定,我们认为这个理由关注一些解决参数在凯莱图 。本研究的重要成果提出了部分3.1和3.2。节3.1首先,我们将确定凯莱图的自同构群 ;此外,我们将展示,凯莱图 不能定期的距离。特别是,我们将证明凯莱图 不能边传递。此外,在节3.2,我们将计算一些解决这类凯莱图的参数。

2。定义和预赛

定义1(见[15])。一个图表是边传递如果其自同构群的行为轨迹。

定义2(见[15])。一个图表 1-transitive或对称如果其自同构群的行为轨迹的路径的长度是1或1-arcs。

命题1(见[15])。让 是一个对称的化合价的图 ,让 是一个简单的特征值 ;然后, 。

定义3(见[16])。假设 是一个正则图的价吗 对于任意两个顶点 和 在 ;如果 ,那么我们就有 , 。然后,我们说 是一个距离正则图。

命题2(见[16])。如果 是一个距离正则图的直径 ,然后 正好有 不同的特征值。

定义4(见[17])。假设 图的顺序至少2;顶点 据说双重解决顶点 如果 。一组 的顶点 是一套双解决 如果每两个截然不同的顶点 双重解决两个顶点的吗 。一套双解决与最低基数称为最小双重解决集。这是用最低基数 。

定义5(见[18])。让 是一个图。一个顶点 的 强烈的解决两个顶点 和 的 如果 属于一个最短的 路径或 属于一个最短的 路径。一组 的顶点 是一套强有力的解决 如果每两个截然不同的顶点 强烈解决一些顶点的 。图的强度量维度 最小的基数是强有力的解决的吗 和用 。

3所示。主要结果

3.1。凯莱图的一些特性

在本节中,我们审查的一些特性凯莱图 。众所周知,频谱图的邻接矩阵的谱相关,也就是说,它的特征值连同他们的多样性。如果一个图的邻接矩阵的所有特征值是整数,在这种情况下,相关的图称为积分图,看到19]。正如我们将要看到的,理论的积分图连接图论的一些地区,边传递性,对称图。在接下来的定理,我们得到凯莱图的自同构群 花环产品在图论中的应用;花环产品的更多细节,请参阅[20.]。

命题3。让 甚至是一个整数大于或等于 , 在二面角凯莱图组 ,在那里 定义了。如果 ,然后 ,在那里 和

证明。我们可以看到的补充 ,用 ,同构的不相交的联盟吗鸡尾酒会图的副本 ,我们可以证明 是同构的 ,在哪里循环群的顺序吗和 ,看到命题3.2的21]。因此,由上面的讨论和给出的定理22),我们有 。特别是,我们有 因为一个简单的无向图及其补充有相同的自同构群。

命题4。让 甚至是一个整数大于或等于 , 在二面角凯莱图组 ,在那里 已经定义的;然后, 不能距离正则图。

证明。不难发现的直径是和不是偶图,因为 。现在,通过类似的方式,在命题的证明11 [23),我们可以表明的邻接矩阵谱是 ,标给多样性的特征值大于1的多重性。因此,正好有四个不同的特征值。此外,基于命题2,我们知道如果是一个距离正则图的直径 ,然后正好有 不同的特征值。因此,不能距离正则图。

命题5。让 甚至是一个整数大于或等于 和 在二面角凯莱图组 ,在那里 已经定义的;然后, 不能边传递图。

证明。的矛盾,假设是一个边缘传递图。众所周知,一个连通图,边传递和顶点传递不需要1-transitive。特别是,在p。59岁的7.5324),Tutte证明,如果一个连通图,常规的奇怪的化合价,顶点和边传递,那么1-transitive。因此,如果是一个边缘传递图,那么它必须吗是一个1-transitive图,因为它是顶点传递奇怪的价吗 。相反,基于命题1,如果是一个简单的特征值1-transitive图吗 ,然后 ,并非如此,看到命题吗4。这一矛盾表明,不能边传递图。

3.2。公制尺寸、最小双重解决集和强有力的解决凯莱图

定理1。如果 甚至是一个整数大于或等于多少 和 凯莱图在二面角组 ,在那里 已定义,那么的度量维度 是 。

证明。让 ,在哪里 和 。每一对截然不同的顶点 ,最短路径的长度来是 或因为的直径是 。特别是,如果是一个安排的子集或在图这样 ,然后我们可以证明不是一套解决的 。让 是一个排列图的顶点子集这样是的一个子集 , 是的一个子集 ,和 。在下列情况下,我们可以得出结论,公制尺寸是 。案例1:如果 ,然后我们可以假设 。因此,有一双不同的顶点 ,这样 ,和一个最短路径来是 。因此,顶点的度规表示 是一样的 - - - - - -向量,相对于 。因此,不是一套解决的 。例2:如果 有顶点 ,这样是相邻的在 ,还有顶点 这样是相邻的在 。因此,顶点的度规表示 是一样的 - - - - - -向量,相对于 。因此,不是一套解决的 。案例3:现在,我们 ,假设所有的顶点 在 ,我们有不相邻的在 ,也就是说, 。另外,所有的顶点 在 ,我们有不相邻的在 ,也就是说, 。我们可以假设 和 。因此,我们可以假设一个子集图的顶点是 。因此, ,为 。因此,顶点的度规表示 相对于是 - - - - - -向量: 和 , ,。. ., 。因此,所有的顶点有不同的表示相对于 。这意味着是一套解决的 。

定理2。如果 甚至是一个整数大于或等于多少 和 凯莱图在二面角组 ,在那里 已经被定义,那么最低的基数双重解决的吗 是 。

证明。通过前面的定理,我们知道安排子集 顶点的图是一套解决 。我们表明,该子集是一套双解决 。这足以表明,两个顶点和在图 ,有顶点 这样 。考虑两个顶点和的 。通过下列情形,我们可以得出结论,一套双解决的最低基数是 。案例1:考虑一双独特的顶点 这样 。然后,最短路径的长度来是 或 。让是两个顶点这样一个最短路径来在图是 。我们可以假设 和 。因此,通过 和 ,我们有 。因此,顶点和的双重解决 。现在,让 是两个顶点这样一个最短路径来在图是 。我们可以假设 和 。因此,通过 和 ,我们有 因此,顶点和的双重解决 。案例2:考虑一双独特的顶点 这样 和 。然后,最短路径的长度来是 或 。假设一对不同的顶点 和 在相邻的图 ,也就是说, 。我们可以假设 和 。因此,通过 和 ,我们有 。因此,顶点和的双重解决 。现在,假设两个截然不同的顶点 和 不相邻的图吗 ,也就是说, 。我们可以假设 和 。因此,通过 和 ,我们有 。因此,顶点和的双重解决 。案例3:考虑一双独特的顶点 这样 和 。然后,最短路径的长度来是 或 。我们可以表明该子集图的顶点是一套双解决 。因为通过定理1,我们可以得出结论也是一套解决的吗

引理1。如果 甚至是一个整数大于或等于多少 和 凯莱图在二面角组 ,在那里 已经定义,那么子集 图的顶点 不是一套强有力的解决 。

证明。我们知道安排子集 图的顶点是一套解决的大小 。现在,让 ,在哪里 , ,和 ,在哪里 是的一个子集和 是的一个子集 。考虑两个顶点 在这样 和不相邻的在 ,也就是说, 。在下列情况下,我们表明,没有 这样强烈的决心顶点和 。对于每一个顶点 ,我们有 或 。案例1:如果 ,最短路径的长度来是 或和最短路径的长度来是 或 。注意,如果 ,然后 。因此,不是强解决顶点和 。特别是,如果 ,然后 或 ,因此,不是强解决顶点和因为 。例2:如果 ,最短路径的长度来是 和最短路径的长度来是 。因此,不是强解决顶点和 。

定理3。如果 甚至是一个整数大于或等于多少 和 凯莱图在二面角组 ,在那里 已经被定义,那么的强度量维度 是 。

证明。让 ,在哪里 和 。不难看到,如果 ,然后最大的派系图的大小是 。此外,我们知道子集 的顶点是一个小团体的图吗 。现在,我们的子集的顶点是 。在下列情况下,我们表明,该子集的顶点不是一套强有力的解决 。例1:让 和 。我们知道 和 ,因此,对于每一个 这样 ,我们有 和 。因此,不是强解决顶点和 。案例2:现在,我们 和 。我们知道 和 ,因此,对于每一个 这样 ,我们有 和 。因此,不是强解决顶点和 。因此,子集顶点的图不是一套强有力的解决 。从上面的案例中,我们可以得出结论,最低基数的一套强有力的解决必须 。

4所示。结论

计算解决图的参数是一个np难问题。在这项研究中,我们考虑一类托普利兹图表,我们用所以他们是凯莱图同构 ,定义了。事实上,这类图是顶点传递,并通过计算与他们相关的邻接矩阵的谱,我们表明,这类图形不能传递。同时,我们证明了这类图不能距离正则,因为困难的一类图的计算解决参数不定期的距离,我们认为这个理由关注一些解决参数。特别是,我们确定了最小的解决,双重解决集,并有强烈的这类度量维度的图表。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作的部分支持由安徽省自然科学基金,教育部,格兰特KJ2020A0478之下。