文摘

对于一个图 ,一般sum-connectivity通常是用和被定义为数字的总和在所有的边缘的 ,在哪里 代表顶点的度 ,分别为,是一个实数。本文地址找到图拥有最小的问题价值在所有树的类与一个固定的顺序和固定数量的悬而未决的顶点为 。这个问题已经解决了时的情况 和 ,派生出来的一个下界树木的订单和数量的悬而未决的顶点。

1。介绍

在这项研究中我们只讨论简单的连接图。对于一个图 ,它的边缘和顶点集合表示和 ,分别。让表示程度的一个顶点 。当没有考虑图像的不确定性,我们写而不是 。那些(化学)图形理论概念和符号使用这里描述在本文中但不可能中找到相关的书籍,如(1- - - - - -4]。

对于一个图 ,一般sum-connectivity指数 ,在[设计5),被定义为, 在哪里是一个实数。的特殊情况和的产量第一萨格勒布指数(例如,看到6])和sum-connectivity指数(7]。

一个悬而未决的顶点在一个图的顶点度1。在这篇文章中,我们关心的是以下问题关于一般sum-connectivity指数。

问题1。找到图的最大和最小的一般sum-connectivity指数 在所有树的一个固定的顺序和数量未定的顶点。
崔和中8]研究了最大的一部分问题1为 。最小的一部分问题1为 解决了在9]。环节和Tomescu10]报道的最大问题的解决方案1当 ;最小的是解决(11] 。附加信息已知的数学方面的一般sum-connectivity指数可以发现,例如,在[12- - - - - -16],在[17)(几个一般的结果给特殊情况一般sum-connectivity指数),并在相关引用给定。
在本文中,一个下界树的顺序的数量和悬而未决的顶点推导出的 和 。获得的结果绑定,最小问题的一部分1解决当 和 。

2。主要结果

证明的主要结果之前,我们给出一些定义和符号在本节的其余部分中使用。明星和路径图顶点表示和 ,分别。一个分支顶点的图是顶点的度大于2。对于一个图和一个顶点 ,表示由所有的顶点的集合相邻的 。的元素集被称为的邻居吗 。一个悬而未决的路径的图是一个非平凡的路径这样的一个顶点 是下垂的,另一个是分支,每个(如果 )度2。

转换1。让是一个包含至少两个分支树的顶点。让是一个悬而未决的道路这样 ,在哪里 和 。选择一个顶点 躺在之间的独特路径另一个分支的顶点 。假设是由插入两条边 , ,和两条边 , 。树木和描绘在图1。

引理1。如果 和 然后,转换1中指定的树吗 为 。

证明。自 和 ,通过使用的定义 ,一个人 为 。
一个内部路径的图是一个非平凡的路径这样的顶点 分支,每一个吗(如果 )度2。表示由 所有树的类组成与订单 ,悬而未决的顶点 ,和最大程度3,这样每一个悬而未决的(内部)的道路分别为长度为1(至少两个)。如果 之后简单的计算,一个。

定理1。让 是一个树 顶点,其中 悬而未决的顶点。然后 平等的标志在不等式成立当且仅当吗 。

证明。为 ,结果是直接验证。接下来,假设 。注意,这个函数定义为 ,是严格增加 和 因为 。因此,对于 我们有 因此 为 和 。接下来,我们假设 与 我们通过使用数学归纳法证明结果 。如果 ,然后 和 为 。接下来,假设 这个定理适用于 ,在哪里 和 。

案例1。这棵树不包含任何悬而未决的路径的长度大于1。
在这种情况下,我们考虑的几个子用例。

子用例1。这棵树包含至少一个悬而未决的顶点的邻居度大于3。
让 是一个顶点的度有悬而未决的邻居 和non-pendent邻居 ,在哪里 和 。自 ,一个人 。记住了不平等 , , ,和归纳假设,我们有。

子用例2。每一个悬而未决的顶点相邻的顶点度3和至少有一个顶点的度3只有一个悬而未决的邻居。
让是一个顶点的度3和是一个悬而未决的邻居的 。假设和的non-pendent邻居吗 。利用归纳假设,我们得到, 在哪里 当且仅当 和 ;例如,当且仅当 。

子用例3。每一个悬而未决的顶点相邻的顶点度3和至少有一个顶点的度3有一个分支的邻居和两个下垂的邻居。
让是一个顶点的度3和 是它的两个下垂的邻居。假设non-pendent的邻居吗 。利用归纳假设,我们得到的

子用例4。每一个悬而未决的顶点相邻的顶点度3,它有一个邻居学位2和两个下垂的邻居。
如果最大程度3如果吗不包含一对相邻顶点的度3, 我们得到 。
现在,假设最大程度上3吗 这样 。让 是一个顶点的度3有两个下垂的顶点和顶点度2。取 。让树形成的通过删除边缘 , , ,并添加边缘 , , 。然后,是一个树,顶点,悬而未决的顶点。同时,注意树木和有相同的序列。以来的最大程度是3,它认为吗 或3。另一方面,我们有 注意,如果 然后 和树包含一个顶点(即 )度3有两个下垂的程度的邻居和邻居3,因此从子用例3由此可见, 。
如果 然后 。如果 然后我们完成。如果包含至少一个一对相邻分支顶点我们重复上述过程,直到获得期望的结果。
还有待证明期望的结果在考虑的情况下(即子用例4当最大程度的大于3。让 是一个顶点的最大程度 ,在哪里 。取 ,让 是一个顶点的度3有两个下垂的程度2的邻居和邻居。让是一个悬而未决的邻居的 。不失一般性,我们假设位于独特 - - - - - - 路径。让是树推导通过删除边和插入的边缘 。观察到这棵树有顶点其中是下垂的。因此,通过使用不平等 , , (因为考虑的情况下),归纳假设, 为 。

例2。 包含至少一个悬而未决的路径的长度大于1。
首先,我们假设只包含一个分支顶点。同时假定,至少包含两个下垂的路径的长度至少2。让和是两个下垂的路径,在哪里 分支点和 悬而未决的顶点。让被删除的边缘形成的树并添加边缘 。自 和 ,我们有 因此,从上面的讨论,我们得出结论,如果只包含一个分支顶点 在哪里树由附加吗悬而未决的顶点的一个悬而未决的路径图的顶点 。为 ,通过直接计算验证,不平等 适用于 同时,为 和 ,一个人 这个不等式的右手边是积极的因为 因此, 接下来,我们假设包含至少两个分支点。通过转换1和引理1存在一个树的订单与悬而未决的顶点,不包含任何悬而未决的长度大于1和道路 。然而,通过案例1,它认为, 。因此, 。这就完成了证明。
观察到的类 是空时 和 。因此,接下来的结果立即遵循定理1。

推论1。为 和 ,在所有树木与秩序 的数量和悬而未决的顶点 ,元素 类的 独特的最小化sum-connectivity指数 。

3所示。结束语

对于一个图 ,一般普拉特指数(18)被定义为 在哪里是一个实数。图不变被称为新配方第一萨格勒布指数吗(19]。因为之间的相似度的定义和 ,获得一个定理2(相应的定理1)和推论1(相应的推论2)。

定理2。让 是一个树 顶点,其中 悬而未决的顶点。然后 平等的标志在不等式成立当且仅当吗 。

推论2。为 和 ,在所有树木与秩序 的数量和悬而未决的顶点 ,元素 类的 独特的最小化普拉特指数 。

数据可用性

本研究的数据可能会要求作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究没有任何源由。