文摘
连通图中没有边缘位于超过一个周期被称为仙人掌图(也称为Husimi树)。债券事件程度(投标)指数图被定义为 ,在哪里表示程度的一个顶点的 , 边的吗 ,和是一个实值对称函数。这项研究涉及到极值结果仙人掌图关于以下类型的投标指数: ,在哪里 , 是一个严格凸函数,是一个严格凹函数。更准确地说,图达到最小值和最大值值是研究所有仙人掌的类图与给定顶点数和周期。结果覆盖几个著名的指标包括一般零级Randić指数,乘法第一和第二萨格勒布指标,和变量和exdeg指数。
1。介绍
本研究中的所有图表考虑连接。本研究中使用的符号和术语,但这里没有定义中可以找到一些标准图形理论书籍(6,7]。
图的不变量的形式被称为债券事件程度(投标)指数5]: 在哪里表示程度的一个顶点 图的 , 边的吗 ,和是一个实值对称函数。在这项研究中,我们关心的是以下类型2)投标指数: 在哪里 , 是一个严格凸函数,是一个严格凹函数。
连通图中没有边缘位于超过一个周期被称为仙人掌图(也称为Husimi树(9])。在目前的研究中,我们研究了图形达到最小值和最大值值的类仙人掌图与给定顶点数和周期。我们的主要结果包括一般零级Randić指数(3),变量和exdeg指数(13),乘法第一萨格勒布指数(8),乘法第二萨格勒布指数(1,8,10),和lordeg指数(12,14图),上述指标定义如下:
图中每个顶点度小于5称为化学图。
虽然我们不能用我们的主要结果兰州指数(15)寻找极值图类的仙人掌图,我们仍然能够利用我们的一个主要结果寻找图的最小兰州指数在所有化学仙人掌图,在兰州指数图被定义为
我们结束这部分的评论兰州指数相同(11图不变) 。
2。主要结果
由一个 - - - - - -顶点图,我们指的是一个图表的顺序 。在图中,一组两两不相邻的边缘被称为匹配。匹配的元素被称为独立的边缘。
定理1。增加形成的图形 - - - - - -独立的边缘- - - - - -顶点的星(图1唯一达到最大值和最小在课堂上的价值 - - - - - -顶点仙人掌图有周期,和是固定的整数满足不平等吗 , ,和 。
证明。我们证明图的结果不变 。结果对于其他不变可以被证明是完全类似的方式。让是一个图有最大值值在给定的类图。这就足以证明已经最大程度 。相反,我们认为,最大程度的最多是 。让 是一个顶点的最大程度。然后,至少存在一个邻居,说的这至少有一个邻居不相邻吗 。让 是那些邻居的不相邻 。如果添加边缘形成的图吗 在和删除的边缘 从(图2),然后我们有 注意,仙人掌图和具有相同数量的周期以及秩序。通过使用拉格朗日均值定理,我们得出结论,存在实数和 ,这样 这样的事实 意味着 ,这进一步表明方程的右边(6)是负的,因为是一个严格凸函数。因此,一个人 ,一个矛盾的极大性 。
推论1。在课堂上- - - - - -顶点仙人掌图有周期,增加形成的图形独立的边缘 - - - - - -顶点的星唯一达到最大值一般零级Randić指数为 或 ,最大的变量和exdeg指数为 ,最大的乘法第二萨格勒布指数 ,最大金额lordeg指数 ,最低一般零级Randić指数为 ,和最小乘法第一萨格勒布指数 ,在哪里和是固定的整数满足不平等吗 , ,和 。
证明。我们观察到一个图表达到它的最大值或最小价值在一个类图当且仅当达到它的最大值或最小值,分别考虑类图。我们定义
与
和
;
与
和
或
;
与
;
与
;
与
;和
与
和
。它可以很容易地验证
,
是严格凸,为每一个
,
是严格凹的。因此,从定理所需的结论1。
图的顺序和大小被称为一个
- - - - - -图。
引理2(见[4])。如果达到最低值或最大值价值在所有连接 - - - - - -图和 ,然后的最低程度至少是2,在哪里和是固定的整数满足条件 , ,和 。
接下来的结果是一个引理的直接后果2。
推论3。如果是图达到最低值或最大值在课堂上的价值- - - - - -顶点仙人掌图有周期,最低程度的2,和是固定的整数满足不平等吗 , ,和 。
表示由邻居的一个顶点的集合 的图 。
定理2。如果是图达到最低值或最大值在课堂上的价值 - - - - - -顶点仙人掌图有周期和 ,然后的最低程度2, 在哪里和是固定的整数满足不平等吗 , ,和 。
证明。我们证明图的结果不变
。结果对于其他不变可以被证明是完全类似的方式。让是一个图的最小值在给定的类图。
从推论3,它遵循的最低程度是2。接下来,我们证明
首先,假设是一个一些周期的
。相反的假设
。让
,在哪里表示的顶点集的周期
。为
,表示由组件图的包含顶点
。这是宣称不超过两个顶点躺在同样的组件图
;如果
,
,和躺在同样的组件图
,然后顶点
,
,
,和躺在一个循环的每条边属于超过一个周期的
,这矛盾的定义
。
案例1。存在至少一个
,这样的组件包含一个独特的顶点
。
不失一般性,假设组件包含所有
。我们注意到存在至少一个组件与
,这样包含至少一个顶点
令人满意的
。当然,这两个图表和
具有相同数量的周期和顶点。另一方面,我们有
通过使用拉格朗日均值定理,我们得出结论,存在实数和
,这样
假设
意味着
,这进一步表明方程的右边(2)是积极的因为是一个严格凸函数。因此,一个人
,一个矛盾的最小化
。
例2。为每一个
,完全两个顶点的集合躺在组件
。
不失一般性,假设
。很明显,
为每一个
,和存在至少一个组件与
,这样包含至少一个顶点
令人满意的
。很明显,这两个图和
具有相同数量的周期和顶点。另一方面,我们有
通过使用拉格朗日均值定理,我们得出结论,存在实数和
,这样
我们注意到,目前情况下,的程度这意味着,至少6吗
,这进一步表明右边(12)是积极的因为是一个严格凸函数。因此,一个人
,一个矛盾的最小化
。
因此,
当位于一些周期
。
还是证明
当不属于任何周期吗
。相反的假设
这不属于任何周期吗
。像之前一样,我们
,和
,我们表示组件图的包含顶点
。我们观察到
每当
;如果组件和一些是相同的吗
,那么路径来在一起的路径产生一个周期包含
,这是一个矛盾。我们注意到存在至少一个组件与
,这样包含至少一个顶点
令人满意的
。很明显,这两个图和
具有相同数量的周期和顶点。另一方面,我们有
通过使用拉格朗日均值定理,我们得出结论,存在实数和
,这样
假设
意味着
,这进一步表明方程的右边(4)是积极的因为是一个严格凸函数。因此,一个人
,一个矛盾的最小化
。因此,
当不属于任何周期吗
。
推论4。如果是通用零级图达到最低Randić指数吗为 或 ,最小变量和exdeg指数为 ,最小乘法第二萨格勒布指数 ,最低金额lordeg指数 ,最大的通用零级Randić指数为 ,和最大乘法第一萨格勒布指数 ,在课堂上- - - - - -顶点仙人掌图有周期和 ,然后的最低程度2, 在哪里和是固定的整数满足不平等吗 , ,和 。
证明。我们观察到一个图表达到最小值或最大值价值在一个类图当且仅当达到最小值或最大值值,分别考虑类图。我们定义
与
和
;
与
和
或
;
与
;
与
;
与
;和
与
和
。它可以很容易地验证
,
是严格凸,为每一个吗
,
是严格凹的。因此,从定理所需的结论2。
我们观察到的函数
是严格凸
。因此,我们下一个推论关于兰州指数。
推论5。如果是一个图形达到最低兰州指数类的吗 - - - - - -顶点化学仙人掌图周期和 ,然后的最低程度2, 在哪里和是固定的整数满足不平等吗 , ,和 。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究是由大学科研院长职哈有,沙特阿拉伯,通过项目号码RG-20 031。