文摘

第一个一般萨格勒布指数或零级通用Randić指数图G被定义为 在哪里是任何非零实数,顶点的度和 给出了古典第一萨格勒布指数。研究人员调查了一些尖锐的上界和下界零级一般Randić指数 )在连接方面,最低程度,和独立的号码。在本文中,我们把锋利的第一通用萨格勒布指数上界的独立数,最小程度,和连接 。此外,极值图也达到上界的调查。

1。介绍

让是一个连接,简单和有限图顶点集和边集 。元素的总数图的顺序,与顶点和边的数量联系吗据说是学位的顶点 。一个顶点如果它有零度是孤立的。不相邻的顶点和 ,一个 - - - - - -顶点的一个子集 在哪里和来自不同组件的和最小基数的顶点集分开和是最小的顶点。一个子集 不相邻的顶点称为一个独立集和最大基数设置在所有独立的组是独立的数字。一组 被称为集团如果所有的顶点是相邻的。如果一组最小的顶点存在于一个连通图的缺失使其断开呢据说是顶点连接或简单的连接吗 。

的一个子集 , 是一种诱导子图的顶点的和边的两端 。一个图表是由两部分构成的 这样 , ,和每条边连接的顶点一个顶点 。两偶图中每个顶点的是与每个顶点的的边缘被称为一个完整的两偶图。让和是两个顶点之间的关系图;然后, 是一个图的顶点集 和边集 。

分子拓扑指数是一个数字对应于分子的分子结构。这个数字有助于预测分子的化学或物理性质。由于强大的应用在化学和制药、数百名mba介绍了拓扑指数。

的第一个萨格勒布指数图 , ,被定义为(2]

这个旧的和有用的拓扑指数在获得帮助的属性结构的分子,如分支ZE-isomerism,复杂性,heterosystems, - - - - - -电子的能量,和更多3,4]。第一个通用萨格勒布指数的概念引入的李娜和郑洁在[5),它被定义为

在哪里是任何非零实数。第一个一般萨格勒布指数已抓住了许多化学家和数学家的注意。刘先生和刘讨论的一些性质在[6)与不同的操作等图形边缘移动,分离边缘,边缘切换。在[7),作者提出了一些涉及不同的图形参数的不平等。在[8),作者第一通用萨格勒布广义指数计算 - - - - - -总结图表。我们提到的读者1,9- - - - - -14)对这种拓扑指数进行进一步的研究。

首先,我们提出一个辅助引理的一个直接后果的定义第一个通用萨格勒布指数(15]。

引理1。让x和y是两个不相邻的顶点G;然后,对于 ,我们有

2。图与给定的连接和最低程度

在本节中,我们提供一个上限第一通用萨格勒布索引的顺序,顶点连接,和最低程度。让 所有图表的集合顶点,顶点连接,最低程度, 和 。

定理2。让 和 ,和 ,我们有 和,等号成立当且仅当 。

证明。为 ,我们有 ;换句话说, 。假设 ,让的图 先用最大萨格勒布指数 。让 顶点的基数 。我们会证明我们的结果通过证明以下要求。
要求我。由两个组件。

证明。相反,假设至少包含三个组件。和是两个组成部分 ;然后,会有 和 这样 的假设是什么由于引理1。这就完成了声称我的证据。
现在,假设 和 。很明显, 和 在哪里 。
二世。 和 派系。

证明。相反,假设 不是一个小团体。然后,我们有两种情况。

案例1。有不相邻顶点 这样 ,这矛盾的假设由于引理1,我们有 。

例2。否则,加入不相邻的顶点将增加的最低程度的 。然后,从主张三世的证明,我们有 这又与最大第一通用萨格勒布指数因为吗 。这就完成了索赔证据。
从索赔二世 和 ,我们假设 。
让 ;然后, 为 。这意味着是一个递减函数。
三世。我们有 或 。

证明。相反,假设 ;然后,我们有 。过去的不平等是由于这一事实是一个递减函数 和 。这意味着 如果 。这就完成了主张三世的证据。
从索赔I, II, III,我们推断出 ,这证明了定理。

3所示。由两部分构成的图形与给定的连接

让 表示一组由两部分构成的图和顶点连接 。现在我们介绍一个图得到的图通过加入一个新的顶点来顶点的度的 。

定理3。让 和 。然后,为 , 而且,等号成立当且仅当 或 ,在那里

证明。请注意, ,所以我们考虑 。让 首先最大的图一般萨格勒布指数有 - - - - - -顶点割集 。让 这样 。此外,我们有 和 。所需的结果是得到证明以下索赔。
要求我。和 完成由两部分构成的图表,在哪里的组件之一吗 。

证明。相反的假设或 不是一个完整的两偶图。然后,有两个不相邻的顶点 在和 。从引理1,我们知道 的极大性是什么 。因此,和 完成由两部分构成的图形。
二世。如果和非空的子集的 ,然后正好有两个组件。

证明。 至少有三个组件和和这些组件的两个。然后,有两个顶点 这样 与作为一个 - - - - - -顶点的 。由引理1,我们有一个矛盾最大第一个通用萨格勒布指数。
三世。要么为空或是空的。

证明。相反,假设和非空的集合;然后,通过索赔二世,正好有两个组件命名和 。让 和 。假设 和 。(我)现在,我们构造一个新的图从作为 。第一个一般萨格勒布指数的定义,我们有 ,和过去的不平等可以被考虑到的功能 。 是一个递增函数 和 ,我们有 ;这意味着 。(2)让 并考虑任意顶点 。现在,我们构造一个新的图从通过添加更多的顶点之间的边和并添加进一步的边缘 。很明显,顶点削减基数吗 ;换句话说, 。从引理1和索赔三世 ,这是一个矛盾。从上面,我们推断出 是 - - - - - -顶点的 。
第四。由一个孤立的顶点。

证明。相反,假设组件 的完成由两部分构成的图形。另外,假设 和 ,在哪里 为 。
不失一般性,假设 和 。构造一个新的图从作为 。这意味着也是一个 - - - - - -顶点的和 。类似于主张三世 ,我们有 ,这是第一个通用萨格勒布的极大性指数吗 。
通过第一个通用萨格勒布指数的定义,我们有

4所示。图与给定的连接和独立号码

让 图的设置 ,顶点连接 ,和独立的数 。在本节中,我们调查的图表给出了最大一般第一萨格勒布指数 。

定理4。让 与 和 。然后,对于 ,我们有 和,等号成立当且仅当 。

证明。为 ,这个结果讨论(16]。所以,我们假设 ,,让首先最大的图一般萨格勒布指数 和 是 - - - - - -顶点和最大独立集 ,分别。以下索赔将证明我们的主要结果。
要求我让是一个组成部分 和 ;然后,我们有 和 。

证明。作为最大第一个通用萨格勒布指数和引理1,我们有 。相反,假设 ;这意味着我们有顶点 和 这样 或 。此外,人能注意到 。由引理1,我们有一个矛盾的选择 ,这证明了这一说法。
二世。包含两个组件。

证明。相反,假设至少包含三个组件,其中两个是命名为和 。让 。然后, ,我们有一个矛盾的极大性由引理1。
三世。如果 ,然后 。

证明。主张三世。相反,我们假设 。此外,如果 ,然后 作为是连接组件。假设 ;然后, 。否则, ,和选择 ,我们有 是一个独立的设置是一个矛盾的定义 。
让 ,我们构造一个新的图作为 。很明显,最大独立集,的最小顶点割集吗 ; 。
让 和 ;然后我们有 。通过应用的定义在和 ,我们获得 这是对的选择吗 。
从索赔I, II, III ,在哪里是一个孤立点的 。让 ;然后, 让 。考虑到功能 为 。作为 , 是一个递减函数 。这意味着 ,最后不平等是由于詹森不等式。因此,(1)达到其最大值 ;换句话说, ,第一个一般萨格勒布指数达到最大值 。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。