文摘

在本文中,我们首先检查的类型结构的解决方案,修改后的非线性费雪的反应扩散方程的形式。方程的行波解的存在长期的观察到通过使用动力系统相空间分析理论和表现出的稳定的点。同时,我们代表径向基函数(rbf)的微分求积方法(dqm)方程的解决方案。推荐的方法的稳定性分析。一些初边值问题被认为是测试问题。数值结果表明极其精确和稳定的初始和边界条件在同一领域有不同的时间范围。

1。介绍

的一个主要领域的应用数学,微分方程出现在科学和技术的许多领域如电磁、流体动力学、混合问题,人口问题,波动,在很多工程的其他分支。尤其是偏微分方程可以用来描述各种现象在自然界中如声学、电动力学、流体流动、热量,和声音。非线性偏微分方程大多以描述底层行为相关的非线性现象的本质真实世界(1- - - - - -8]。

众所周知,获得解析解非线性偏微分方程的一个重要的角色在定义物理现象,在一些地区如物理学、生物学、化学、工程,有大量的工作在理论和技术求解偏微分方程分析(6- - - - - -8和数值9- - - - - -14]。

许多非线性方程组有大量的应用于流体力学,化学和等离子体物理等领域。其中一个方程是费雪方程: 这是一个反应扩散方程最初引入的费舍尔在种群动态的结构15]。特别是,费雪方程用作造型,一个强大的工具分析和解决实际工程问题和讨论结果出现的自然问题分析解决。它出现在不同的物理现象,造型一个巨大的多样性的问题,例如,在生态学(16,燃烧17),核反应堆理论(18),等等。许多不同的方法,即。,extended modified cubic B-spline algorithm [9),三次三角b样条微分求积法(10),指数修改三次b样条微分求积法(12[],有限差分方法19[],b样条方法20.),和扩展立方b样条有限元法(21)已经应用于发现费雪方程分析和数值解多年。

在费雪方程式,波速度确定解决方案。费舍尔证实的解决方案(1)发展成为行波与波速度大于和等于两个而解决方案是振荡时的波速小于两个可能导致非物质在某些应用程序中形成。由于这种情况下,可能不是捕获所需的波运动。然而,寻找尽可能最小波速的行波是物理和生物系统中具有十分重要的意义。例如,它是至关重要的预测多长时间一个癌细胞扩散到身体的特定区域,根据其传播的速度。所以,这就是为什么我们认为并演示修改的行波解的存在性和复杂形式的方程(1),这方面构成了文章的原创性。

本文以下动态系统的修改形式的方程(1)是 与初始条件(集成电路) 和边界条件(BCs) 一直在考虑。我们指定的分析模型(2)使用相平面方法并分析其属性。

我们建议一个有组织的过程取决于方程存在三种不同的方法(2)为了获得近似的行波解。为此,在部分2的动态系统,我们首先检查修改形式的费雪方程利用相空间分析来找到一个对应的行波解发生在相空间两个轨道。节3,我们将演示一个大纲介绍径向基functions-based dqm所以决定我们的数值结果根据径向基functions-based dqm使用multiquadric在空间方向修改后的反应扩散方程(2)。节4,我们给出一个数值算法的径向基函数基于dqm改性反应扩散方程(2)。节5,我们观察到一些测试实例具有不同初始和边界条件的成就展示基于dqm径向基函数。在上一节,我们工作的决心。

2。行波的稳定性理论

在本节中,我们检查修改后的费雪方程的行波解(2)通过使用转换,即 在哪里波的速度。用转换(5)方程(2),然后我们获得

在写作 ,我们获得了动力系统如下:

动力系统(7)已经被许多作者研究,包括莫里(22]。动力系统(7)有两个平衡的点 和 。我们需要一个单调的解决方案 与 。我们接下来将平衡点线性化。我们首先考虑平衡点 。线性系统是由相关的

的特征值并给出相关的特征向量

在任何条件 ,这一点 建立一个稳定点相空间的情况。我们接下来考虑平衡点 。线性系统是由相关的

的特征值并给出相关的特征向量

现在,因为 这一点 是一个稳定的点。由于线性化定理,点R=(1.0)是一个非线性系统的稳定点。我们正在寻找两个发生特定波速度 。因此,当我们把在不同的情况下,即。(我) (2)

在第一种情况下 ,这一点 表明螺旋节点 表明一个稳定点。所以,在这个特定的价值c从点,有两个轨道运行P:(0,0)R(1,0)。(3)在过去的情况,这两点表明稳定节点。我们现在证明系统的轨迹(7)是在物质层 和 及时通过MATLAB数值方案实现的数字1和2,分别。

我们注意到从上面数据,这两种情况下的所有路径在物理空间相连 来 随着时间的在 。具体来说,在图2,当波速度是选为 即使有一个微小的振动,蓝线合并与其他线条流畅趋向于无穷。因此,数据1和2证明有一个连接的点 来 被称为“heteroclinic轨道”,代表波。

3所示。RBFs-Based微分求积方法

本节包括全球和本地RBFs-based dqm。这些方法的方法如下:

3.1。DQM的简洁描述

DQM的主要任务是近似的衍生品出现在类似传统积分求积问题。假设我们有一个平滑的函数 。然后,DQM的m -阶导数的函数近似由以下公式:

在这里,的节点总数和吗是未知的权重系数(WCs)对吗m -阶导数的函数。下一步是计算WCs。在文献中,有许多计划(23- - - - - -28WCs)用于计算。由于节点之间的连接,这些计划不容易适用于形状复杂类型的域。

为了克服缺乏这些计划,rbf WCs用作测试函数来计算。完成这项工作,我们使用multiquadric (MQ) rbf常数形状参数。一些著名的rbf表列出1。

3.2。全球RBFs-Based DQM

WCs,来计算DQM提到的部分3所示。2,我们将决定MQ rbf全球测试函数。这就是为什么全球RBF-DQM方法被调用。除了MQ rbf,我们可以使用其他rbf列在表中1。MQ rbf 1 d可以定义如下:

解释的方法,让我们考虑在计算域的节点数量 ,即。 。现在,根据方程(12)和节点总数,我们不得而知 WCs的数量。现在,把MQ rbf 从方程。(13)方程(12);然后,我们有

方程(14)是一个系统的 每个固定的线性方程 。系统可以写成矩阵形式: 在哪里

上述系统很容易解决。上述系统的解决方案将给我们WCs的一阶,二阶和高阶导数。公式如下:

大量的节点的点,这个矩阵变得非常坏脾气的,矩阵的逆变得困难。为了克服这种情况,我们使用本地域名从全球域小的节点集。

3.3。当地RBFs-Based DQM

在这种方法中,我们考虑当地支持领域的全球域。根据这个考虑,方程(12)如下:

在这里,是选择在本地域中的节点总数的我- - - - - -全球的th节点域和相应的WCs的吗m -阶导数。方程解(18)以矩阵形式如下: 在哪里

计算的目的,我们有 在当地的域。

定理1。我们认为这三个统一的节点 ,即。 在当地RBF-based DQM。然后,绝对误差在一线和二阶导数的近似作为(29日):(我) (2) 在哪里 和 。

3.4。形状参数(SP)

SP的用于RBFs-based DQM稳定性和准确性的至关重要的观点。选择一个最优的SP为数值模拟社区是一个巨大的挑战,到目前为止,这是一个开放的问题。有各种技术在文献中选择最优SP 。在目前的工作,我们选择三角函数变量(电视)30.计算SP)技术 ,这是由 在哪里 , 和 。

4所示。为修改后的反应扩散方程数值模式

本部分的主要任务是执行的仿真费舍尔与常系数方程。我们近似偏导数的方程(2与当地RBFs-based DQM),然后方程(2)成为一个系统的常微分方程如下: 集成电路: 。应用BCs之后,系统的常微分方程(23用集成电路由RK4解决方法)。

4.1。稳定性分析的方案

为了实现该方案的稳定性分析,我们使用下面的定理:

定理2。考虑非线性系统(NLS) 和相应的线性系统(LS) 。让是一个简单的临界点(CP)的NS 。如果CP (0,0) LS是渐近稳定的,然后CP的NLS也渐近稳定。

证明。更多细节,请参阅[31日]。
使用后的BCs系统(23),系统的形式 在哪里 现在,我们考虑相应的NLS LS (24)如下: 然后,相应的LS(的稳定26)意味着NLS的稳定性(24)。更多细节,请参阅[27]。现在,它可以说NLS (24)是稳定的,如果对应的LS (26)是稳定的。我们使用LS(的结果26如果所有的特征值)是稳定的有一个负的实数部分(31日]。在仿真过程中,矩阵的特征值计算绘制在图呢3。图显示,矩阵的特征值满足上述条件。因此,我们的算法是稳定的。

5。数值模拟和讨论

在本节中,一些测试问题被认为是检查的效率和准确性提出了基于DQM rbf。

例1。我们考虑问题(2与下面的IC和BCs)域[10]−10日 构建和分析解决方案的动力系统的相空间方法。首先,我们重写方程(2)成一个系统的一阶微分方程通过引入额外的变量。原始变量和新变量形式相空间的一个向量。就变成了一条曲线的解决方案相空间参数化时间。曲线通常被称为一个轨迹或轨道。向量微分方程是新配方曲线的几何描述,仅作为微分方程的相空间变量,没有原来的时间参数。最后,在相空间解决方案转换回原来的环境。
问题是模拟 ,和波问题的概要文件中描述的人物4和5的时间不同的值。在这些数据中,我们看到,波配置文件增加 然后减少后 。随着时间的增加,波资料减少。

例2。我们考虑问题(2与下面的IC和BCs)域[10]−10日 给出了该问题的精确解 问题是模拟 和波问题的概要文件中描述的人物6- - - - - -8的时间不同的值。
在数据6- - - - - -8,我们决定在初边值问题的数值解的例子2对有时 , 和 ,分别。快速解决方法行波 在所有的数字。因此,行波剖面的发展 在初边值问题的解的例子2。

6。结论

在本文中,我们首先考虑的发生修改的费雪方程的行波解(2)利用相平面分析。我们得到两个轨道,代表行波解 ,甚至有一个小的振荡(见图的存在2)。之后,我们检查修改后的费雪方程的行波解(2基于dqm),应用rbf对他们不同的初始和边界条件。三角的初始条件的问题,解决方案发展失衡的波阵面,取得了好的结果为各种时间范围内相同的距离域。指数集成电路问题的情况下,存在波前一直在观察和获得好的结果相同距离域的时间不同的值。准确的结果建立了通过使用一个数值算法。收获的结果与基于dqm的rbf极其精确和稳定。最终,稳定性分析rbf基于DQM的修改费雪方程(2)表示。因此,修改后的费雪方程(2)生成相同的行波剖面的三种方法。

此外,行波的发生实际上是可能的,如果波速度至少是0.5和更高。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。