文摘
在这项研究中,我们给一个教授的标准替代和初等解法卡地亚因子数值微不足道。
1。介绍
在本文中,每一个代数复数领域的多样性是适当的 。
在1970年代,Iitaka [1)发起的高维代数品种的分类理论利用pluricanonical系统。在1980年代,Mori (2)深化Iitaka理论通过切断椭圆的从属品种类型。
在[3),教授给了一个有趣的和有用的标准卡地亚因子数值微不足道。
定理1(信[[3],引理5.1],cf,鲍尔et al。[[4),定理2.4])。让 一个满射射之间完整的品种。让是一个nef卡地亚除数和一些亚变种 ,这样 和的一个子集这是一个可数联盟很多合适的Zariski-closed子集。假设(1)对于一些 , 对于每一个曲线在(2) 对于每一个不可约曲线在 ,这样 然后,数值是微不足道的。
信的标准数值浅薄的一个基本工具,每一个代数簇分解为椭圆型的品种,抛物型、双曲型通过切断抛物线型的品种5- - - - - -7]。
在本研究报告中,我们给出一个信的标准替代和初等解法(定理1)。论点(子用例7),它使用以下霍奇指数定理的推论,由于鲍尔等人是至关重要的。
引理1 (cf。[[4),命题2.5])。让 从一个完整的表面是一个满射射一个完整的曲线。让是一个nef卡地亚除数。假设(1)对于一些 , 对于每一个曲线在(2) 对于一些不可约曲线在 ,这样 然后,数值是微不足道的。
备注1。声明的引理1、条件(1)立即暗示数值是微不足道的每射的一般纤维考虑到压扁。正常化,斯坦分解,desingularization,文章([4),命题2.5),对于一个代数纤维表面,意味着引理的断言1。
2。小学主要定理的证明1
证明。我们用归纳法证明断言
。
首先,我们需要交换图如图1以下属性:(1)
和非奇异的是射影品种(2)
是一个双有理的射(3)
是一般有限射(4)
是射只有连接纤维存在一些不可约组件的
,这样
。我们设置
。
的轨迹
包含在一个联盟最多可数的Zariski-closed子集多少(命题1)。因此,我们获得一个联盟
可数的许多正确Zariski-closed子集以下两个属性:(1)
数值是微不足道的每个纤维的在(2)
对于每一个不可约曲线在
,这样
这就可以证明
对于每一个不可约曲线在
。我们修复一个不可约曲线在
。
案例1。 。这种情况下分为子用例1和2。
子用例1。
和是一个点。
我们有
从(1)。
子用例2。 和是一条曲线。这个子用例分为子用例3和7。
子用例3。
,
是一条曲线,
。这个子用例分为子用例4、5、6所示。
我们注意到,
对于一些不可约曲线在
。
子用例4。
,
是一条曲线,
,和
。
。因此,
。
子用例5。
,
是一条曲线,
,和
。
因为
(2)、引理1意味着数值是微不足道的,因此,
。
子用例6。
,
是一条曲线,
,和
。
因为余维数
,我们有一个不可约超平面部分的包括和(命题2)。然后,归纳假设的数值是微不足道的。因此,
。
子用例7 (cf。[[42.1.2)。
,
是一个曲线,
。
让
是不可约的组件的集合
。我们注意到,
对于一些不可约曲线在
。因此,一些数值微不足道吗
,这样
从房地产(2)和归纳假设。
如果
,然后
从纤维的连通性
,因此,
对于一些
。
因此,
或
。
如果
和
,然后
从纤维的连通性
,因此,
对于一些
。从这个观点,我们获得以下属性:(1)
(2)
对所有与
(3)
这一事实数值是微不足道的,
意味着归纳假设的数值是微不足道的。这一事实数值是微不足道的,
意味着归纳假设的数值是微不足道的。这种说法意味着数值是微不足道的。因为
,我们有
。因此,
。
例2。 。这种情况下分为子用例8 - 11所示。
子用例8。 和 。这个子用例分为子用例9和10所示。
子用例9。
,
,和
。
引理1意味着数值是微不足道的,因此,
。
子用例10。
,
,和
。
因为
,我们有
不可约的超平面部分的的财产(2)除数
。霍奇指数定理意味着数值是微不足道的。因此,
。
子用例11。
和
。
因为余维数
,存在一个不可约超平面部分的包括(命题2)。我们可以假设
。注意,从案例1,
对于每一个不可约曲线在
,这样
。因此,归纳假设的数值是微不足道的。因此,
。□
3所示。附录
在本附录中,我们国家两个基本命题及其证明,这是众所周知的专家,为读者的方便。
命题1。让 是一个满射射投影品种和之间nef卡地亚除数 。
我们假设 ,十字路口数量 对于每一个不可约曲线在 。
然后,轨迹 包含在一个联盟最多可数的Zariski-closed子集多少 。
证明。存在一些充足的因子在
。假设是一个不可约曲线
,这样
(例如,是一个点),
。存在一些不可约组件通用方案的希尔伯特计划的
,这样包括
,在哪里是点
,代表了subscheme的
,和图2显示了预测和和财产
。我们设置
。
首先,我们考虑正常化
,
,和
射的
。接下来,考虑到斯坦分解射的
。
最后,考虑到压扁
,
,和
射的
,射在哪里是双有理的品种呢是满秩。我们注意射
是平的,只有连接纤维。
我们把
。
因此,我们有交换图,如图3。
平坦的射
,十字路口数量
每个纤维射的
因为
。因此,对于每一个纤维射的
,的射合同一个点的连通性
。换句话说,包括在一些纤维吗
。
存在一些充足的因子在
。当然,
对于每一个曲线在
。因为射是双有理的,我们有吗不是一个点(即,
)对于一些纤维的
。从平面度,
每个纤维的
。因此,每一种纤维的
不能射简约一点
。
存在一些纤维的
,这样
。然后,
因为射地图在一定程度上
。因此,
因为不射点的合同
。因此,
。平坦的射
,十字路口的号码是
每个纤维射的
。
我们注意到所有的纤维
映射在某些纤维的
。换句话说,每一个纤维扫了纤维的
。
因此,对于每一个纤维的
,的轨迹的连接曲线
,这样是一个点,十字路口的电话号码吗
。我们注意,我们考虑作为这
的连通性
。因此,
。因此,
。换句话说,是不相交的
。
不可约的可数性希尔伯特计划的组成部分的意味着断言。
命题2。让是一个非奇异的射影多样性和与余维数Zariski-closed子集 。然后,存在一些不可约超平面部分 ,这样 。
证明。我们需要一些充足的因子在
。我们有一个双有理的射
,这样是一个非奇异的射影,divisorial只有简单正常的过境点,存在一个有效因子的财产
和是
- - - - - -充足的。然后,一个足够大的整数充足吗
。足够大,可分的整数
,的因子很充足,存在一个会员
这是非常充足的和不可约。我们把
。然后,
。
的轨迹正值
。因此,
。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
信息披露
更新版本的手稿是在arXiv: 2109.02 034 v1 ([8])。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者支持的科研补助金岐阜Shotoku大学在2019年和2020年。