文摘
在本文中,基于线性多步方法,我们结合简化复制内核方法(SRKM)具逐段常变量优化方法来解决先进的ide。本文还讨论了收敛顺序和方法的时间复杂度。它证明了该算法获得的近似解及其衍生物是一致收敛。通过两个算例,证明了该算法明显优于其他方法。
1。介绍
近半个世纪以来,脉冲微分方程(ide)一直被视为许多自然现象的总结以及许多实际问题的数学结构。他们在不同领域发挥关键作用的生物数学和应用物理1- - - - - -3]。他们也已经应用于许多实际问题,如生物力学,种群动态和最优控制。一般来说,ide的解析解是很难获得,特别是非线性等复杂情况下,分数阶,分段常数。事实上,在大多数实际问题中,我们可以得到近似解或数值解的ide。因此,ide及其数值解的存在性,吸引了越来越多的注意力从学者(4- - - - - -7]。
一般来说,一个IDE具逐段常变量系统构成了一种非常有趣的问题,本质上是一个重要的数学模型。然而,ide使用分段常数参数的数值解问题很少被注意到。维纳(8]分析了许多重要的性质解决方案具逐段常变量的ide。Bereketoglu et al。9]证明解的存在一阶非齐次高级ide。张(10- - - - - -13]研究了振荡和渐近稳定的ide的龙格-库塔方法。我们知道龙格-库塔法和欧拉法主要是用来解决ide。只有少数作者采用复制内核方法解决ide。
在本文中,我们研究了线性多步方法复制内核空间解决以下高级ide: 在哪里表示最大的整数函数, ,和是真正的常数,然后呢 。此外,我们假设(1)有一个独特的解决方案。
自复制内核方法(RKM)提出了上个世纪初,越来越多的学者们用它来解决初边值问题(14- - - - - -16]。耿(17,18)解决了奇摄动问题,RKM的非局部边值问题。李(19,20.]RKM应用于解决各种分级模型。SRKM可以用来获得高度光滑容易解析解。近年来,许多学者研究了SRKM [21- - - - - -23]。赵(24提出SRKM的收敛阶理论。梅(25- - - - - -28)解决许多用SRKM积分方程和冲动的问题。摘要SRKM结合优化方法来解决(1),这种方法有很大的优势在时间复杂度和循序渐进模型的解决方案。
本文主要介绍了以下内容。下一节介绍的定义复制内核空间和初始模型的转换。在第三部分,SRKM和优化方法求解(1),以及该方法的收敛性和时间复杂度进行了分析。在本文的最后,我们给出两个数值实验和一些结论。
2。预赛
为了扩大算法的描述,我们主要介绍一些复制内核空间和简化的定义方法在这一节中。全文, 。从[9),解决方案(1)是独一无二的。
定义1。(见[16])。简化的复制内核空间定义如下:
其内核是繁殖
,和空间可以类似的定义。
因为有很多冲动点的解决方案(1),本文提出了一种分段算法,也就是说,我们首先解决(1)
。
如果
,我们会
。
另一方面,
;因此,
。
所以,在区间[0,1),我们可以简化方程(1)
让
;很明显,是一个连续函数。
换句话说,解决(3)相当于找到一个函数满足
在哪里和是真正的常数和是一个未知的常数。
3所示。线性多步方法
在本节中,为解决(4),我们需要建立线性多步方法和SRKM并给出算法的收敛性分析和时间复杂度分析。
由(4), ,本文定义了线性算子:
吴和林16)证明是一个有界算子。所以,(4)相当于以下形式:
把 。取 ,密集的在 。
定理1。 在哪里 和伴随运营商吗 。
证明。 。
从[14),为每一个固定的 ,因此,系统的功能是线性无关的 。此外,完成在 。
让
然后,我们可以获得 。
让 ,这是一个正交投影算子。
定理2。如果 满足方程5,然后 满足
证明。 和 。
定理3。 一致收敛于 ,在这 满足方程5。
证明。 。
因此,当满足(5), ,
自是一个连续函数, 均匀,
因此,的解决方案(11), 如果 :
换句话说,的近似解(2在[0,1)。
作为 ,
为了找到近似的解决方案 ,我们必须找到 。考虑到和已知函数,我们使用和做内积操作两侧(12)。可以得到以下方程:
让
考虑到是线性无关的 ,这意味着存在,
根据前面的分析,我们有
的值越小 ,之间的近似就越高和 。因此,使用下面的优化模型来解决 :
引理1(见[24])。在 ,如果 近似解的吗 SRKM,然后 ,在哪里是一个常数。
定理4。 收敛于 ,和秩序不小于二阶收敛性。
证明。通过前面的分析和证明,我们知道 也是解决吗 在 。根据引理1,收敛于 ,和订单至少二阶收敛性。因此, 在哪里 , 。
此外,算法的收敛阶计算公式如下:
定理5。 算法的时间复杂度。
证明。根据之前的声明中,我们可以大致分成以下部分来计算的方程12。(1)求解方程的系数矩阵(14):假设所需的计算来计算每个内积 是 ,所以计算的时间复杂度内所有产品 。(2)解决(方程的系数矩阵(12):使用分解方法来解决方程(14);分解是一个众所周知的方法的复杂性分解 ,和解决复杂的三角方程组(如 是一个向量的 )是 。我们需要解决三角方程,所以总复杂性 。(3)计算的时间复杂度在方程(12)是 。因此,总时间复杂度
让 ;因此,的近似解(1) 。
如果 ,然后 ,同样,我们可以得到以下方程的简化方法:
我们可以进一步解决(23)间隔 。 在哪里是一个已知函数,是一个未知的常数。
(13在相同的形式);因此,我们可以使用本节中的方法来解决(23),即近似解(1) 。同样,近似解(1) 可以通过线性多步方法, 。
4所示。数值实验
例1。让我们考虑以下高级ide (12]。 确切的解决方案是
例2。考虑以下高级ide (13]。 确切的解决方案是 在数据1和2误差变化规律反映。见表1和2,节点越多,计算结果误差越小。换句话说,我们可以使用足够的节点来得到一个更精确的近似,这与本文前面提出的理论是一致的。每个曲线的两个人物是我们的算法,每一步的结果表明,分步解决方案摘要算法非常适合的解决方案(1)。
5。结论
基于SRKM和优化模型,本文首先提出了一种数值算法求解具逐段常变量的ide。自从SRKM提出不考虑复杂边界和初始条件,SRKM非常简单。数值结果显示该方法的优越性。表和数据的例子,可以看出,增加 ,这个错误变得越来越小。脉冲微分方程的解在学术界一直是一个困难,谜题学者的研究因为它的分段平滑。的想法一步一步的解决方案提出了可以解决这个问题,和其他算法可以应用于脉冲微分方程。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
本研究在珠海学院的大数据研究中心的支持下,北京理工(xj - 2018 - 05),和两个项目(2019 ktscx217和ZH22017003200026PWC)。