文摘

如今,源定位在复杂网络的研究是一个关键问题。本地化的源已经调查了使用各种可行的模型。确定网络的扩散,有必要找到一个顶点的观察扩散传播。检测网络中病毒的来源就相当于找到最小双重解决集(mdr)网络。本文计算了双重解决集(drs)某些凸多面体结构计算自己的双指标维度(DMD)。得出MDRSs这些凸多面体的基数是有限的和持续的。

1。介绍和预赛

考虑一个连接和无向图 ,在哪里 表示的顶点集, 代表边的集合。的距离 两个顶点之间 计算通过计算两个顶点之间的最短路径的长度。 意味着顶点集 解决由顶点吗 。让 是一组订单 。的向量度量一个顶点的坐标 关于 ,由 ,是 - - - - - -向量 。如果不同的顶点 有独特的度量坐标向量对吗 ,一组 据说是解决。一组最小订单解决被称为图的基础 及其顺序称为度量维度(MD) ,表示为 。

布卢门撒尔(1)首次提出的概念一般度量空间的医学博士在1953年。斯莱特(2]介绍了医学博士,1975年Harary和熔炼工3)开发的一套解决图在1976年。它本来是解决集是用于定位网络入侵者,但沙特朗和藏4)已经提出了解决集的大量使用机器人,化学和生物学。三边测量的概念可以从二维广义实际平面图形的MD。全球定位系统(GPS)使用距离测量来检测我们星球上各种物体的确切位置。医学研究,从理论上讲,有几个应用在机器人导航5)和分子化学(6]。汉明图的医学博士一直在研究各种各样的应用程序,从coin-weighing困难(7,8)高效的策划游戏策略(9]。组合优化研究[10)和定位的难度设施,以及海岸警卫队的罗兰和声纳系统2),都用医学方法。此外,不同领域包括机器人(5),发现和验证在网络11),地理位置和路由协议(12)广泛调查了这一概念。

确定任何给定的确切MD值图是一个计算挑战性的任务(5,13]。几个有用的范围内为不同类型的图表进行调查;例如,[14]。两个et al。布奇科夫斯基15和阿里et al。16)探讨了最小订单解决组轮图和莫比乌斯梯子,分别。沙特朗和其他执行所有图表的分类使用MD 1, ,和 (见[6])。在[17,18),伊姆兰等人找到不同的凸多面体结构的MD。Tomescu等人在19)和Ahmad et al。20.贾汗季图)计算了MD,分别弦线周期和皮艇桨图。秋雨等人提供了常规的医学博士的结果由两部分构成的图表(21]。项链图研究的医学博士(22),和某些平面图形的医学博士被认为是(23]。

作为研究工具为研究解决最小的笛卡儿积集图形、卡塞雷斯et al。24)建立了drs的概念。考虑一个图 ,在哪里 。两个顶点 和 双重解决一对顶点 的 如果 。一个子集 DRS的 如果有两个顶点 双重解决任何一对顶点 。mdr是DRS是最小的可能。的模式 的基数是mdr代表吗 。对所有的图表 ,任何DRS显然是一套解决, 。

Kratica et al。25]研究了计算复杂度drs的图 。Harary图家族的一项调查(分别地。循环图的家庭)对MD和MDRSs是由艾哈迈德et al。26,27]。陈等人。28]提供了第一个显式近似MDRSs上下限制的问题。艾哈迈德等人研究了线图 - - - - - -Sunlet,棱镜29日],皮艇桨图(30.MD和MDRSs,分别。找到尽可能最小的DRS,各种图的家庭已经被研究过,如涉及棱镜(31日),凸多面体(32),和汉明图(33]。不同的凸多面体结构的MDRSs检查锅et al。34)和Ahmad et al。35]。最小订单解决集和MDRSs鸡尾酒和水母的图被刘和其他计算(36]。layer-sun图及其相关线图,mdr的问题也是研究[37]。在[38),最小解决集和线图的DMD弦线周期检查。作者证明了DMD的 正是它大于一个医学博士。

因此,drs检查笛卡尔的医学产品至关重要。我们受到的想法实现上界的笛卡儿积图检查drs的图类。此外,这个参数可以帮助在广泛的领域,包括在在线社交网络谣言传播和疾病爆发的起源。

它是可行的,以确定扩散源使用MDRSs在复杂网络。发现广域网络传播的来源可能是一个挑战。作为一个例子,在一个未知的病毒来源,所有定位所需的污染时间传感器节点的一个子集。这些传感器节点可能记录下他们的感染。需要多少传感器定位病毒源?属性叫demand media提供这个问题的答案(详细信息请参阅[39,40])。是简单确定的起源流行,如果我们能够看到它从开始到结束。数据来源定位有时稀缺由于收集和储存信息的成本和复杂性。即使最初的病毒传播周期是未知的,一套双解决传感器可以可靠地检测感染源。

在星状网络,识别病毒的起源比就网络要复杂得多。DMD是 的星形网络 节点,但DMD是2的道路网络。因此,这表明DMD总是依赖于网络的拓扑结构39]。

它一直挑战解决凸多面体的模式在前几年。在这里,伊姆兰等。18,41)计算模式 和 凸多面体。在下面的定理,凸多面体的MD 和 显示。

定理1。如果 图的凸多面体, 3, 。

定理2。如果 图的凸多面体, 3, 。

下面的部分解释在本文的其余部分:(我)节2,我们定义的图像 和计算的MDRSs凸多面体 为 。(2)节3,我们定义的图像 和计算凸多面体的模式结构 ,为 。(3)部分4得出结论:凸多面体的DMD 和 是有限的和不变的。

2。双凸多面体的公制尺寸

DMD的结果计算凸多面体 提出了在这一节中。

有3-sided 5-sided, - - - - - -站在面临凸多面体 如图1。


图1
凸多胞形 。

这里有三种类型的顶点标签使用:{ : }代表内在周期顶点,{ : }代表中央周期顶点,{ : }表示外周期顶点如图1。

由于应用定理1, 为 是获得。同时, 为 将证明在这一节中。图的顶点的距离 可以计算使用以下过程:

假设一组 一组顶点在吗 在远处的 从 。表1仅仅是建造的 ,它将被用来找出两个顶点在多远 来自彼此。

表1
为 。

因为对称的 为 ,它可以证明

如果 是奇数

如果 甚至

由于这一事实,为了计算任意两个顶点之间的距离 ,我们必须知道的距离 为每一个 。

引理1。奇怪的正整数 , 。

证明。证明 奇怪的正整数,找到一个DRS基数3就足够了。使用集 表中列出1,表2显示了度量所有顶点的坐标向量 关于 。
表2表明,表示 对于任意两个顶点 ,在哪里 。因此,对于任何 如 如果顶点 和 ,然后表示 。因此,集合 代表了mdr的 。因此,引理1成立。

表2
规的坐标向量 为奇数 。

引理2。即使是正整数 , 。

证明。证明 即使是正整数 ,找到一个DRS基数3就足够了。使用集 表中列出1,表3显示了度量所有顶点的坐标向量 关于 。
表3表明,表示 对于任意两个顶点 ,在哪里 。因此,对于任何 如 如果顶点 和 ,然后表示 。因此,集合 代表了mdr的 。因此,引理2成立。
整个技术清楚地表明 ,为 。下面的主要定理是说使用前题1和2:

表3
规的坐标向量 甚至 。

定理3。让 是一个凸多面体 为 。

3所示。双凸多面体的公制尺寸

本节包含凸多面体的模式计算的结果 。

有3-sided,四面 - - - - - -站在面临凸多面体 如图2。


图2
凸多胞形 。

这里有三种类型的顶点标签使用:{ : }代表内在周期顶点,{ : }表示内部周期顶点,{ : }代表外部周期顶点,{ : }表示外周期顶点如图2。

由于应用定理2, 为 是获得。同时, 为 将证明在这一节中。图的顶点的距离 可以计算使用以下过程:

假设一组 一组顶点在吗 在远处的 从 。表4仅仅是建造的 ,它将被用来找出两个顶点在多远 来自彼此。

表4
为 。

因为对称的 为 ,它可以证明

如果 是奇数

如果 甚至

由于这一事实,为了计算任意两个顶点之间的距离 ,我们需要知道 为每一个 。

引理3。对于任何奇怪的正整数 , 。

证明。的MDRSs , ,和 是 证明 对于任何奇怪的正整数 ,找到一个DRS基数3就足够了。使用集 表中列出4,表5显示了度量所有顶点的坐标向量 与设置 。
表5表明,表示 对于任意两个顶点 ,在哪里 。因此,对于任何 如 如果顶点 和 ,然后表示 。因此,集合 代表了mdr的 。因此,引理3成立。

表5
规的坐标向量 为奇数 。

引理4。甚至对任何正整数 , 。

证明。证明 甚至对任何正整数 ,找到一个DRS基数3就足够了。使用集 表中列出4,表6显示了度量所有顶点的坐标向量 与设置 。
表6表明,表示 对于任意两个顶点 ,在哪里 。因此,对于任何 如 如果顶点 和 ,然后表示 。因此,集合 代表了mdr的 。因此,引理4成立。
整个技术清楚地表明 ,为 。下面的主要定理是说使用前题3和4:

表6
规的坐标向量 甚至 。

定理4。让 的凸plytope 。然后 。

4所示。结论

在本文中,我们调查的概念计算MDRSs图使用一个整数线性规划公式之前文献中给出。我们计算凸多面体的模式 和 ,这是在drs的最低基数 和 。有趣的是考虑这些家庭的凸多面体,因为他们的模式是有限的和独立的平价 。最后,我们得到 为 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者扩展他们的感谢院长职哈立德国王大学科学的研究,沙特资助这项工作通过研究项目在格兰特将军GRP / 327/43。