文摘
介绍了近似解的非线性声波传播模型被称为修改Camassa-Holm (mCH)与卡普托分数阶导数方程。我们检查这个研究利用拉普拉斯变换(T)加上同伦摄动方法(HPM)构造的拉普拉斯变换的策略同伦摄动方法(T-HPM)。由于拉普拉斯变换是只适合一个线性微分方程,因此T-HPM是合适的方法分解的非线性问题。这个方案生成迭代公式的发现说明问题的近似解,导致没有任何小扰动的收敛级数和限制。图形化的结果表明,T-HPM很简单,直接,适用于其他非线性分数阶的科学和工程问题。
1。介绍
在最近的世纪,分数微分问题已经吸引了很多的注意力向研究人员和科学家因其外表的精确表示。许多物理现象已报告在非线性模型,如工程、地球物理学、天文学、医学、水文、化学工程、天体物理学(1- - - - - -4]。大部分的非线性分数阶难以解决的问题。因此,这些模型是非常重要的检查准确、数字解决方案。目前,许多作者研究直接相关,相关工作在非线性问题和对称5]。积分变换方法是非常有效的减少这些非线性部分问题的复杂性。有许多的流行和有效的方案来解决这些模型的非线性外观等分数阶拉普拉斯变换(6),傅里叶级数的方法(7), - - - - - -扩张计划(8),剩余幂级数方法(9),(/G)扩张方法(10),试验方程方法(11],Sinc-Bernoulli搭配方法[12),变分迭代计划(13],Subequation [14),同伦摄动法(15),样条搭配方法(16),等等。
在本文中,我们考虑一个家庭的修改 - - - - - -模型的方面17]。 设置 在方程(1),我们获得部分修改Camassa-Holm (mCH)模型的形状。 在哪里代表流体速度的水平分量,和表明时空元素。妇幼保健模式出现在浅水发现与一双宽松作为完全可积的近似不可压缩欧拉方程(18]。伊斯兰教等。19)获得简化修改Camassa-Holm方程的孤波解。Zulfiqar和艾哈迈德20.)使用Exp-function方案探讨孤波解的部分简化妇幼保健模式。Khatun et al。21]研究了妇幼保健与分数阶方程的显式解。Labidi和Omrani22]研究了变分迭代法和同伦摄动法求解妇幼保健方程,发现结果良好的协议。
介绍了另一个强大的技术来解决非线性问题,他(23,24与最近的一些进展)。卡西和El-Tantawy25]应用同伦摄动方法耗散孤子碰撞的碰撞引起的复杂的垂直入射等离子体。后来许多作者展示了这种方法的有效性和准确性(26,27]。古普塔et al。28)获得的妇幼保健方程的近似解与部分时间导数。Khuri和Sayfy29日]介绍了特定类型的微分问题的策略。后来,Anjum和他(30.)采用这个方案解决方案的非线性振荡问题。纳迪姆和李31日)提出一个混合方法对非线性振动系统的解决方案,然后张et al。32]扩展这种方法获得的解非线性分数微分问题,但所有这些有一些限制和假设。
在目前的研究中,我们提出一个方法,称为T-HPM删除这些缺点,阐述了我们的方案来实现这一非线性问题的近似解。的实现T加上HPM使得它们更容易被这种方法的建设与分数阶妇幼保健的解决方案。这种方法也可以考虑分形理论(33,34]。本文总结如下:在部分2分数阶微积分的定义,我们回忆起理论。节3,我们构建的想法T-HPM解决妇幼保健方程。节4我们测试的有效性和准确性T-HPM说明图表的帮助下一个数值问题。最后,我们代表的结论部分5。
2。分级理论的基本概念
在本节中,我们提出一些部分属性理解微积分理论的物理性质。
定义1。的部分观点描述如下(32]:
定义3。让 ,所以T是(32]
定义4。Caputo-sense变得秩序 ,
3所示。基本的概念T-HPM
在这部分中,我们构建的基本概念T-HPM。让我们考虑以下fpd: 在哪里 卡普托意义上,和线性和非线性算子而吗 代表作为源项。
通过应用T方程(7),因此,
应用T,我们得到以下方程:
在应用逆T我们收到, 在哪里 。
方程的近似解(7)可以用下面的幂级数来表示: 在哪里被称为“同伦参数。根据HPM (23),非线性项可以计算如下:
然后,他的多项式可以使用以下公式:
现在把方程(11)和(12在方程()10),我们得到以下方程:
等同的价值 ,我们得到以下方程: 继续这个过程,我们能够识别等问题的精确解
一般来说,这个级数收敛很快。
4所示。数字应用程序
在本节中,我们实现的想法T-HPM获得光滑孤立波和奇异波解。我们看到,这个方案提出了好的结果只有在一些术语。我们计算的值迭代11.0.1借助数学软件。我们提出一些2 d和3 d图形更好地了解妇幼保健的行为模型。
4.1。示例1
考虑到妇幼保健与分数阶方程如 与初始条件
采用T在方程(17),我们得到以下方程:
使用逆T财产,
的描述T-HPM介绍如下:
等同的价值 ,我们得到以下方程:
因此,所有调查结果表示如下:
最后,本系列解决方案提供光滑孤立波解 。
指出,我们计算结果最多只有两项获得光滑孤立波方程解(17)与初始条件(18)。在图1,我们提供图形结果之间的比较T-HPM和精确解 和 。我们可以看到,只有两项解决方案通过使用T-HPM接近精确解的 。我们还一个2 d草图的情节T-HPM和精确解 显示图形的错误在图2。因此我们的话的解决方案T-HPM是在良好的协议。
(一)
(b)
4.2。示例2
考虑到方程(17与初始条件),
应用T-HPM中描述方程(21)和等同的价值 ,我们得到以下方程:
因此,所有调查结果表示如下:
最后,本系列解决方案提供的奇异波解决方案 。
指出,我们计算结果最多只有两项获得光滑孤立波方程解(17)与初始条件(25)。在图3,我们提供图形结果之间的比较T-HPM和精确解 和 。我们可以看到,只有两项解决方案通过使用T-HPM接近精确解的 。我们还一个2 d草图的情节T-HPM和精确解 显示图形的错误在图4。因此,我们的话的解决方案T-HPM是在良好的协议。
(一)
(b)
5。结论
在这项研究中,我们成功地应用T-HPM获得妇幼保健与分数阶方程的近似解。这种方法的最重要的好处是,它不考虑任何琐碎的扰动和限制的变量与分数阶非线性问题的解决方案但还维护一个极端的解决方案的真实性。我们观察,结果是非常接近精确解,证实了这种方法的准确性和有效性。我们也提出我们的解决方案的结果在二维和三维图形显示的准确性T-HPM。另一方面,T-HPM找到简单的解决方案过程中起着重要意义。这个方案也可以应用于其他微分方程包括分形衍生品未来的应用程序。
数据可用性
用来支持研究的数据都包含在本文。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。