文摘
开放的线性代数方程的复杂性很难得到解析解,和预处理技术可以应用于系数矩阵,已成为一种有效的方法来加速迭代方法的收敛性。因此,重要的是要进行预处理开放线性代数方程的结构来降低复杂性。开放的线性代数方程可分为对称线性方程和非对称线性方程组。前者是基于2×2。后者是改善QMRGCGS预处理的方法,并分析了两种方法的应用,分别。实验结果表明,当500步,quasi-minimal残留的预处理时间广义共轭梯度平方2方法34.23年代的共轭梯度平方2方法35.14 s,和共轭梯度平方方法45.20 s,提供一种新的参考方法和解决的想法和预处理non-closed线性代数方程。
1。介绍
随着计算机科学技术的发展,计算数学已经变得越来越重要。数值计算方法在计算数学中通常用来解决科学和工程计算问题(1]。大规模揭露代数系统的有效的解决方法是计算数学的一个重要研究方向,因为许多科学和工程领域都离不开微分方程或积分方程的数值解,如结构力学、计算流体力学、电磁场计算,材料模拟和设计、生命科学、空气动力学、系统科学、医学科学、天文学、金融工程学、社会科学和其他软科学。线性偏微分方程或积分方程,很难找到他们的解析解,因为他们的高复杂性。采用数值方法作为一种工具来解决这个问题。计算数学的常用数值方法,如有限元、有限差分、有限体积,方法,和无网格离散化方法,都进行了广泛的研究。这些计算问题最终转化为解决大规模开放一个或一组线性代数方程(2]。
在实际应用和工程计算,常用的迭代法解线性方程组。然而,随着科学技术的快速发展和规模的增加所需的解决方案,不断迭代方法的低效的解决方案不能满足科学计算的需要,事实上它已经很少单独使用解决方案的方程。同时,热带代数可用于解决组合优化问题。它结合了统计物理学的概念和方法,机器学习等领域,应用于噪声去除和最优控制。此外,同伦摄动方法转换的问题,解决一些非线性偏微分方程的初值问题解常微分方程通过行波变换和同伦摄动理论,这是一种比较常见的方法解决非线性问题。之后,年轻的定义和基本概念提出不稳定的迭代方法。非理查森迭代法是第一个不稳定的迭代法,可直接扩展到最陡下降法,切比雪夫半迭代方法,预处理共轭梯度(PCG)方法,和广义CG (GCG)方法。基于固定的维子空间迭代法所代表的CG法,迭代法的收敛速度仍然是相关系数矩阵的谱分布。当迭代矩阵的特征值的分布比较集中,迭代法的收敛速度更快。当光谱分布比较分散,不稳定的迭代法的收敛速度往往是缓慢,甚至不收敛的迭代方法。 In this case, the preprocessing technology can be applied to the coefficient matrix to make the spectral radius of the iterative matrix tend to gather, which is an effective way to solve the dispersion of spectral distribution and accelerate the convergence speed of the iterative method [3]。为了进一步减少开放代数方程的复杂性,有效地优化该方法的收敛性能,本文研究了结构开放的线性代数方程的预处理方法。根据方程的类型,治疗可以分为两个部分,即对称线性方程组的预处理和非对称线性方程组的预处理。
2。结构预处理方法未关的线性代数方程组
在自然科学领域,空气动力学、经济管理、工程技术、流体力学,结构力学,和航空航天工程,许多可以通过求解线性方程组来解决实际问题。 在矩阵是一个 矩阵和和是 - - - - - -维列向量。
求解线性方程组的方法主要包括平方根法,消除方法,直接三角分解法、行列式和矩阵求逆,塞德尔迭代法、雅可比迭代法、超松弛迭代法,和其他迭代方法(4]。
然而,上面的方法不适合所有的线性方程。严格地说,他们在解决一些具体的问题有很大的局限性。因此,一些学者努力发展预处理方法线性方程(5]。这些预处理方法通常是将线性方程组的系数矩阵8以不同的方式,所以迭代法收敛于获得线性方程的解决方案。在[6),一般的线性方程系统的系数矩阵是转化为对称正定矩阵,以便解决原来的问题可以转化为线性方程系统的问题找到一个等价的变分问题的最小值。此外,在[7),各种算法求解一个线性方程系统。其中,作者在8)开发了一个改进的高斯-赛德尔迭代法解决非收敛的线性方程,选择适当的处理因素实现线性方程组的迭代收敛性。
学者们做出了巨大的努力在解决大型稀疏线性方程。gmr算法,预处理共轭梯度法、ICCG法,和其他常见方法用于解决大型稀疏线性方程。其中,gmr算法是最有效的算法之一,为解决大型稀疏对称线性方程组目前,维子空间方法通常用于解决大型稀疏线性方程组的预处理问题。此外,各种迭代方法在此基础上,开发包括共轭梯度法、广义微小残留的方法,等等。共轭梯度方法之间的最速下降法和牛顿法。它只使用一阶导数信息,但它克服了缺点最慢的下降法和牛顿法,需要存储、计算,和逆Hesse矩阵。广义最小剩余法也是一种不稳定的方法,节省存储空间的优势,减少计算,并适用于并行计算。然而,这两种算法的收敛很容易受到应用程序和边界条件(9- - - - - -13]。
线性方程的预处理方法通常涉及计算的迭代方法。在这样一个快速发展的信息时代,解线性方程组有更多的要求,要求解决速度变得比以往任何时候都高。因此,如何使溶液接近于实际应用,更快,更准确的被认为是一个主要的问题。
预处理方法求解线性方程组,搜索和选择预处理是关键环节。预处理器G本文选择近似的线性方程组的系数矩阵的逆。方法获得系数矩阵的逆矩阵代数书中详细阐述了本科;事实上,初等变换方法是最常见的一个。它是本科的教学内容找到逆矩阵的初等变换,但矩阵的规模,可以通过初等变换转换通常是小,它甚至可以推导出计算在练习本上。然而,在自然科学、经济管理、工程技术、流体力学、空气动力学、结构力学、航空航天工程、等,在实践中通常使用的矩阵大规模矩阵或矩阵条件数比较大的,这很难改变(14]。根据之前的考虑,数学知识结合当前计算机知识,构造和算法实现矩阵求逆的计算机软件的操作,以减少矩阵求逆遇到的困难在实际的计算过程中(15]。
在本节中,对称线性方程组的预处理方法进行了讨论。具体而言,系数矩阵分为组件块形式,然后是常用的预处理方法应用于分区后的鞍点问题,并得到了三种预处理器。
2.1。原理和方法
目前,鞍点问题的预处理器可分为块对角预处理,块三角形预处理,预处理程序约束,等等。两种类型的线性方程获得之前,它们可以由中实现统一写在下列表格:
一般而言,上述线性系统可以被认为是鞍点问题,一个是鞍点矩阵(16]。是匆忙参数, 是一个点集,的惩罚参数矩阵,是约束系数,联盟后的惩罚参数,是惩罚参数后的联盟。
与上面的矩阵结构,相应的块对角预处理和块低三角形构造预处理: 在哪里块对角预处理和吗的下三角预处理程序块。
如果系数矩阵一个用以下形式是对称的,约束类型预处理器也可以构造: 在哪里约束类型预处理器和吗是一个对称矩阵,这是近似的价值 。
块对角预处理,可以得到以下结论。
引理1。如果用于预处理,系数矩阵 预处理后满足
这个定理表明,对角化的,最多四个不同特征值:0,1,然后呢 (17]。
当是非奇异,只有三个非零特征值。这表明当T是非奇异,维子空间是什么
维度的数量不超过3是初始残余。因此,维子空间方法是终止在最多3步骤(18]。
同样,对于子块三角形预处理器,我们有以下的结论。
引理2。集
如果 是非奇异, 是满秩,那么 矩阵的特征值预处理后等于1。
约束预处理器,可以得到以下结论。
引理3。让是一个对称的不确定矩阵在以下形式: 在哪里 是满秩, 是对称的, ,和代表是非奇异。让 是一组基地的零空间B,也就是说, ;然后,具有以下属性:(1) 有2个n特征值为1。(2)剩下的米−n特征值满足下列广义特征值问题: 在哪里剩余矩阵和吗是系数。
2.2。应用研究
以下三种预处理方法应用于对称代数线性方程。让方程编写如下:
让 在哪里代表的系数,代表了质量矩阵的对称正定,和的质量矩阵是对称的,然后呢拉格朗日函数的驻点(19]。
然后,一个可以写成
线性方程(10),块对角块底部三角形预处理器表示如下:
对于约束预处理器,选择 在哪里l是约束矩阵。然后,列成为零空间B, 在哪里Z是一个零空间向量。的具体形式是
3所示。预处理的不对称代数线性方程
在本节中,正定线性方程组的预处理进行了研究。BCG法及其cg法典型不规则不对称线性方程组的收敛行为。Freund,不能提出quasi-minimal剩磁法(QMR)补救BCG法的收敛和生产顺利收敛曲线。然而,像波士顿咨询集团法、QMR方法使用系数矩阵一个和换位,向量的乘积。为了解决这个问题,弗洛伊德提出了TFQMR方法,quasi-minimum剩余工资的财产和不使用在和向量的乘积。它是一维子空间算法和在实验中表现良好的解大型稀疏线性方程(20.- - - - - -26]。
为了提高研究生院理事会的收敛方法,Fokkema等人延长了cg方法和推导广义cg方法,叫做gcg的方法。gcg方法有效地改变了cg法和BiCGSTAB法的收敛性。在同一时间,两个新方法,CGS2 SCGS,派生的,但是他们没有quasi-minimum盈余,导致不规则的收敛行为对于一些复杂的问题(27,28]。在本节中,quasi-minimal残差引入gcg方法,产生QMRGCGS方法。这种方法包括TFQMR法和QMRCGSTAB法作为特殊情况。与此同时,两种新方法,即QMRGCGS2法和QMRSCGS法,推导基于QMRGCGS方法。
3.1。gcg方法
方向数量 作为初始方程解吗 ,和它的残余向量 。的残余向量nth BCG的迭代方法 。它可以表达的形式 ,在哪里 和 。的残余向量nCGS的th迭代方法 。的残余向量ngcg的th迭代方法是不同于美国研究生院理事会的方法,及其表达式 。其中,仍然是BCG多项式,BCG多项式的近似形式,因此gcg方法可以推导,并给出gcg的算法1(29日]。
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在算法1,以 然后 ,美国研究生院理事会的推导方法。采取 , 和BiCGSTAB方法。相关使用BCG多项式, 和 相应地,在哪里 , ,然后GCGS2方法推导。当 , (是系数矩阵的最大特征值的倒数), ;当 , 和 ,所以,SCGS方法导出30.- - - - - -32]。
3.2。QMRGCGS方法
从上面的分析,可以看出,cg方法使用BCG多项式的平方,和gcg方法在此基础上扩展。使用BCG多项式和BCG近似多项式的乘积,gcg方法没有quasi-minimal残差(33,34]。因此,quasi-minimal残差引入gcg方法,和QMRGCGS方法派生(35,36]。
集 在哪里代表一个QMRGCGS函数,代表的是一个函数,代表的是一个函数, 在哪里代表QMRGCGS函数的对数方程,代表的是一个函数,表示一个函数。
让
根据算法1, 在哪里代表权重矩阵。所以,
让 在哪里代表了重量。然后,它可以写成 在哪里代表了函数矩阵,其中
对于gcg方法,以下关系。
因为矩阵和矩阵的订单k根据定义的 ,有以下方程: 在哪里表示一个向量和代表一组点体重。Quasi-minimal残差。从方程(26),迭代的结果 的步骤米可以写在下列表格,有一定的吗 ,这
因此, 在哪里 。事实上,方程(27可以选择)最小的。然而,由于是密集,其列向量并不相互正交,计算量太大,quasi-minimal残差。
作为一个权重矩阵, ,与方程(28)可以写成
让 二次最小问题的解决方案,也就是说,满足
因此,解决方案QMRGCGS方法可以表示为 在哪里满足方程(31日)。
应用于吉文斯变换 ,将和一系列吉文斯变换 。 转换成一个矩阵上三角形的形式,即
让的矩阵通过删除最后一行和的向量通过删除最后一个元素 ;然后,满足方程(31日)可以表示为
有
让 在哪里是一个最小的函数。然后, 在哪里 , 最后一个元素的向量 ,和的余弦 ;然后,
因此,
这样,预处理的结果的不对称代数线性方程可以获得。
3.2.1之上。QMRCGS2方法的应用程序测试
QMRGCGS2方法用于预处理后不对称代数线性方程。
方程狄利克雷边界条件 。网格的大小 , ,和 。在此基础上,每个元素的雷诺数小于1。生成一个稳定的离散方案通过使用中心差分格式(37,38]。图1显示了相对残余向量和迭代步骤获得通过使用cg, CGS2, QMRGCGS2 200步的方法。相对剩余规范 ,和初始值 。每两个迭代的工作量和存储QMRCGS2方法相等的cg法和CGS2法,所以k和n满足以下关系: 或 (39,40]。在图所示的迭代步骤1。
从图1可以看出,相对剩余CGS2规范,SCGS, gcg CGS,和GCGS2方法显示不规则收敛行为,而相对剩余QMRGCGS2方法的规范往往显示常规的收敛行为。也就是说,QMRGCGS2方法平滑收敛行为比cg法和GCGS2法(41- - - - - -43]。最后,CGS2和cg方法具有良好的性能选择比较他们的性能提出QMRGCGS2方法实际应用的问题。选择的实际问题是格勒诺布尔,来自Harwell-Boeing稀疏矩阵与广泛的应用背景。订单是115和非零元素的数量是421。相对剩余规范和迭代步骤获得的150步图所示的三个方法2。
从图可以看出2CGS2的相对剩余规范和cg方法在格勒诺布尔的实际应用显示了一个不规则的收敛行为,而提出的相对剩余规范QMRGCGS2方法趋于一个常数,即有一个流畅的融合方法。然后,计算预处理时间验证的有效性预处理。收敛性判据要求相对剩余标准小于可达。表1显示了收敛所需迭代和计算时间。这个问题在表1二维三温度能量线性代数方程离散化。网格节点的规模大小是8000 (160×53)。
根据表1,是100步时,QMRGCGS2方法的预处理时间15.36秒,CGS2方法是20.36秒,和cg方法是22.36秒。是500步时,QMRGCGS2方法的预处理时间34.23秒,CGS2方法是35.14秒,和cg方法是45.20秒。从测试结果可以看出,QMRGCGS2方法比研究生院理事会,和CGS2方法具有更快的收敛速度,表明更高效率的预处理方法。
4所示。结论
本文对称线性方程组的预处理,研究了非对称线性方程组,分别。实验表明,当步长是500,QMRGCGS2方法的预处理时间34.23秒,CGS2方法是35.14秒,和cg方法是45.20秒。QMRGCGS2方法顺利收敛行为和更快的收敛速度比cg法和GCGS2法。它提供了一种新方法求解非对称线性方程,具有一定的推广价值。
然而,在非对称线性方程组的研究,只有m-step多项式预处理数值实验已经完成。在未来的研究工作中,预处理程序的有效性时,应用于其他维子空间方法将被研究。摘要多项式预处理程序,如何选择最优值是一个值得进一步研究的问题。
数据可用性
和/或使用的数据集分析在当前研究可从相应的作者以合理的要求。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究是由中国自然科学基金会(研究模型的一类不确定非线性大系统分散控制)(没有。61503122)和解决河南省重点科技项目(不光滑非线性系统的智能控制及其应用程序)(没有。202102210142)。