文摘
研究了一般层次结构定义为一个无穷序列的偏微分方程始于Korteweg-de弗里斯方程及其修改版本。层次结构的一个重要特征是其高度非线性性质。在这方面,获得解决方案的成员等级制度造成巨大的问题。在本文中,我们提出一个方法允许建设的解决方案完整的层次结构。我们的方法是递归运算符的守恒律的层次结构。效率的方法证明了选择的例子。在某些情况下,我们获得snoidal解决方案。
1。介绍
Korteweg-de弗里斯(KdV)方程, 归功于荷兰数学家Diederik Korteweg和古斯塔夫•德•弗里斯(1895),是一个在浅水表面波的数学模型的起源有着悠久的历史。直到今天,KdV方程仍视为最重要的一个非线性偏微分方程,它有各种各样的应用程序(1]。它最初派生模型弱色散非线性水波的传播和作为模型方程任何物理系统在考虑2]。在大多数情况下, 的函数表示波的伸长在空间和时间(3]。
KdV方程(1)自然延伸到无限序列的非线性偏微分方程的可积solitonic字符(4),可以视为KdV层次结构的引发剂,用 在哪里表示全导数和表示对积分 。第二个层次的成员时 在(2),即。
注意,高阶 ,越来越多的非线性方程和高阶导数。
如果非线性项在方程(1)所取代 ,然后最重要的情况下除了当 ,是当 。该收益率所谓修改KdV mKdV方程,由(5,6] 这也可以连接到mKdV层次结构:
这里的情况 给的第二个成员mKdV层次结构:
完全可积的非线性方程,如KdV的层次结构,具有许多特殊的数学性质。他们感兴趣的由于他们的无限的守恒定律9和对称性10),bi -或tri-Hamiltonian结构,Painleve性质(11],松懈对[12)等。此类方程的求解与逆散射变换(13,14和副大臣的直接方法15]。上述KdV层次有本研究动机的重要性。
mKdV方程通过三浦KdV方程相关的变换,这地图KdV方程的解决方案的解决方案mKdV方程(16]。
KdV层次结构的一个例子是高阶水波模型,具有重要意义,他们起着至关重要的作用,特别是在研究物理系统和必要的材料特性需要操作波以期望的方式(17]。
在本文中,我们提出一个方法来解决整个KdV层次结构和扩展的方法包括mKdV层次结构。这是一个新颖的提议,我们所知,没有这样的奋进号出现在文献中。整个层次结构是高度非线性和高阶导数,从而构成一个极具挑战性的问题来解决。我们制定我们的方法基于变换的变量(来自点层次结构的对称性),有效地减少了偏微分成常微分层次结构。后者是连接到一个层次结构的转换守恒定律,和这个转换守恒律的知识形式解决层次结构的一般方法 。
本文组织如下。节2我们简要介绍一些理论考虑,部分3讨论了层次结构的一般性质。部分4包含的主要结果和我们的方法的描述,和部分5阐述了我们的方法的一些应用程序。部分6提供了一些替代方案。
2。预赛
确定的过程为任意点对称方程组是众所周知的(18]。考虑未知函数这取决于独立变量 ,也就是说, 和 ,与指数 和 。让 是一个非线性微分方程组,代表了的导数关于 。我们考虑下面的对称性: 给出的 在哪里适用于所有衍生品出现在方程通过一个适当的延长。电流 如果它满足守恒 在给定的方程的解决方案。方程(10)当地的守恒定律。
假设是一个对称的系统(7),是一个保守向量(7)。然后,如果和满足 对称据说是相关的吗(19]。方程(11Noether定理)是密切相关的,但在19),这是证明这个结果没有拉格朗日的存在。转换 KdV方程使建筑的拉格朗日密度(20.]这诺特定理可以适用的守恒定律。然而,我们选择研究KdV方程拉格朗日的缺失。
3所示。的普遍属性KdV和mKdV层次结构
一个标准的计算方程的对称(1),使用条件(9),表明它具有以下四个谎言点对称性:
第二层次的成员 ,或方程(3对称性)有以下三个:
如果一个重复的谎言对称方法更高的成员,很容易看到,层次结构(2)具有对称性 为 李氏括号关系 ,表中给出1。
一个类似的调查mKdV层次(5)给 有以下三个对称性: 和 具有对称性
像以前一样,如果一个重复的谎言对称方法更高的成员,很容易看到,层次结构(5)具有对称性 为 李氏括号关系表2。
如上守恒定律的层次结构,我们注意到一些有趣的性质。存在许多方法来计算守恒定律,我们选择乘法器的方法(21]。
下面是KdV层次结构的情况下 和 ,守恒定律在哪里 在哪里 。方程(1)具有以下三个守恒定律: 最后,
这些守恒定律也可以发现通过诺特定理如果问题是新配方具有拉格朗日。计算简单,但乏味。这些量的报告或其等价的出现在[20.,22),有(23]。
方程(3),也就是说, ,有以下两个守恒定律:
至于mKdV方程,方程(4)具有以下两个守恒定律:
同样,方程(6), ,的守恒定律
我们现在建立一个结果,是我们的方法的基础每个层次的守恒定律。正如我们所显示的,这样一个守恒定律可以解决操纵整个层次结构的所有值 。首先,我们建立了守恒的向量的层次结构(2)由以下定理。
定理1。KdV层次结构具有守恒的向量 在方程的解决方案(2),也就是说,a component of the conserved vector admits a recursion operator.
证明。守恒定律的假设
在哪里守恒密度和吗是守恒的通量。然后,从方程(2),我们有
在方程的解决方案(2),结果如下所示。
因此,守恒密度为每一个成员的层次结构
,而守恒通量
。最初几个层次的成员通量(18)
和(21)
证实了上述定理。
同样,我们可以证明mKdV层次结构的结果。
定理2。mKdV层次结构具有守恒的向量 在方程的解决方案(5),也就是说,a component of the conserved vector admits a recursion operator.
一个可以很容易地检查守恒的向量(24) 和(26) 来自这个定理。
在下一节中,我们给一个方法来找到解决整个层次结构。
4所示。一个方法来解决整个Hierarchy-Type我解决方案
继续,我们需要一个对称生成器被关联到一个守恒的向量一个给定的方程。基于前一节中,(14)和(17),我们注意到对称性和拥有各自的层次结构的所有吗 。特别是,我们观察到对称点 ,当应用于条件(11),是 对于第二个对称,
因此,两个对称满足条件的关系,我们得出这样的结论:他们与每一个守恒定律定理1,即,with any of the守恒定律KdV层次结构的成员。类似的结果适用于mKdV层次,在这里,我们得出这样的结论:相同的对称性与每一个守恒定律定理相关联2。
接下来,我们回忆基本定理在二级减速24,25),即存在的功能这样
转换后的守恒量可以表示为 在哪里和是连接到一个相关的对称相似性变量 。
自和相关的保守向量 ,我们考虑的线性组合 (是一个常数)获取相似变换 KdV层次结构,同样的, mKdV层次结构。
因此,我们可以建立以下结果 。
定理3。层次KdV方程的守恒量(2可以减少) 在哪里 。
证明。应用程序(32)给了我们 新变量,通过变换(33),方程(36)转换 为例,对应于(18)是由 为 ,和(21)的情况 是
定理4。层次mKdV方程的守恒量(5可以减少)
在哪里
,类似于定理的证明3。
同时,为此,的例子mKdV层次结构包括(24)由
为
,和为(26)是由
为
。
也就是说,上述结果可以用来找到对于任何的价值
,对KdV和mKdV层次结构。基于方程(31日),我们有
,
是一个常数。因此,我们减少了整个偏微分KdV和mKdV层次结构常微分层次结构。这些常微分层次可能会得到解决
。
5。I型解决方案
在本节中,我们说明了上述方法的适用性和理论建立解决KdV成员和mKdV层次结构。解决方案获得通过我们的方法4将被称为I型解决方案。下面,我们将 为了简单起见。
5.1。KdV层次结构
让我们考虑 在定理3减少的守恒的组件(38);也就是说,我们解决
我们发现这个方程有一个隐式的解决方案
假设我们选择的自由参数 ;然后,在积分(44评估) 其中EllipticF是第一类完全椭圆积分,和解决方案(43)成为 还是在原来的独立变量,通过扭转变换(33), JacobiSN是成反比的椭圆积分和双周期椭圆函数。这些解决方案图中以图形的方式出现1。
接下来,我们考虑第二层次的成员, ,在定理3减少的守恒的组件(39)。也就是说,我们解决
在这种情况下,我们发现两种解决方案的第二个层次,即。 或第二,
5.2。mKdV层次结构
这一次,让我们考虑一下 在定理4减少的守恒的组件(41);也就是说,我们解决
解决方案(51)是两种情况,即 其次,
后者可能在原始变量表示
这个解决方案在图2 d和3 d绘图2。
6。II型解决方案
如上所述,这两个层次承认守恒定律,如(19)或(22),独立的定理1和2。现在,我们不能抄写这些守恒定律定理与递归运营商完成定理1和2。尽管如此,一个功能仍有可能获得在这种情况下,使用相同的公式(32)和转换(33)或(35)。这将导致其他解决方案,我们称之为II型。
例如,在KdV层次结构,为(19)是由 为 ,和为(22)是由 为 。
至于mKdV层次结构, ,我们有为(23),是由 和为(25)是由 为 。下面,我们将探讨一些解决方案的出现功能。
6.1。II型解决KdV层次结构
相应的解决(II型解决方案55)产生一个隐式的解决方案
在这里,上面的积分等于
假设我们让 ;然后,明确解决方案(59)是 还是在原来的变量,
这些解决方案出现在图的进展3,他们在本质上是明显的周期性。
6.2。II型解决mKdV层次结构
相应的解决(II型解决方案57)有一个隐式的解决方案
积分计算
假设我们让 ;然后,解决(63年)是 或 的图示出现在图吗4。
7所示。结论
研究微分方程,方程是高度非线性的,拥有高阶衍生品几乎不可能解决。我们已经提出了一个方案来解决这个问题,帮助企业解决方案,特别是KdV和mKdV无限层次结构。
著名的(孤波)KdV方程的解决方案涉及到双曲正割函数(26),但Korteweg和de Vries cnoidal解决方案感兴趣,可表现的雅可比的椭圆CN函数(27]。考虑到数学雅可比SN和CN解决方案之间的关系, ,双曲正割,KdV上面和双曲正切函数,我们的解决方案 可能与已知的,但在这种情况下,已知的或相关的恢复解决方案验证我们的方法。至于KdV我们的解决方案 ,我们发现没有连接任何已知的结果。可以找到更多的解决方案。
在分析我们的解决方案,我们划分解决方案的两种类型:I型和II型。I型是最有趣的解决方案,因为它来自一个递归运算符在KdV的守恒律和mKdV无限层次结构。在这两种解决方案类型,对称和守恒的组件之间的联系的知识利用的基础,形成了我们的方法来减少阶偏微分的层次结构的一个普通的微分的层次结构。因此,我们的方法有许多重要的用途和可以扩展到解决其他无限层次结构。具体地说,它可以应用于任何层次结构的一个递归运算符,例如,Kaup-Kupershmidt层次结构。此外,它将会是很有趣的尝试研究非线性方程组与已知递归操作符,比如Hirota-Satsuma系统或非线性薛定谔的方程组。
我们的方法的一个优势是,它可以很容易地实现计算机代数程序如枫木或数学。一个缺点是,在高阶的等级,你可以努力解决减少守恒定律,因为涉及的计算过于和计算机代数程序可能耗尽内存来完成必要的计算。
已知的文献中,有许多的方法来解决成员KdV层次结构,例如,广义Kudryashov方法(28),双拉普拉斯变换(29日,30.)、微分变换方法(31日],tanh-expansion方法[32],exp-function方法[33), - - - - - -展开法(34]。我们的方法是递归运算符和保护法律援助的分析非线性偏微分的层次结构。我们所知,这是第一次研究构思的方法来处理整个KdV层次结构。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作获得金融支持南非国家研究基金会(118 047)。