文摘

本文是关于自适应共识不相称的混乱的分数阶可替换主体系统的问题。首先,我们介绍分数阶导数在卡普托和经典的线性分数阶系统的稳定性定理;同时,代数图论和提出了充分条件,确保部分可替换主体系统的共识。此外,每个代理使用本地信息的自适应协议设计和详细分析头目的共识。最后,给出一些数值模拟的例子显示了结果的有效性。

1。介绍

可替换主体系统研究各领域在过去的几十年中,如生物学、力学、物理学、发现了,最近,控制理论(见[1])。可替换主体系统的一个最基本的问题,达成共识的问题从不同的角度吸引了广泛的研究。共识的多重代理系统可以用来解决许多复杂的问题在控制社区和已广泛应用于传感器网络(见[2]),植绒(见[3(见[]),形成控制4(见[]),移动机器人5]),等等。一般来说,在多重代理系统中,共识意味着代理与任意初始条件收敛到期望的目标(位置、态度、速度、阶段,等等)的交互信息与其相邻的代理。在这些系统中,为了达到共识的条件,图论、矩阵理论,和经典的分数阶系统的稳定性定理,并在分类方面,一般有两种类型,与领导人和共识没有领导人共识;后者是更具挑战性的稳定和连接拓扑比前者(见[6])。头目共识,代理商选择适当的控制信号,这样他们的状态轨迹追随领导者状态,这可以通过本地信息交换的领导人和其他代理。2008年之前,大多数的文章可替换主体系统相关工作的共识integer-order动力学,如共识算法的一阶动态系统(见[7- - - - - -9])以及二阶动力学(见[10),甚至高阶动态系统(见[11])。然而,由于许多现象不能准确地解释为integer-order动力学,如高分子流体和多孔介质,分数阶模型的一个明显的例子是热流和温度之间的关系在半无限固体传热(见[12]);同样的,在自然界中许多系统可以更精确地描述和建模与分数阶动力学协调代理的行为(见[13,14]);例如,集团在脂肪运动的细菌和微生物环境(见[15])和协调潜艇在静水和陆地车辆的运动在桑迪,泥泞的或长满草的道路(见[16])中,此外,integer-order模型相比,分数阶系统可以提供一个很好的方法描述系统的特征;基于这些事实,研究分数阶系统已经成为非常重要的共识和完全检查第一次16- - - - - -18]。先后,共识为分数阶多重代理系统的收敛速度也进一步讨论(19)和(20.),提出分数阶的共识与varying-order可替换主体系统 。分数阶系统的共识问题输入延迟和异构的多重代理系统(21,22也检查了。

在分数阶多重代理系统中一个有趣的问题是,特工跟随领导者,领导者是一个特工,他的运动是独立于其他代理。据报道,这种模型是一种节能机制(见[23)),它被发现在许多生物系统,也可以加强组织沟通和取向。通过观察方法,可替换主体系统的共识与领导者是由二阶模型和追随者描述微分订单不到两个,这是有关(24]。在[25],头目的共识分数阶可替换主体系统在固定的拓扑结构进行了研究。

正如我们所知,有些部分动力系统的行为在本质上可以经常混乱。混沌系统是一类非线性确定性系统和描述众多复杂的和不寻常的行为。起初,人们已经发现,大量的分数阶微分系统表现出混乱的行为,如分数阶洛伦兹系统(见[26]),分数阶Rossler系统(见[27蔡]),分数阶系统(见[28陆]),分数阶系统(见[29日陈]),分数阶系统(见[30.])。因此,控制和分数阶混沌系统的共识已经引起了极大的关注。根据一种分类的导数,共识在头目混乱的部分系统分为两类。第一组的两个动态系统有相同的订单,这是介绍给相应订单系统,在第二组,两个系统的分数阶是不同的,也就是不相称的订单系统,它是可取的,通过运动控制、从动件系统遵循领导的行为系统。近年来,许多成功的尝试已经混乱的相应分数阶系统的共识,但在应用和实际系统中,两个混沌系统不一定被认为是同一个订单。相反,同一订单的方法一致的混沌系统不容易适用于共识混沌系统不同的订单,而且,不相称的订单系统有优势比前一情况。其中之一是,分数导数订单状态变量的从动件系统,这是共识,是摆脱了导数阶组件领导系统,这可以创建更多的灵活性在领导者和追随者的选择系统。因此,由于混沌系统共识的许多应用程序在数据安全性模糊系统(见[31日]),安全通信(参见[32]),市场信任对金融体系的影响(见[33]),研究和治疗某些疾病,如肿瘤细胞的研究肿瘤免疫的混乱部分模型(见[34])及其在神经网络中的应用来解决分数微分方程(见[35摘要]),激励我们应对不同的分数阶混沌系统的共识使用自适应控制。

自适应控制技术应用一些系统的识别技术来获取模型和使用这个模型来设计一个控制器(见[36])。自动调整控制器的参数在操作。

本文的其余部分组织如下。节2卡普托部分运营商,图论符号,一种相称和不相称的分数阶系统,和一些必要的引理和定理。节3主要的结果自适应混乱的部分可替换主体系统的共识 提出了。节4,本节提供了相应的仿真结果证明了该方法的有效性。最后,给出了结论部分5。

2。预赛

在本部分中,首先,代数图论的一些基本定义和卡普托部分运营商将提到。然后,部分系统与不同的订单和一些必要的引理和定理讨论了这种系统的稳定性。

2.1。图论

使用图表是最简单、最有效的方法来建模之间的信息交换与领袖和可替换主体系统因素代理。每一个图是一对 那 这是一组空和有限的节点和 是一组边缘图的节点连接到对方。图的每条边显示为一个有序 这意味着代理商吗可以将其信息传输给代理吗 ,但不一定是相反的。一个无向图的属性 意味着 。邻居节点的集合用 。图的边可以加权或失重。重量可以显示成本、时间、搬迁,或任何其他因素。加权邻接矩阵 的被定义为与负的条目 如果 和 ,否则。矩阵的程度是 ,在对角元素 如果代理的领袖和一个邻居 ,否则。拉普拉斯算子的矩阵 的加权图G被定义为 和 为 。

引理1(见[25])。对于任何一个无向图 ,矩阵 是正定如果至少有一个定向路径(领导人)的所有其他节点。而且,很明显,所有矩阵的主对角线上的元素都是积极的。

2.2。卡普托分数导数

目前,有几种不同的关于订单的分数阶导数的定义 ;卡普托和Riemann-Liouville (rl)部分运营商不同领域的两个最常用的部分动态系统。卡普托分数阶导数的主要优势在rl分数导数是,分数微分方程的初始条件和卡普托衍生品一样的整数阶的微分方程。因此,在这篇文章中,我们将采用卡普托分数导数模型可替换主体系统的动力学。卡普托部分的导数与订单可以编写如下(见[13): 在哪里 ,和γ函数:

为简单起见,卡普托导数由符号代替在这篇文章中。

的重要概念之一部分系统的稳定性理论,这些系统稳定的充分必要条件已经彻底研究(见[37,38])。对于这个对象,我们考虑下面的分数微分方程的线性系统: 在哪里 ,矩阵 表示部分的订单, ,为 ,和是分母的最小公倍数 。

定理1(见[37])。如果 ,然后系统(3)相应分数阶系统。在这种情况下,当且仅当系统渐近稳定 所有特征值满意吗矩阵 。

定理2(见[38])。如果不相同的相等,那么系统(3)一个不相称的分数阶系统。在这种情况下,如果所有根系统渐近稳定方程的 满足 。

3所示。主要结果

在本节中,不成比例的头目共识问题讨论了分数阶混沌可替换主体系统,和一个分布式自适应协议旨在取得共识,固定在一个无向的交互图。我们首先考虑不同的分数阶多重代理系统组成的代理和一个领导者。每个代理给出的动力学 和领袖的动态(贴上 )被描述的 在哪里意味着卡普托分数导数的秩序 , ,和 , ,和 代表的状态我th代理,领袖的状态和控制输入,分别。 系统矩阵和吗 表示非线性头目系统的一部分。

备注1。领导者的动态独立于他人。我们采取不同的非线性动力功能和分别领导和所有的代理。

定义1。头目共识的系统(4)和(5)将实现,如果每个代理 ,有适当的控制的 这样的闭环系统满足

定理3。考虑到头目多重代理系统(4)和(5), ,但是相等的,如果我们定义了分布式自适应控制律如下: 这样 在哪里反馈控制增益和吗最大的特征值吗 ;然后,所有代理追随领导者在任何初始条件。

证明。考虑下面的系统(4),现在,用从(7)(4),我们有 通过的分数阶导数从上面的关系,我们会有 让我们定义错误代理和领导人之间的状态 。的动力是 因此,根据定理1系统(11)是渐近稳定 我们选择因此,建立以下关系: 相反,从引理1,矩阵的所有特征值是负的,意味着 根据定义, ,所有的代理追随领导者从任何初始条件;它是足够的 。
该控制器的主要目的是将以下系统相当于领导系统,分数阶系统阶导数等于在两个系统中相应的状态变量。

推论1。考虑定理3在控制律(7)。如果 在哪里是最小的特征值的 ,代理没有追随领导者。

定理4。考虑到头目多重代理系统(4)和(5), ,但不一定是相等的,如果我们定义了分布式自适应控制律如下: 这样 在哪里反馈控制增益和吗和矩阵显示为最大的元素和矩阵的主对角线上的元素 ,分别。矩阵 和是图的拉普拉斯算子矩阵和矩阵和雅可比矩阵 ,分别。然后,所有代理追随领导者在任何初始条件。

证明。考虑系统(4),假设 ,现在,通过替换从(16)(4),我们有 现在,如果我们定义错误代理和领导人之间的状态 ,的动力学是 利用泰勒展开式 ,得到下面的语句: 结合方程(19)和(20.),我们有 因为,并不认为是相等的,所以根据定理呢2,所有的根方程的 满足 在这得到如下: 所以,在至少一个方程 。假设 得到n复数的“th根;我们有 相反,所有矩阵的主对角线上的元素都是积极的,可以看到,如果关系是什么 ,然后条件 在所有情况下,因此,建立了稳定性条件。

推论2。考虑定理4在控制律(16)。如果 然后代理从不追随领导者。

备注2。这个案子 和不一定是相等的;最初,使用控制器(7),追随者的分数阶系统等于领袖的顺序系统;系统的共识,我们使用的稳定性定理4并选择从方程(15)。

4所示。数值例子

在本节中,提出了一些说明性的例子来验证的效率提出了头目共识的方法。第一个例子认为部分订单的情况 头目系统是不平等的,但是 是平等的和第二个考虑的情况下部分订单吗 在头目系统是相等的,但是不一定是相等的。第三个例子 和不一定是相等的,都被认为是在无向图。

例1。考虑一个可替换主体组成的混乱不同的分数阶领袖和三个特工,为了促进我们的解决方案的例子,不失一般性,我们假设 和 ,所有例子在这一节中。他们是领袖的状态变量和状态变量的特工令人满意 在哪里 和 。
假设洛伦兹系统(25)是领导系统(见[26])和蔡系统(26)是代理系统(见[28])。同时,假设描述的拓扑如图1。为了方便起见,我们 如果 和 ,否则。因此,拉普拉斯算子和矩阵如下: 一个简单的计算显示的最大特征值 是 。在模拟中,我们选择 ,领导系统的初始条件 和代理系统的初始条件 。在控制律(7),追随者的分数阶系统等于领袖的顺序系统;现在,根据(8),通过选择 ,我们可以看到三个特工追随领导者。错误如图的共识2。
现在,如果我们增加反馈控制增益从−0.1到0.75在上面的例子中,预计达成共识的速度将增加;换句话说,达到零误差将减少的时候,我们看到在图3。时间从5秒以上零误差降低到低于2秒。表1还显示变量的平均时间为零误差增加 。
同时,根据特征值是 在上面的例子中,如果我们假设 ,例如 ,我们将看到,追随者不追随领导者,如图所示4。这个例子给出了作为推论的证明1。

例2。考虑一个可替换主体混乱的分数阶领袖和三个代理组成。他们是领袖的状态变量和状态变量的特工令人满意 在哪里 和 。
假设陆系统(28)是领导系统(见[29日陈])和系统(29日)是代理系统(见[30.])。同时,假设描述的拓扑如图5。因此,拉普拉斯算子和矩阵如下: 在模拟中,我们选择 和领导系统的初始条件 和代理syttem的初始条件 。在控制律(16根据方程()和17),通过选择 ,共识发生在头目系统。错误如图的共识6。
我们可以看到在表2变量的平均时间为零误差增加在示例2。

例3。考虑示例1领导者和追随者的订单,除了系统 ,分别。现在,使用控制器(7),我们平衡两个系统的命令,然后,根据方程(17),我们选择 。共识提供了错误的数字7。
表3显示变量的平均时间为零的错误增加在示例3。

5。结论

在本文中,我们研究不同的分数阶系统的共识与自适应协议通过一个无向固定的交互图。因此,利用分数阶系统的稳定性定理以及图顶点之间信息交换的概念和相应的矩阵,几种类型的非线性自适应控制器设计适合条件的问题。如前所述在这项研究中,这些控制器设计的方式,应用控制器后,分数阶的所有代理不相称的头目多重代理系统等于领袖的分数阶系统,两个系统可以匹配。应该注意的是,在控制器的设计中,反馈速度系数和有效范围用于所需的系数被认为是。未来的研究包括研究自适应分数时延可替换主体系统和共识或时变通信约束。我们也可以扩大共识的条件在一个有限的时间。最后,实例和数值结果表明,使用适当的利率,可替换主体系统保证的共识。

数据可用性

使用的数据来支持这个研究的发现中提供这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。