文摘

Rickart定理指出,每一个双射的乘法布尔环的映射到一个任意的环必然是添加剂。我们证明的一个版本Rickart non-bijective映射定理。这使我们部分回答问题,被打开(Al Subaiei B。Jarboui, n的独异点Unital布尔环的自同态。2021公理,305)。

1。介绍

让和是任意联想环(不一定与身份元素)。一个映射的成这样 (职责。 )对所有 将被称为一个添加剂(职责。a乘法)的映射 成 。的问题,当一个双射的添加剂已经被Rickart乘法映射(11948年)。Rickart的这是一个令人惊讶的结果(1,定理),每一个乘法布尔环的双射的地图到一个任意的环必然是添加剂。因此,一些戒指乘法结构决定了环结构。Rickart结果吸引了许多数学家的注意。已经建立了一些概括由约翰逊(2)和马丁代尔(3)和利用emrk (4)的半群同构的标准算子代数上巴拿赫空间。其他一些结果的可加性算子代数之间的乘法地图可以找到在5- - - - - -7]。

在这项研究中我们的目的是双重的。首先,我们建立一个类似Rickart的结果,但不一定是双射的映射。第二,我们暂停部分回答问题是开在8]。我们证明任何乘法映射一个布尔环与身份到任意环特点2、令人满意 对于任何 ,必然是添加剂(见定理呢1)。我们恢复Rickart的结果但对布尔环与身份。例子1和2显示我们的主要的限制的结果。作为一个定理的应用1在推论,我们提供1,显式描述unital独异点的自同态 令人满意的 对于任何 ,在哪里是一个有限集合,是它的幂集。这部分回答了一个问题在[敞开8]。任何未定义的术语标准(9,10]。

2。主要结果

由布尔环(11),我们的意思是一个环每一个满足条件的元素 。不难证明,布尔环必然是交换和它的每个元素也满足条件 。布尔环可以,但不需要包含一个标识元素的乘法。1948年,Rickart证明(我的定理1]),任何双射的乘法布尔环的映射到一个任意的环必然是添加剂。似乎不是如此non-bijective映射。例如,映射 定义为 对于任何 ,在哪里是一个非零布尔环。我们要建立一个结果类似于Rickart定理。

定理1。让是一个与身份,让布尔环是任意环的特点2。假设 是一个乘法映射,考虑以下四个条件:(我) 是双射(2) 是内射,对吗 ,存在 这样 (3) ,对于任何 (iv) 是添加剂然后,(我)(2)(3)(iv)。

证明。(我)(二)是满射的,也就是说,对于任何 ,存在 这样 。
(2)(3)让 。假设存在一个元素 这样 增加双方的1)和使用这一事实是乘法, ,和 ,我们获得 类似地,两边乘以(1) ,我们获得 现在,我们声称 。事实上,集 。请注意,是等幂的,因为 。根据(1),我们有 。因此, 。这意味着当后者方程两边乘以那 。因此, ,因此, 声称。它遵循从(2)和(3), 和 。然而,随着是内射,得到 和 。因此, 。因此,方程(1)成为 ,根据需要。
言外之意(iv)(3)很简单。让我们证明(3)意味着(iv)。假设(iii)和让 。然后,通过假设, 请注意, 方程(5)遵循的事实 和 对于任何 自是一个布尔环。因此,使用这一事实是乘法,我们立即得到,从(5),以下方程: 然而,假设,我们有 结合(6)- (8)和使用这一事实 ,我们获得 作为 ,我们有 。因此,我们获得 结合(4)和(10),我们推断 注意,暗示(我)(iv)复苏Rickart定理但在域的情况与身份(布尔环)。

例1。这个示例提供了一个映射满足定理的假设1和显示含义(iii)(2)不持有。为此,我们是一个非零和身份,让布尔环 被定义为 ,对于任何 。很明显,乘法和加法。因此,条件(3)满意。然而,不是单射。
在示例2,我们将构建一个乘法映射一个布尔环到一个任意环2的特点,满足条件(2)但不是条件(我)。

命题1。让是一个非零布尔环,让的素理想 。让是一个任意的戒指, 。然后,下面的映射, 满足下列条件:(1) 乘法当且仅当吗 , ,和 (2)如果有一个身份 ,对于任何 当且仅当 (3) 添加剂当且仅当吗 和 (4) 是满射当且仅当 (5) 是单射当且仅当 和

为了证明这个命题,我们需要以下简单的引理。我们包括证据的完整性。然而,首先,回忆从[9,10),一个理想交换环的据说是'如果 和任何 这样 ;然后,要么 或 。

引理1。让是一个非零和身份,让布尔环的素理想 。然后,对于 ,我们有

证明。”“假设的矛盾 。因此, ,这是一个矛盾。
”” 和是一个典型的理想;然后,要么 或 。然而,通过假设, 。因此,一定, 。这就完成了证明。

命题的证明1。(1)“只有”部分,选择一个元素 和一个元素 。作为是乘法,我们得到了什么 和 。然而, 和 ,所以 和 。现在,因为 ,我们获得 。“如果”部分,让 。如果 或 ,然后 自是一个理想的 。因此, 。另一方面, 或 ,然后 或 。因此, 。现在假设 和 。在这种情况下, 自是一个典型的理想吗 。由此可见, 和 。因此, 。我们得出,是一个乘法映射。(2)假设 ,让 。如果 ,然后 由引理1。所以, 和 。因此, 。类似地,如果 ,然后 利用引理1。因此, 和 。由此可见, 。相反,假设 对于任何 。选择一个元素 。我们有 和 。因此, 。(3)假设是添加剂。由此可见, 所以 。我们需要证明 。选择 。我们有 。因此, 。这个收益率 。相反,假设 ,让 。如果 和 ,然后 。因此, 和 。所以, 。现在,如果 和 ,更不必说了, 。因此, 和 。因此, 。这个案子 和 可以类似的治疗。现在假设 和 。我们声称 。事实上,它遵循从引理1那 。因此, 声称。我们推断出 和 。这个收益率 。(4)这是微不足道的。(5)“只有”部分,选择一个元素 。作为 和是内射,那么 。因此, 。它仍然显示 。假设相反。由此可见, 所以 。选择 在 。平等 矛盾的吸水 。“如果”部分,假设 和 。然后, ,在哪里 。因此, ,这意味着是单射。

例2。让 是整数的环模2。让不一定是任意环(交换)包含一个幂等元素 和这样的 和 。然后,根据命题1, 和下面的映射, 满足下列条件:(1) 是乘法(2) ,对于任何 (3) 是添加剂(4) 是单射但不是满射吗

备注1。我们可以替换定理的假设”是单射”1(2)具有以下条件: 不过,我们可以轻松地展示,乘法映射 ,我们有 事实上,言外之意”“是显而易见的。让我们证明逆暗示。为此,我们 这样 。增加双方的方程通过 ,我们获得 因此, 。相反,增加双方的方程通过 ,我们获得 因此, 。由此可见, ,根据需要。
在下面,我们将保留相同的符号和术语在我们的论文8]。数据将由一个非空的集合和电源组的 。一组配备了对称差分像乘法加法和十字路口,布尔环是一个典型的例子。我们让表示环 。很明显, 和 。对于任何 (表示完整的转换的独异点 ),我们定义了一个映射 通过 对于任何 我们让 。也许最重要的结果(8定理1,即如果且仅当是有限的 。我们不能给一个明确的独异点的描述unital的自同态的 。不过,我们可以提供显式描述的submonoid:

推论1。以下语句适用:(1) (2) 如果且仅当是有限的

证明。(1)平等 是一个定理的直接后果吗1。(2)结合断言(1)和(定理18]。

数据可用性

本文所需的所有数据都包含在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是支持通过年度资金跟踪科研院长以来,研究生学习和科研的副总统,费萨尔国王大学、沙特阿拉伯(项目no.An000103)。作者要感谢院长以来费萨尔国王大学科学研究的财政支持。