文摘

我们描述和证明无游离地区的家庭称为“超几何ζ函数”和“部分超几何ζ函数”。这些无游离区域垂直条的复平面的一半。在证明过程中,我们利用积极的结果在振荡积分和实值函数的单调性证明这些无游离地区为两个家庭。

1。介绍

许多论文致力于研究ζ函数的零和无游离区域的位置(1- - - - - -3等)及其概括赫维茨ζ函数(4- - - - - -6),多个ζ函数(7),超几何ζ函数(8),和部分超几何ζ函数(9,10]。的家庭超几何ζ函数和部分超几何ζ函数的积分表示只知道作为经典的概括黎曼ζ函数通过积分表示。研究这些家庭ζ函数的开始在10,11),分别。在同一论文(10,11),作者发现的超几何ζ函数 , 和部分超几何ζ函数 , 可以继续分析整个复平面,除了有限的简单的波兰人在实轴上 除了无限的超几何ζ函数和简单的波兰人在实轴上 对部分超几何ζ函数。研究还发现在10),也简单的0在实轴上 在哪里是一个固定的正实数。这些零被称为分级超几何函数的琐碎的0。对于这些家庭,以下提出了开放问题(8- - - - - -10)如下:(1)狄利克雷级数的家庭承认吗?(2)家庭承认函数方程吗?(3)他们承认产品配方吗?(4)他们有重要的零吗?(5)他们有无游离地区吗?

关于无游离地区超几何函数的订单2,一些已知结果,和一些问题是敞开着,看到8,9]。

在本文中,我们调查的家庭无游离地区超几何ζ函数用 ,在哪里是一个正整数,小数的家庭超几何ζ函数的顺序用 ,在哪里是一个正实数,定义的积分表示,分别如下:

为 ,在哪里 泰勒(麦克劳林)指数函数的多项式和

为 和积极的实数 ,在哪里γ函数定义的吗

为 和 的下不完整的γ函数形式吗

我们观察到,如果是一个自然数,双方家庭都是一样的,尤其是,如果 ,家庭代表古典黎曼ζ函数。

为这些家庭找到0和无游离区域会变得困难而古典黎曼ζ函数是已知的在不同的表征,如狄利克雷级数、欧拉产品配方,和函数方程。在缺乏这样的不同表示,发现零和无游离地区完全躺在他们的积分表示。因此,在本文中,我们描述和证明无游离地区固定但任意自然数和固定但任意这样 正确的一半的复平面利用积极的结果在振荡积分和实值函数的单调性。

我们的主要结果如下。

定理1。固定自然数 ,让 。然后, 在 。

定理2。固定正实数与 ,让 。然后, 在 。

现在工作的结构如下。节2,我们回顾一些主要结果到目前为止关于ζ函数,超几何ζ函数,分数超几何ζ函数,和积极的结果在振荡积分和实值函数的单调性。节3,我们揭示和证明我们的主要结果和证明和零有空右侧半平面在垂直条吗和 ,分别。节4,我们给出一些结论和讨论。

2。预赛

我们的工作是一个延续的超几何ζ函数(11)和部分超几何ζ函数(10),首先,我们回顾一些基本结果ζ函数的有关这些家庭,其次,我们回顾积极结果振荡积分和实值函数的单调性,为了国家和证明我们的结果。

2.1。ζ函数的一些家庭的概述

定义1。黎曼ζ函数是一个复杂的函数变量 定义为一个无穷级数(狄利克雷级数),收敛 ,

为 ,经典的ζ函数也给出了积分定义的 在哪里 是伽玛函数。为 , 也定义为 在产品运行在所有质数 。这个产品被称为欧拉公式公式对黎曼ζ函数。因为一个收敛的无穷乘积零因素不是零,ζ函数不消失在正确的复平面的一半。因此,该产品配方的一个重要工具来证明黎曼ζ函数零自由在正确的复平面(实际上的一半 )。

著名的函数方程的黎曼ζ函数也是另一个重要的代表来定位零ζ函数的左边一半的复平面。它是由

定义2。的点 被称为“微不足道”的零ζ函数 ,和带 被称为关键地带。

关于里面的零的关键地带,推测,重要的零都必须位于“关键线” 。这种猜想被称为黎曼假设。黎曼ζ函数的泛化通过积分表示,我们有以下定义。

定义3。(见[11),定义2.1)。让是一个自然数 泰勒(麦克劳林)指数函数的多项式 。为 ,的订单超几何ζ函数被定义为

观察到当 ,我们得到了古典ζ函数 。它已被证明在11超几何函数)分析可以扩展到整个复杂的飞机,除了吗简单的两极 。上的超几何ζ函数零负实轴,和这些零被称为超几何的琐碎的零ζ函数。

关于无游离地区超几何函数的订单2,以下结果是已知的。

定理3。(见[8),定理1.1)。没有零的海顿及复杂的飞机吗 ,除了无限多的“琐碎”零负实轴,一个在每一个时间间隔 在哪里 是一个正整数, 非零的根源吗和 。

定理4。(见[93.4.2)定理和推论3.4.3)。让 与 和 。然后, 为 。

定义4。(见[10),定义2.1)。部分超几何ζ函数被定义为所有积极的实数吗和 作为 在哪里γ函数定义的吗 和 的下不完整的γ函数形式吗

观察到当 ,自然数,得到了超几何ζ函数 。

2.2。积极性积分的性质

命题1。(见[1),命题3.1)。函数 在 减少并严格减少一些开放的子区间的形式 对于一些非负整数 ,和积极的实数。然后, 此外, 对于任何 提供,满足上面的假设 取而代之的是 。

推论1。(见[1),推论3.2)。让是一个积极的实数 是这样的, ,对于一些正整数 。让 在 减少,严格递减区间的形式 对于一些正整数这样 。然后, 此外, 对于一些 如果 。

备注1。鉴于 ,我们可以 这样 在哪里 在 减少,严格递减区间的形式 对于一些 这样 。

推论2。(见[1),推论3.3)。让 和 是这样的, ,对于一些正整数,让 在 这样 减少在 ,严格递减 对于一些正整数 。然后, 此外, 对于任何 ,每当减少在 ,严格递减 对于一些正整数这样 和 。

引理1。让和非负可微的实值函数在一些领域这样减少在和增加在 。然后,该函数 减少在 。

证明。自减少,越来越多,我们有什么 在和 在 ,分别。因此, 在 ,因为 和他们的不同 。因此,减少域吗 。

备注2。如果和严格递减,严格增加,分别在一些领域是负的 ,然后 也严格减少在同一领域 。

3所示。无游离区域和

在本节中,我们证明无游离地区超几何函数和部分超几何函数 。

定理5。让是一个固定的自然数。然后, 在垂直地带

证明。为 , 重新安排上面的方程,我们得到的 应用积极性振荡积分的性质,把 ,在哪里 因为这个函数 减少在 和功能 增加在 为 ,由引理1,减少在 。此外,该函数是负的, 并严格递减的子区间 因为它实际上是严格递减 。因此,对于任何积极的实数 , 这意味着 因此, 。但是,然后 所以,它同样适用于 。
为 , 我们知道 对所有 和连续 。因此, 因此, 对于任何一个实数在哪里 。因此, 在 。这个垂直地带大致如图所示1。

定理6。让 是固定的。然后, 在垂直地带

证明。为 , 定义和分析的一半吗 。重新安排上面的方程,我们得到的 积极性振荡积分的性质,申请 ,把 并考虑的情况 。
在这种情况下,函数 减少在 ,和功能 增加在 。因此,由引理1,减少(实际上严格递减) 。此外,该函数是负的, ,并严格递减的子区间 。因此,对于任何 , 这意味着 这意味着 。但是,然后 所以,它同样适用于 。
为 , 我们知道 对所有 和继续 。因此, 因此, ,对于任何 和 。因此, 在 。这个垂直地带大致如图所示2。

备注3。垂直条的宽度和有以下属性。(1)垂直条的宽度是独立于为 。为 ,我们有古典黎曼ζ函数,在这种情况下,实际上,我们有一个无游离区域的右边 。(2)垂直条的宽度取决于 。观察到““从0增加到1不包括0和1,垂直地带变得越来越窄,最终成为一条垂直线。(3)作为减少从1到0不包括0和1,垂直地带变得越来越广泛,最终,垂直地带就变成了 。

4所示。结论

本文无游离区域描述和证明了双方家庭的超几何ζ函数和部分超几何ζ函数 。无游离区域垂直条为和为 。的宽度是独立的参数 ,和的宽度取决于参数 。我们有一些,但没有证据证明目前可以扩展的无游离地区和对左半部分和右半部分的复杂平面。我们不知道这些家庭的功能有重要的零,但是我们有一些证据,但目前没有证据证明尤其是分级超几何ζ函数可能有非平凡零点,配合经典的非平凡零点黎曼ζ函数。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现在相关地方引用文本中引用。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。