文摘
本文解决的主题整合拉普拉斯变换。作者旨在讨论它的存在通过探索和提供的功能整合拉普拉斯变换。此外,整合反常积分的比较定理提出了进一步解释和证明整合一些函数的拉普拉斯变换的存在。建立的独特性也是为了确定整合拉普拉斯变换的逆函数。此外,我们提出一个表整合拉普拉斯变换的一般功能。最后,作为一个应用程序中,我们使用符合拉普拉斯变换求解一些分数微分方程。
1。介绍
许多研究人员试图定义一个分数导数,Riemann-Liouville分数阶导数和卡普托分数导数(见[1- - - - - -7])。大多数的定义问题的数值解。然而,整合导数是一个自然的定义,给了我们一个简单和容易的解决这些问题。更多不同的应用程序整合衍生品,我们指的是(8- - - - - -15]。
许多研究人员使用拉普拉斯变换,因为它是一个操作工具解决很多困难的问题,如非齐次分数微分方程变量系数和部分初始值的问题。这个解决方案可以通过以下主要步骤。第一步是简化困难的问题,将其转化为一个简单的方程。第二步是转换后的问题获得解决方案通过使用理论部分和常微分方程。最后一步是逆拉普拉斯变换部分插入转换的解决问题的解决困难的问题。
2015年,Abdeljawad [9]介绍了整合拉普拉斯变换,这帮助我们解决几个强大的问题和分数微分方程。然而,没有研究的整合拉普拉斯变换的存在性和唯一性。因此,在这篇文章中,我们将证明一些结果的存在性和唯一性整合拉普拉斯变换以及一些新的想法关于这个话题。然后,我们提出一个表包含通常的整合拉普拉斯变换函数。最后,作为一个应用程序中,我们解决了具有变系数非齐次分数微分方程的使用符合拉普拉斯变换。为进一步整合拉普拉斯变换结果,看到16- - - - - -20.]。
2。整合拉普拉斯变换的基本知识
2015年,整合由Abdeljawad介绍了拉普拉斯变换(9]。
定义1。让
是一个实值函数
。然后,整合的拉普拉斯变换被定义为
提供了不可或缺的存在。
一个不错的结果之间的关系通常和整合拉普拉斯变换,给出下面的定理。
定理1(见[9,19])。让 是一个这样的函数 的存在。然后, 在哪里通常是拉普拉斯变换。
定理2(见[9,19])。让 , ,让 , , 和 。然后,(1) , 。(2) , 。(3) , 。(4) , 。(5) , ,在哪里和整合拉普拉斯变换的函数吗和 ,分别卷积的产物吗和 ,和是整合积分。
3所示。整合拉普拉斯变换的存在性和唯一性
的存在性和唯一性,通常可以在拉普拉斯变换(21,22]。当我们回到定义1,我们注意到积分定义一致的拉普拉斯变换代表了反常积分。这个函数据说有一个一致的拉普拉斯变换,如果反常积分收敛。这让我们思考的类型的功能整合拉普拉斯变换;换句话说,什么类型的功能保证了收敛的广义积分。
例1。我们需要调查整合的拉普拉斯变换的存在以下功能:
首先,使用定义1,我们看到,
反常积分的收敛,
是必要的。在这种情况下,
类似于
,我们获得
我们有
通过集成部分,我们得到
再次使用的定义1,我们发现
如果
,然后
这
这意味着
。反常积分的比较定理(见定理9下图)显示正确的积分的分歧意味着左边的散度积分。现在,如果
,然后
。同样的论证,左边是发散积分。因此,函数
没有一个一致的部分拉普拉斯变换。
前面的例子让我们的问题类型或类型的函数有一个一致的拉普拉斯变换。通过仔细检查的例子1(一),我们观察到
,积分是收敛和收敛的关键组件是函数的类型
。
更精确地说,如果是一个连续函数的话题
在哪里
和和是常数,那么这个条件收益率
自是连续的
,通过让
,我们有
另一方面,通过例子1(一)、积分是收敛的
。整合反常积分的比较定理(见定理9下面),左边的积分也收敛。也就是说,有一个一致的拉普拉斯变换。
定义2。一个函数,它满足条件(10)是一种功能与舒适指数阶无穷。图形化,这意味着的图像包含在该地区有界的图吗 和 为 。还请注意,这种类型的控件的负指数函数变换积分的积分从炸毁。如果 ,然后我们说功能整合和指数有界的。
定理3。任何有界函数为 是整合和指数有界。
证明。自是有界的
,有一个积极的常数这样
对所有
。但这是一样的(1),
和
。因此,是整合和指数有界。
提出的问题,可以在此级别如下:有可能放松连续性条件的函数看下面的情况?
例2。我们将表明方波函数图如图1有一个一致的拉普拉斯变换。
注意,函数是周期的2。自
,我们有
。但是,右边的积分收敛
,因此左边的积分收敛。也就是说,存在
。
前面的示例中的函数属于一个类型的函数,我们定义下一个。
定义3。(见[21,22])。我们说一个函数是分段连续在一个区间,如果间隔可以分解成有限数量的小区间,每个打开的子区间上的函数是连续的(即。子区间没有端点)和一个有限的限制端点(跳不连续和不垂直渐近线)每个子区间。
注意分段连续函数是一个函数,它有一个有限的休息时间,不会冲击到正无穷。一个函数定义为
据说是分段连续无限区间上如果是分段连续吗
对所有
。
接下来,我们将建立整合的存在对于所有分段连续的函数和拉普拉斯变换有整合指数阶无穷。为了这个目的,我们需要以下比较一致的定理。
定理4(整合反常积分的比较定理)。让和既符合可积的函数 受为 。如果是收敛的,那么也收敛。另一方面,如果是不同的,也是不同的。
证明。自从整合反常积分给出 更容易使用相同的方法证明的反常积分的比较定理。
定理5(存在)。让分段连续在 和有一个整合指数阶无穷 为 。因此,整合拉普拉斯变换 只要存在 。
证明。积分的定义可以分为两个积分如下: 自分段连续在 ,那里是有界的。通过让 ,我们有 现在,通过例子1(一)、积分是收敛的 。由定理9,左边的积分也收敛。也就是说,有一个一致的拉普拉斯变换。
备注1。上面的两个条件是充分的,但不是必要的存在。
例3。函数
,被定义在任何时间间隔
。这个函数是不连续的自
从右,极限
。然而,整合的拉普拉斯变换的存在。事实上,很明显不连续在0。
现在,整合的拉普拉斯变换来证明存在,我们必须计算它。
通过应用定义1,我们有
把变量的变化
因此,
这结果是必需的。
在下面,我们将表示所有分段连续函数的类与整合指数阶无穷
。下一个定理证明的任何函数的线性组合也在
。同样,这是两个函数的乘积
。
定理6。假设和两种元素的与 (1)对于任何一个常量和 ,这个函数 也是一个成员的 。此外, (2)这个函数 是一种元素的 。
证明。(1)很容易看到 是一个分段连续函数。现在,让 和 。然后,对于 ,我们有 这证明 是整合指数阶的无穷。另一方面, (2)很明显, 是一个分段连续函数。现在,让 , ,和 ,然后我们看到了 ,我们有 然后,是整合指数阶的无穷。由定理5,存在 。我们接下来讨论如何确定函数的问题如果,也就是说,如何反变换。以下结果独特性提供了一个可能的答案。这个结果之间建立一一对应关系及其整合拉普拉斯变换。另外,下面的定理保证了整合的拉普拉斯变换的一个成员是独一无二的。
定理7(唯一性)。让和是两个元素与一致的拉普拉斯变换和这样
对于一些
。然后,
对所有
在这两个函数是连续的。
分段连续函数整合指数阶在无穷远处的拉普拉斯变换是一致的
,我们称之为逆整合的拉普拉斯变换和写
。象征性地,
证明。标准的技术用来证明这个定理(即。,complex analysis, residue computations, and/or Fourier’s integral inversion theorem) are generally beyond the scope of an introductory differential equation course.
州,如果前面的定理是连续的,顺从的拉普拉斯变换吗
,还有没有其他的函数,具有相同的符合拉普拉斯变换。找到
,我们可以检查表一致的已知函数的拉普拉斯变换找到一个特定的收益率的给定
。
当这个函数不是连续的,符合拉普拉斯逆变换的独特性也得不到保证。下面的例子解释了唯一性问题。
例4。考虑到两个函数
和
(1)这两个函数相等
,因此它们不是相同的。(2)我们有
。因此,两个函数和拥有相同的整合拉普拉斯变换,即使它们是不相同的。然而,他们是相等的时间间隔上他们都是连续的。
整合拉普拉斯反变换满足线性属性显示在下面的结果。
定理8。给定两个整合拉普拉斯变换和 ,对于任何一个常量和 ,我们有
证明。假设
和
。
自
,我们有
我们结束这个与下表整合拉普拉斯变换对(见表1)。
4所示。应用程序
为了研究解决最困难的问题,就像一个非齐次分数微分方程的变量系数和部分初始值的问题,我们要探索以下定理。
定理(见[920.])。让 是一个实值连续可微函数 。然后,
定理(见[1020.])。让 是一个实值连续可微函数 。然后,
例5。考虑以下整合微分问题: 让我们使用一个整合拉普拉斯变换解决这样一个问题。一个写 让 。然后,方程(1)是减少到 这可以简化 自 方程解(33)是由 因此, 自 常数在第二项应该是零,也就是说, 应用逆整合双方的拉普拉斯变换方程(38),我们得到 这结果是必需的。
5。结论
作者在离散和连续动力系统引入了一个更一般形式的拉普拉斯变换来解决部分与部分运营商对系统动力学方程对另一个函数的函数。这个方法是更有效的尤其是在离散问题,因为整合拉普拉斯变换并不是唯一的。对于更多的细节,我们参考读者(23- - - - - -25]。然而,整合拉普拉斯变换给出了完美,简单和精确解中提到的例子5。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样这项研究。