文摘

本文证明Beurling-type定理适用于移位操作符的类繁殖分析希尔伯特空间。

1。介绍

让希尔伯特空间上的一个有界的线性算子 。一个封闭的子空间的据说是不变的如果 。在本文中,我们表示晶格的不变的子空间在 。泛函分析中的一个基本问题是描述的不变的子空间 。我们说分析(纯)吗如果 。如果是一个等距 和纯粹的运营商 ,意味着Wold-Kolmogorov分解定理 在哪里的正交补吗在(也称为的流浪的子空间在 ),和 是最小的不变子空间的包含 。最著名的例子等距和纯希尔伯特空间上算子如下:

让的空间由square-summable复数序列的集合。也就是说,

向量的范数是

让是开放在复平面单位圆盘 。哈代空间包括所有分析功能在幂级数交涉 - - - - - -复系数序列。这是 在哪里的空间分析功能在吗 。向量的范数 的被定义为 - - - - - -规范的 。下面的映射 显然是一个同构的到 ,然后是一个希尔伯特空间。让是单位圆的边界 。让 精确性的希尔伯特空间的功能对勒贝格测度,归一化,这样整个圆的测量是1。众所周知,之间存在着同构和封闭的子空间的由的 - - - - - -函数傅里叶系数为负消失。

很明显,单方面转移在是一个等距和纯粹的运营商,那么(1)适用于在 。另一方面,著名的Beurling定理(1]给出了不变的子空间的一个完整的描述在 ,也就是说,每不变子空间在除了的形式 ,在哪里是一个内部函数。Beurling定理也意味着(1)适用于在 ,所以在这种情况下,Beurling Wold-Kolmogorov分解定理的定理是一个特例。概括Beurling定理,对于一个有界的线性算子在希尔伯特空间 ,我们说Beurling-type定理抓住如果(1)持有。因此,Beurling-type定理适用于所有等距和纯运营商。功能分析的另一个基本的问题是找到一个nonisometric Beurling-type定理是否适用于运营商在希尔伯特空间。nonisometric运营商最著名的例子是移位操作符(也称为伯格曼的转变)在伯格曼的空间这是希尔伯特空间组成的精确性分析功能与勒贝格面积测量。

研究游荡伯格曼不变的子空间的子空间的转变告诉,流浪的子空间的维数范围从1到(见[2])。然而,的话,里希特,桑德博格(见[3伯格曼)发现所有不变的子空间的转变也由他们流浪的子空间。这揭示了伯格曼不变的子空间的内部结构和空间变成一个基本定理伯格曼空间(见[4])。后来,Beurling-type定理研究了许多数学家(见[5- - - - - -9])。在[8),Shimorin Beurling-type定理nonisometric经营者进行了研究在某种意义上接近等容(特别是,我们可以假设左可逆的),并证明了以下定理。

定理1 (Shimorin定理)。让T希尔伯特空间上的线性算子与属性。(我) ,和(2) ,然后 。

定义1。我们说Shimorin的条件抓住如果满足上面的条件(i)和(ii)(见[10])。
Shimorin Beurling类型定理给出了简单的证明定理伯格曼转变获得通过的话,里希特,桑德博格。第一步找到是否Beurling-type定理适用于nonisometric运营商在希尔伯特空间来验证是否Shimorin的条件拥有不变的子空间。总是很难直接根据定义验证1例如,复杂的再生核希尔伯特空间内核函数(见[11])。因此,我们希望提供一个方便的和可行的标准判断是否Beurling-type定理适用于运营商的转变再生核希尔伯特空间的一个类。
在[12),作者证明了Beurling-type定理移位操作符在bidisk希尔伯特空间由正序生成 。在本文中,我们主要研究再生核希尔伯特空间的Beurling-type定理。让是由正序生成的空间 ;即空间包括所有正式的幂级数 令人满意的 我们定义的地图在 作为 在哪里 和 请注意, 在当且仅 对于任何 ,然后很容易检查是一种内在的产品吗 ,所以是一个希尔伯特空间。让 它很容易看到 对于任何 。因此,我们称产生的再生核希尔伯特空间正序 。
一个幂级数 在会满足 因此,对足够大,我们有 。因此,收敛半径的令人满意的 因此, 将有一个收敛半径大于 提供 ,然后每个函数定义了一个解析函数在磁盘上的半径因此可以被视为一个空间分析功能在这个磁盘。
经典的例子如下。

例1。如果(1)如果 ,然后 , 。在这种情况下, ,哈代空间。(2)如果 ,然后 , 。在这种情况下, ,狄利克雷空间。(3)如果 ,在哪里 ,然后 , 。在这种情况下, ,伯格曼加权空间。特别是,当 , 伯格曼是经典的空间。(4)如果 ,然后 , 。在这种情况下, ,福克空间。让运营商的转变定义为 。请注意,是一个压缩算符当 因此,在本文中,我们假设是有界的 。我们给Beurling-type定理适用于判断的标准在(定理2),作为一个应用程序中,我们发现Beurling-type定理适用于运营商的转变在古典再生核希尔伯特空间的一个家庭。
接下来,一个重要的子空间的据说是不变的如果 ,也就是说,移位操作符是不变的吗 。以下是我们论文的主要结果。

定理2。让是产生的再生核希尔伯特空间序列 与 满足 然后对每一个重要的不变子空间的 , 。

我们注意到上述条件等价于下列条件:

也就是说,序列满足一些房地产的“凸”,方便得多验证Beurling类型再生核希尔伯特空间定理满足上述条件。

2。主要结果的证明及其应用

在本节中,我们首先证明我们的主要结果,然后给几个有用的应用程序类的古典再生核希尔伯特空间。

证明。(定理的证明2)让是一个重要的不变子空间的再生核希尔伯特空间 。因为它是封闭的,本身是一个希尔伯特空间的内积 。很容易看到 ,定理的条件(ii)1是满意的。鉴于 和 在 。自 我们获得

所以,我们有

通过定理的假设,我们 对于每一个 ,的收益率

它遵循从上面的(19)成为

因此,对于任何 ,我们有

另一方面,我们有

结合以上(23),假设 我们得到了 这意味着定理的条件(我)1也满意。因此,应用Shimorin定理我们完成主要结果的证明。

我们指出,定理的条件2只有足够的Beurling-type定理是正确的。例如,经典的狄利克雷空间是一个再生核希尔伯特空间生成的序列 。众所周知,如果是一个重要的不变子空间的 ,然后 和 (见[13])。然而,我们很容易看到, ,

然而,对于哈代空间或加权伯格曼空间的情况下,我们有以下两个推论,直接应用的主要结果。

推论1。任何重要的不变子空间哈代空间有财产 。

证明。因为经典的哈代空间是空间生成的序列 为 ,我们有 和 。因此,必然遵循从定理2。

推论2。任何重要的不变子空间伯格曼的加权空间 有财产 。

证明。当 ,伯格曼加权空间 生成的序列 ,在哪里 。因此,我们有 ,

自 ,然后 ,它相当于 因此我们有 结合(28)和(29日我们获得

此外,它很容易看到 和 ,因此我们有 自 。应用定理2然后我们得到所需的结论。证明已经完成。

我们这里的话Hedenmalm和朱(见[14)表明,Beurling-type定理在某些伯格曼加权空间可能会失败对于一些 。

让 ,在哪里 所有整数 。然后 是一个内核函数。因此,我们表示生成的相应的再生核希尔伯特空间作为 。没有损失的普遍性,我们可以假设生成函数收敛半径1。因此,是一个功能组成的希尔伯特空间分析功能单位磁盘上 。很明显,是一组标准正交基, 。如果 和 ,那么它的规范定义的 。

框架中再生核希尔伯特空间,如果我们把 ,然后 在哪里 。然后定理2可以重申如下。

定理3。让所产生的再生核希尔伯特空间 。如果满足 然后为每个重要的不变子空间的 , 。

如果我们限制自己生成的 在哪里 对于一些实数 。这些空间是在文献中也被称为加权狄利克雷空格或空间。为 ,如果 ,然后规范只是写成

让我们考虑 ,在哪里是一个实数, 。很容易看到是一个convex-up函数 当 。设置 ,我们有 为 ,由于 ,我们有 当 。从上面的讨论,我们得到以下结果。

推论3。如果是一个重要的不变子空间加权狄利克雷空间 ,然后 。

使用定理3构造一个,方便更多的再生核希尔伯特空间的非平凡不变子空间Beurling-type定理。作为一个例子,我们考虑一个积极的功能 为 ,在哪里 是一个常数。请注意, 自 ,然后是一个convex-up函数 。如果我们写 然后 ,我们有 和 。我们的主要结果的应用这种情况下,我们可以得到下面的结果。

推论4。让再生核希尔伯特空间生成的序列 在哪里 和一个非凡的不变子空间的 。如果 ,然后我们有 。

数据可用性

部分或全部数据、模型或代码生成或使用期间的研究可从相应的作者的请求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。