文摘
在本文中,我们介绍不同等效公式的变分原理。微分形式和多方面的语言被用来推导欧拉方程在自由坐标。因此,表达式是简单的和全球。
1。介绍
微积分的变异是最重要的部门之一,经典数学分析关于应用程序。微积分的基本机械变化引入的变化,小的变化函数和泛函,泛函,找到最大值和最小值,这是一种有用的方式发展的微分方程极值的任意微分形式的基础。欧拉是一个二阶常微分方程组的解是静止的点给定动作的功能。如果我们有一个特定的类的函数和每个函数 ,我们定义了一个函数通过 在哪里 。然后,有一个静止的条件如果欧拉微分方程: 拉格朗日表示满意 。流形几何理论的应用包括卷的性质的研究,曲率,和常微分方程组。在数学领域的微分几何和微积分,微分形式是一个多变量微积分方法,即独立的坐标。微分形式提供一个统一的方法来定义被积函数曲线,表面,固体,高维流形(见[1- - - - - -4])。伟大的优势在某些类型的计算,即使用外部微积分以微分形式来演绎一个表达式的欧拉方程。表达式将是简单的,全球性的,独立的坐标。这手稿安排如下。节2,我们在多方面介绍对称群的概念。节3,我们现在的微分形式。节4氮素形态,我们介绍一些例子。节5,我们推导出欧拉方程在自由坐标。
2。预赛
之前考虑到微分方程的对称群,至关重要的是,我们正确处理概念上简单的对称群代数方程组的“代数方程组”;我们的意思是一个方程组 在这 是光滑的实值函数定义在一些廖 。注意形容词“代数”只是用来区分这种情况下的情况下系统的微分方程;这并不意味着必须polynomials-just任何可微函数。一个解决方案是一个点 这样 ,为 。系统的对称群将是一个本地组的转换作用于的财产变换解决其他解决方案(见[5- - - - - -8])。换句话说,如果是一个解决方案,是一组元素,然后呢 被定义,那么我们要求 也是一个解决方案。是一个对称群,这组元素的功能,和这个群体的财产需要解决的另一个解决方案保护结构。这组至少有一个元素称为身份,用符号
定义1。让是本地群变换作用于多方面的 。一个子集 被称为G不变的,被称为对称群的如果当 和 这样 定义,然后 。
定义2。让是微分方程的一个系统。一个系统的对称群是一个本地组的转换作用于一个开放的子集空间的独立和相关的变量的系统属性,只要也是一个系统的解决方案。
D.E.的系统是一个系统的阶微分方程独立和因变量给定一个方程组:
涉及
,的衍生品关于到订单
可以被视为一个顺利地图的空间吗
对于一些维欧几里得空间。
定义3。(见[9])。让是一个本地群变换作用于多方面的 。一个函数 ,在哪里是另一个歧管和被称为 - - - - - -如果所有不变函数 和所有 这样 被定义为 一个实值 - - - - - -不变函数 只是叫一个不变的吗 。这样 ,是 不变的,当且仅当每个组件的 是一个不变的 。
定义4。让 是一个有界闭集。变异在是一个单参数的函数 ,在哪里 和 这样 表示
定义5。积分 被称为固定在上面的变化如果 我们表示体积元素
定理1。(见[10])。方程(7)是固定在任何变化 当且仅当满足以下欧拉方程:
证明。应用链式法则, 作为 ,在右边第二项可以表示为 让 在哪里 散度定理(9), 作为消失在 。因此, 所有variotion的 ,这意味着(14)满意。我们把变化 ,在那里 ,我们有 和 对于任意的 。
3所示。微分形式
在数学领域的微分几何和微积分,微分形式是一个多变量方法,微积分无关的坐标。微分形式提供一个统一的方法来定义被积函数曲线,表面,固体和高维流形。让是一个真正的向量空间的元素是用和所谓的“向量。”“余向量”,这是一个线性映射,通常用 ,的成 ,是实数。的空间余向量形式的一个新的向量空间叫做对偶空间(见[11- - - - - -14])。
3.1。对偶空间
如果是有限维的,一样的尺寸吗 。事实上,假设 是一个基础 ,也就是说,每一个元素 可以写在独特的形式:
系数 在这个扩张线性依赖因此定义线性形式 ,的元素 ,我们表示, 。那 形式的基础称为双给定的基础的基础 的 。也可以表现为条件如下:
一个 - - - - - -余向量上是一个映射 域的 - - - - - -元组元素的值的实数。我们可以表明这个符号 。
我们要求是多重线性,它在每一个变量是线性的 当所有人保持固定。另外,我们要求是反对称的, 改变信号邻近参数变更时,也就是说,
3.2。楔形产品
用一个产品形式 可以被定义为一个吗 - - - - - -余向量。它被称为外部产品和 。它在以下方式获得。
考虑 - - - - - -向量 。他们可以分配给一个数量
然而,这个任务并不skew-symmetrically取决于所有变量(参见[15- - - - - -18])。它可以通过交换变量和结果加起来,用适当的迹象。例如,如果 ,
请注意,从这个公式,
如果是一个常数, 了是吗 我们将定义 ,的收缩通过 ,或内积与 可以猜到的一般公式如下:
4所示。例子氮素形态
任何形式可以写成: 在哪里 被认为是一种基础的空间。
1-forms两种形式,3种:
我们需要定义一个产品(称为楔产品)在以下方式:(我) (2)如果和任何形式,然后 可以写成: 1-forms,我们给出了一些例子来说明两种形式,分别为3种。
例1。 然后,我们得到
例2。 然后,我们得到
例3。让 然后,我们得到
5。使用微分形式的变分原理推导
在本节中,我们将暂停证明微积分的基本机械的变异可以制定协调自由。作为定金,我们将获得一个有效的方式开发的微分方程极值的任意基础的微分形式。
定义6。 拉格朗日上只是一个实值函数 ,这是用 在哪里 在 , ,和 。
5.1。嘉当1
推导出欧拉方程在自由坐标我们使用嘉当1 -微分形式在 。这可以通过使用一个定义坐标系统。我们觉得它有用一个更一般的定义的一个任意的基础 微分1在一个开放的集合的 。采取下列指数和求和约定的范围。
因为没有可能是混淆,让同样表示微分形式在公开的子集 撒谎 ,通过拉回来,通过投影映射。当然,我们必须表示定义的实值函数 ,在 ,因此也在 。
无论如何, 形成了一个局部微分形式的基础 假设;然后,
现在, 和一个立即看到这降低了1,专业的情况 ,与 功能定义一个坐标系。作为一个独立的检查这个事实,让我们确认当不同的基础上保持不变的1-forms使用。假设 ,然后还 和 因此 表达的不变性 。我们国家的另一个属性 :如果 ,是一个曲线 ,如果 它是扩展曲线 然后
因此,通过提高空间 在坐着 ,我们已经将一个“非线性”拉格朗日“线性” 。这个过程提升到一个更高维的空间来简化几何对象的结构是典型的嘉当的整个微分几何方法。从上面的讨论,我们介绍下面的定理。
定理2。让一个曲线 在 是一个极值 ,欧拉方程 相当于 当且仅当它扩展曲线 在 是一个微分形式的特性曲线 。
证明。研究一个封闭的特性曲线形式与哈密顿雅可比理论或多或少是相同的。让我们找出这些条件显式(45),我们发现 在哪里的功能吗 现在 因此,条件 的特性曲线 。 因此,我们得到和作为独立的微分形式;因此,这些方程暗示的系数为零,也就是说, 而这些 年代欧拉方程的基础吗 。注意,在案例中, 是一组坐标函数的差异 为 ,它减少了(因为 )古典欧拉方程: 相反,如果对符号代替空间导数符号,方程 更一般的方程是非常有用的在某些机械问题(例如,在刚体动力学)的基础微分形式可以更容易找到比自然坐标系。
6。结论
在本文中,我们利用全球分析如微分几何的方法。我们推导欧拉方程,坐标的新表达式是全球和自由。旧的公式都受制于坐标。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
所有作者宣称他们没有利益冲突。
确认
作者要感谢院长以来嗯Al-Qura大学科学研究支持这项工作由格兰特代码:22 uqu4310382dsr02,由作者个人预算。