文摘
当地的径向基函数(rbf)为解决微分方程有很多优势。在这些径向函数,参数,对答案的准确性有着特殊的影响,被称为形状参数。在本文中,首先,我们推导出逆二次(智商)的RBF-generated有限差分系数对一些衍生品在一维(1 d)。然后,评估这些新效率也重量和形状参数的影响近似结果的准确性,我们将用一个合适的函数测试。之后,我们专注于解决边值问题(BVPs),使用IQ-based RBF-FD方法。有一个范围的形状参数近似误差小于其他地区。我们使用一个有效的算法来找到最好的RBF参数值问题域。我们的研究表明,IQ-based RBF-FD权重可以派生分析比multiquadrics (mq),以前的文献。此外,数值例子的结果证实这些新公式的精度高。为了更好的比较,我们重新审视一些以前研究说明性的例子。
1。介绍
有限差分一直的一个主要方法求解偏微分方程(pde),也许从1911年(25到目前为止。容易实现这些方法的一个有吸引力的特性,但是更少的几何灵活性是一个严重的缺点。尽管1971年罗兰耐寒,(18),建议径向基函数插值方法分散2 d数据,在1990年(20.,21],监察意识到rbf函数可以作为一个工具,方法衍生品,因此他打开一个新窗口求解偏微分方程,数值。
在过去的几年中,全球rbf视为数值方法解决pd。这些方法的一个最重要的特性是光谱精度,但他们通常导致一个大型的、坏脾气的,密集的线性系统,应该解决了。这些计算成本的一个重要缺点与全球rbf和强大的动力来构造一种新的meshfree方法。这个年轻的方法叫做RBF-FD是基于著名的有限差分格式和非结构化节点上可以实现分布和不规则域,利用rbf (10,15,16,26,33]。
RBF-FD方法进入了视野通过Tolstykh于2000年的一次会议上表示30.]。2003年,蜀等提出的两个重要的工作。28),再由Tolstykh et al。31日]RBF-FD方法吸引了更多的关注。这些本地方法放弃光谱精度但实现稀疏线性系统和更好的条件32,33]。
常见的一种方式来计算差分系数在古典FD方法是使用多项式。Tolstykh (31日)说,RBF-FD中的关键概念的方法是选择RBF interpolants近似衍生品在当地域使用一些邻居节点。因此,RBF-FD方法,像FD,一些分子形状或云会被考虑。在这里,我们使用这个词这样的云。
一般来说,RBF-FD方法包含以下步骤:(我)节点的一代。(2)定义每个节点的问题域,模板与邻近的节点的数量。(3)构建一个近似为每一个微分算子,利用未知函数的值的线性组合节点分散在模板。(iv)计算为每个模板或差分系数。(v)替换步骤(iv)中获得近似的衍生品,在PDE的每个节点,获得相应的最终系统。(vi)解决全球体系。
不同的节点,不同的rbf,不同的模板,模板也不同的方法找到邻居节点可能会影响效率的方法。一直有径向函数的重要的问题在任何情况下应该用于得到最好的结果。如果我们使用rbf方法包含一个形状参数,其值前应该明确计算权重。近似的准确性是非常依赖于选择合适的形状参数的值。
几个相关工作进行了形状参数Fassauer和张(11)和Fornberg et al。14]。Bayona等人在1)首先推导出基于mq RBF-FD公式,然后利用这些公式(2,3)推荐选择形状参数的两种不同的算法。在[2),他们引入了一个算法,给出了全局形状参数。这意味着所有的问题域,只是一个形状参数的值。在另一个工作,他们提出了一个寻找最优形状参数为每个节点,我e。,使用本地或节点相关的算法。有一些其他作品有关RBF-FD方法使用mq,高斯模型(GA)和逆multiquadrics (IMQs) [4,13,29日),但我们找不到任何有关当地逆quadratic-based RBF-FD方法。
因此,本文在接下来的部分中,我们简要介绍一下我们的方法。然后在节3,我们推导IQ-based RBF-FD公式,在那之后,使用这些公式,节4,我们构造RBF-FD方法和解决一些BVPs。在这一步中,我们使用的算法(2)寻找最佳常数形状参数。最后,主要结论和未来工作的建议。
RBF-FD方法仍在发展中,一些研究人员正在研究方法的不同方面。关于RBF-FD的更多的研究方法,有兴趣的读者被称为(5- - - - - -9,12,15,17,19,22- - - - - -24,27)和引用。
2。回顾RBF-FD方法和近似误差的一些背景信息
考虑狄利克雷BVP: 微分算子将近似节点 ,计算域 被认为是有界的,真正的功能和定义在和 ,分别。考虑一个模板形成的节点 。这些模板可以是结构化或非结构化。他们甚至可以为每个节点在不同的形状。本文我们将重点分析结构化模板。对近似在节点 ,我们将使用的值的线性组合在这些节点,即和节点周围。换句话说,我们可以把公式 在哪里未知的权重,计算方法。在传统FD公式,可以计算出未知权重的多项式插值。如前所述,我们将使用rbf代替多项式。然后,我们有 在哪里 是标准的兴趣点之间的欧几里得距离吗和一个节点和 是一个RBF包含自由形状参数 。
用(3)(2收益率)和做一些代数线性系统如下。通过求解该系统,我们将获得未知权重 。
生成的系数仅仅依靠间距的因素,是哪一个 。在随之而来的关系,我们假设是已知的。因此,权重会只依赖吗 。域的离散化的问题,我们使用一般节点,节点位于的边界和节点在 。近似的使用的关系(2)产生一个本地RBF-FD错误,我们使用的符号 为它。因此,如果我们更换(2)(1),一个节点 ,我们可以写
方程(5)可以改写如下:
在上述方程,是一个方阵的尺寸吗 。这个矩阵是sparce及其条目的权重 。向量收集内部节点的精确解。的值在(1),在每个内部节点,聚集在向量 ,最后,符号分配向量的局部近似为所有内部节点错误。
解决线性系统(6),我们可以获得近似所示的如下: 因此相应的RBF-FD错误的形式
现在,我们应该寻找一个特殊的的错误(8)应至少对一个常态。被提名为最佳常数形状参数和分配 。因此,使用无限的常态,我们有
因为确切的解决方案在实践中是未知的,(9),不能直接用于发现 。因此,我们使用(6)和(7),因此
当地的错误 ,将近似分析节吗3,是系列的权力扩张 。这些公式的函数和也包含及其衍生物。然后,估计及其衍生物,我们将使用有限差分近似 ,因此我们能够找到的价值 ,即最优形状参数的估计 。因此, 在这是一个估计 。
3所示。派生新的IQ-RBF-FD系数和局部误差估计
在本文中,我们使用逆二次方程式论(智商)作为径向基函数,因此
构造IQ-based RBF-FD公式来近似微分算子 ,我们第一次使用(4)来计算未知权重。如前所述,这些权重的功能和 。他们得到了使用数学分析。然后,我们使用它们来获得局部截断误差的解析表达式。在一个模板组成的节点,节点的局部截断误差被定义为
值得注意的是,我们使用的权重以泰勒级数的形式在权力的扩张 。确认关系获得的部分3.1和3.2,我们使用 用于(1基于mq的RBF-FD]测试函数公式。
3.1。IQ-RBF-FD重量和误差分析
IQ-RBF-FD公式近似在表1 d排序1。系列扩张有三,五,七个均布的节点。使用三节点模板的重量(13)和扩大 和 ,我们找到相应的局部截断误差
同样,5和7个节点,我们有
在图1相应的错误三5和7个节点(即。方程(14)- (16))进行了比较。该图显示了错误的函数的绝对值为 在节点 。很明显的图误差降低,当模板中的节点数量的增加。注意到有一个范围的值 ,IQ-RBF-FD公式的更准确。这些公式可以用来找到一个特定的错误 ,这导致误差最小。
3.2。IQ-RBF-FD重量和误差分析
表2显示了IQ-RBF-FD权重公式近似在1 d。在一阶导数,系列扩张有三,五,七个均布的节点。相应的错误
图2图是一样的吗1,但对于近似的错误 。再一次,我们看到错误减少增加 ,也有一个范围的IQ-RBF-FD公式的更准确。
我们之前提到的,获得封闭解的系数和误差,我们用数学。值得说的是,包括额外的节点到模板计算要求高。然而,我们的研究表明,使用智商比mq导致更少的计算成本。
4所示。的方法实现一些边界值问题
首先,使用结构化的节点,我们执行IQ-RBF-FD方法两个BVPs 1 d。因为这里的算法是一样的2),我们采用相同的例子更好的比较。我们的调查表明,应用最优形状参数估计基于智商比mq rbf导致更好的解决方案。我们将比较智商rbf的影响在一个二维的例子在均匀和分散分布。
4.1。第一个例子
考虑下面的狄利克雷BVP: 精确解在哪里吗 和相应的计算。域的离散化(19),我们使用结构化的节点。近似的二阶导数,让我们使用一个三节点近似。所以,当地的错误将是(17)。如前所述,因为在实际情况下我们不知道确切的解决方案,使用经典FD近似,我们估计(17)。因此,在(17),我们使用一个二阶中心差分近似的 ,所示的符号吗 。除此之外,和可以从右边(计算19),因此。所以,我们有
使用(20.)帮助我们估计当地的近似误差在每个内部节点,然后是向量 可以获得。
此外,使用(4),我们计算权重系数这是稀疏矩阵的条目吗 。现在,应用(11),我们可以找到 。对于这个目标,即。,estimating a specific最大限度地减少 ,我们使用Matlab命令 。最后,我们能够达到的最佳IQ-RBF-FD近似如下:
在我们的数值研究,显示新的IQ-RBF-FD方法的能力,无限的标准误差与下面的均方根(RMS)错误使用: 在哪里和通过精确和近似解点和是内部节点的数量分。
在表3,首先,我们报道了无限的古典FD解决方案的标准误差。在那之后,及其相关IQ-RBF-FD错误可以看到。结果比经典FD是非常准确的。除此之外,我们的IQ-based方法导致错误比基于mq的方法(2]。
4.2。第二个例子
考虑下面的稳定对俩散的问题: 精确解在哪里吗 。和第一个问题一样,我们使用三节点对俩散微分算子的逼近。因此,
在上述公式,与第一个示例中,我们使用一个二阶中心差分格式来实现作为精确的近似解 。然后,使用 ,我们估计通过二阶中心差分格式。对于高阶导数,我们使用以下关系: 在这是右边的24)。
做相同的步骤中提到的第一个示例中,我们获得的信息如表所示4。类似的问题(19),IQ-RBF-FD非常精确的结果,比报告的错误(2MQ-RBF-FD]。
4.3。测试方法一个二维的例子
在本文,我们的目标不是研究二维问题,但看问题的方法的适用性更高的维度和不同的节点分布,所以我们测试智商的使用功能在均匀和分散的节点分布模式在二维边值问题。考虑一个二维泊松问题如下: 在这拉普拉斯线性微分算子和吗和使用已知的精确解计算: 和问题域
结果采用方法问题(27)结构化和非结构化报告在表节点分布5。非结构化的节点生成是值得注意的,俩点。在表中,N代表总节点数的和c代表智商的形状参数的功能。结构化和非结构化模式中使用的模板包含5和11个节点,分别。可以看到,与总节点数的增加,提高答案的准确性。
5。结论
在本文中,我们使用逆二次(智商)径向基函数推导新RBF-FD公式。计算IQ-RBF-FD权重系数分析,更容易比MQ-RBF-FD重量(1为更高的节点。然后,使用这些加权系数,我们近似第一和二阶维的衍生品。展示这些新效率公式,我们测试在一个测试函数,获得很好的结果。之后,基于IQ-RBF-FD公式,我们建议我们的方法和实施一些边值问题。智商包含自由形状参数的径向基函数近似的精度是很重要的。当前工作的主要挑战是找到一个最优的形状参数,对近似误差应该最小。这样做是基于一个有效的算法(2]。我们获得非常准确的结果,同时也更好的错误比MQ-RBF-FD方法(2]。这似乎是一个好主意获得IQ-based RBF-FD公式更高的维度和不同的节点分布和实施其他问题在未来的工作。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。