文摘
我们考虑一个Hurwitz-Lerchζ函数 自然数字求和。我们提供一个分析继续封闭形式解和Hurwitz-Lerchζ函数的加法。一个新的复发身份与连续邻国和三角函数的乘积。
1。介绍
Hurwitz-Lerchζ函数在以下论文发表(1- - - - - -7]。本文的目标是一个新的表达式的推导过程和评价的有限和Hurwitz-Lerchζ函数 。这个推导表示两个Hurwitz-Lerchζ函数之和由下面的定理。
定理1。对所有 ,然后
证明。观察到的右手边的方程(3)和(4)等于方程的右手边(3)- (8),所以我们可以将左手边和简化γ函数产生规定的结果。
推导过程遵循我们所使用的方法(8]。这种方法涉及使用一种形式的广义柯西积分公式给出的 在哪里 ,和一般是一个开放的轮廓在复平面的双线性相伴8有相同的值端点的轮廓。这种方法涉及使用的一种形式(2两侧),然后乘以一个函数,然后双方需要的总和。这个收益率和围道积分。然后,我们两边的2)被另一个函数,把双方的无限求和,这样的线积分方程是相同的。
2。我们针对函数
3所示。推导的线积分
3.1。有限的围道积分之和
我们使用的方法(8]。削减和轮廓在第一象限的复杂 - - - - - -飞机与 。切割方法的起源从内部第一象限和趋于无穷时垂直等高线与零半径绕着原点,两边的削减。使用泛化的柯西积分公式(2),我们第一次取代 ,然后两边同时乘以 ,,把无限的资金 和 和简化的Hurwitz-Lerchζ函数 从[10)和方程(2)(11), , 为了总结收敛。我们应用Tonelli定理对于多总结,见189页(12]随着被加数有界空间测量 。
3.1.1。额外的围道积分
使用泛化的柯西积分公式(2),我们第一次取代 和两边同时乘以简化得到
3.2。无限的围道积分之和
3.2.1之上。推导第一围线积分
我们使用的方法(8]。使用泛化的柯西积分公式(2),我们第一次取代 ,然后两边同时乘以 ,,把无限的资金 和简化的Hurwitz-Lerchζ函数
3.2.2。额外的围道积分
使用泛化的柯西积分公式(2),我们第一次取代 和两边同时乘以简化得到
3.2.3。推导二围线积分
我们使用的方法(8]。使用泛化的柯西积分公式(2),我们第一次取代 ,然后两边同时乘以 ,,把无限的资金 和简化的Hurwitz-Lerchζ函数
3.2.4。第三围道积分推导
我们使用的方法(8]。使用泛化的柯西积分公式(2),我们第一次取代 ,然后两边同时乘以 ,,把无限的资金 和简化的Hurwitz-Lerchζ函数
4所示。有限的产品和递归表身份
在本节中,我们将评估(1)各种范围的相关参数和应用方法(13)获得涉及三角函数的递归的身份和有限的产品。
例1。退化的情况。
证明。使用方程(1)和组 和简化使用条目(4)以下(64:12:7)(14]。
例2。复发身份与连续的邻居:
证明。使用方程(1)和组 和简化。
例3。
例4。
证明。使用方程(1)和组 并应用该方法在部分(8)(13]。
例5。
证明。使用方程(1)和组 并应用该方法在部分(8)(13]。
例6。
证明。使用方程(1)和组 并应用该方法在部分(8)(13]。
例7。
证明。使用方程(1)和组 并应用该方法在部分(8)(13]。
示例8。
证明。使用方程(1)和组 并应用该方法在部分(8)(13]。
示例9。复发的身份与连续的邻居。
证明。使用方程(1)和组 和简化。
示例10。
证明。使用方程(1第二个方程代替)和形式通过并把他们的差异和集 和简化使用条目(3)以下(64:12:7)(14]。
5。结论
在本文中,我们提出了一种新颖的方法推导新的Hurwitz-Lerchζ函数的有限和自然数与三角函数和一个新的复发的一些有趣的产品标识使用轮廓集成。结果提出了数值验证真实和虚构的和复杂的参数值积分使用Mathematica Wolfram。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
信息披露
本文可以作为在arXiv预印本2204.03821参考号码。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究是由加拿大NSERC格兰特在504070年。