文摘

让 是一个简单的连通图。一组 如果没有两条边称为匹配有一个共同的端点。一个匹配的是最大的,如果它不能被扩展到更大的匹配 。最大匹配的最小大小称为饱和的数量 。在这篇文章中,我们证实了猜想Alikhani和Soltani饱和的电晕产品数量的图表。我们还的精确值 在哪里是一个随机匹配的图。

1。介绍

所有图表考虑连接并简单;也就是说,他们没有循环和多个边缘(1- - - - - -3]。符号和图论的术语,我们通过遵循11,12,15]。

让 是一个图。边的集合 被称为匹配的如果没有两个边缘是相邻的。一个匹配的边缘的顶点事件据说饱和通过(或 - - - - - -饱和);其他人则说不饱和(或 - - - - - -不饱和)。一个匹配的边缘满足所有的顶点被称为完美的匹配的 。如果不存在匹配在这样 ,然后被称为最大匹配的 。一个匹配的是最大如果它不能扩展到更大的匹配 。最大匹配的基数, ,和最小的基数最大匹配 , ,被称为“匹配的数量和饱和数量的 ,分别。

如果有最大匹配也是完美的(即。,如果 ),然后被称为随机匹配的。

最小最大拼毛已经广泛应用在实际问题。例如,应用最小最大匹配的相关电话交换网络提出了(4]。找到一个最小最大匹配是np困难甚至特殊的家庭图(如平面图形),[4- - - - - -6]。同样,一个可以找到一些边界不变(7- - - - - -10]。参见[10,12,13有关该主题的详细信息)。参见[11- - - - - -13)最近,Alikhani和Soltani提出以下猜想对电晕的饱和数量产品的图表。

推测。(14)让和有两个图和 。然后, 在哪里最大匹配的大小吗图的和的数量是 - - - - - -不饱和的顶点 。

在这篇文章中,我们证实了这种猜测。我们还将展示一些更有效的结果数量饱和的电晕图表的产物。

两个图, 和 。的电晕的产品的和 ,用 ,获得一份吗和的副本通过加入的每个顶点的副本 , ,到顶点的 ,cf。15]。在下面 , 显示了本在 对应于 。

2。主要结果

本节的第一个结果是在前一节中提到的猜想的证明。

定理1。让和有两个图和 。然后, 在哪里最大匹配的大小吗图的和的数量是 - - - - - -不饱和的顶点 。

证明。首先,我们证明了上界。让的最大匹配 ,和是一个最大匹配那 。另外,假设顶点 是 - - - - - -不饱和的顶点 。有两种情况 。案例1。 是一个随机匹配的。假设最大匹配在吗那 。集 在哪里是的副本 , ,在 。很明显,最大匹配在吗 。因此, 例2。 不是一个随机匹配的。因此,不是一个完美的匹配。假设是一个 - - - - - -不饱和的 。集 在哪里是复制的在对应于 。很容易可以检查最大匹配在吗 。因此, 现在,我们证明了下界。让最大匹配 。我们认为下面两例 。案例1。 没有任何边缘这有一个结束和一个副本 。因此, ,因此, 。例2。假设 是所有的边缘这样 和 。然后,为每个 ,我们有 。同时,对于每一个 ,我们有 。另一方面, 因此, 。
下一个定理给出了确切的价值 一些家庭的图表。

定理2。让是一个图 。如果是一个随机匹配的图呢

证明。由定理1,我们有 。然后,它能充分证明 。假设是复制的在对应于 。让是最大匹配 ,和是的副本 , ,在 。假设 和 。集 (更多的说明,见图1这是 。假设 。考虑最大匹配 。自是一个随机匹配的图呢 )。根据这个事实是一个随机匹配的图呢最大匹配在吗 。因此, 另一方面, 。因此, 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。