文摘

利用累进i型审查技术,本文将探讨如何估计未知参数α的幂指数分布(模仿)(i型个人电脑)。平方误差损失函数和LINEX损失函数是用来获得最大似然估计和贝叶斯估计未知参数,分别。这是我们打算使用马尔可夫链蒙特卡罗方法与贝叶斯估计策略。我们能够计算的近似精确置信区间参数的值是未知的。此外,我们讨论了可靠性和风险率函数的估计挑战的模仿而使用i型个人电脑,以及有关这些问题的近似置信区间。在最后一步中,获得的理论成果进行评估并与所有竞争对手的分布利用两个实际数据集代表工程和医学的学科。

1。介绍

许多应用程序在工程、卫生、金融、科学、和环境研究表明,这些分布描述大数据集的能力不足,促使公司额外的形状因素的分布。因此,这些分布不断扩展需要在这些领域取得重大进展。马达维和茶室1)建立了一个独特的方法来创建分布通过添加一个额外的众所周知的基线分布形状参数。采用指数基线分布,他们建立一个独特的扩展的指数分布称为α指数分布。

以下是概率密度函数(PDF)和累积分布函数(CDF)模仿的概率密度函数公式:

下面是一个表示相应的可靠性和风险率函数: 在哪里 , ,和 。注意,在本文的其余部分,假设 。

马达维和茶室1]研究了统计特性的模仿和使用最大似然(ML)的方法来估计未知参数下完整的样例。Nassar et al。2)的使用方法的时刻,百分位、最大间隔法的产物,加权最小二乘,L-moments, Anderson-Darling,普通最小二乘法,Cramer-von-Mises估计的参数下的模仿完成样品。

沙拉(3]研究了参数估计的模仿进步二型审查计划使用的程序(PCS-Type II)。沙拉等。4)认为是模仿的参数估计在ⅱ型混合审查方案(HCS-Type II)使用初速和期望最大化算法。同时,他们估计的可靠性和风险评估功能。此外,费舍尔信息矩阵是计算通过应用规则缺失的信息找到渐近置信区间。最后,Abo-Kasem和易卜拉欣(5]介绍了未知参数的估计问题,使用二型的模仿先进混合审查计划(PHCS-Type II)。初速和未知参数的贝叶斯估计基于平方误差损失(SE)和LINEX损失函数。他们建议应用马尔可夫链蒙特卡罗(密度)技术进行贝叶斯估计过程。此外,他们介绍了近似的和可信的未知参数的置信区间。同时,他们介绍了可靠性和风险率函数的估计问题的模仿PHCS-Type II和相应的近似置信区间。

审查数据发生在实际寿命测试试验时测试,包括测试的生命周期单元,之前必须结束收集完整的观察。审查方法普遍存在和不可避免的在实践中由于种种原因,包括时间限制和成本削减措施。众多文学审查系统已经解决,其中最普遍的是I型审查方案(CS-Type I)和ⅱ型(CS-Type II)审查方案。最近,一种更通用的审查被称为进步的审查计划(pc)已经拥有了相当大的兴趣在文学因其更有效地使用可用的资源相比,经典的设计审查。进步的i型审查计划是其中一个电脑。

实验过程中,该方法由扣除实现前缀编号对象从事情的总数仍在玩在预定的时间间隔的审查。它允许研究者在设计阶段通过允许更多的灵活性测试单位在非终结时期被删除。这和实践能力知道额外的自由的结束时间提供给研究人员。假设n单位是受一辈子的实验。

此外,我们会考虑 指定的生活单位从人口中提取,或者这个示例代表一个样本的物品或单位或产品的实验。让r是失败的项目,并允许审查逐渐显现出来米阶段有时 , , 在我审查阶段,在每个时间点 随机样本的对象是来自生存和远离进一步观察;因此, 现在,我们将假设 ,和是固定的和预先指定的。现在,我们将编写的似然函数,它可以写成以下方程:

这样是失败的我th单位在这个实验中,r是失败的数量,和c是一个常数,不依赖于参数。

许多研究人员最近研究这个问题估计基于pc i型分布的未知参数,使用初速和贝叶斯估计技术;例如,马哈茂德•艾哈迈迪et al。6),Algarni et al。7],Elbatal et al。(2021)8]。

这项工作的目的是检查i型电脑,每个单位有自己的模仿模型的一生。我们开车估计未知参数,可靠性和故障率函数下的模仿i型个人电脑。节2毫升和信息矩阵将讨论获得参数的渐近置信区间和估计的可靠性和风险率函数。此外,贝叶斯估计使用SE和LINEX损失函数将节中讨论3。我们使用两个真实数据集的应用程序部分4;同时,我们使用这些数据来确定模仿使用进步的i型的优越性审查计划,我们拟合的竞争对手相比,我们发现它胜过所有人。最后,我们总结论文部分5。

2。最大似然估计

假设这些n单位的寿命相同和独立的分布式(iid)模仿随机变量概率密度函数(1)被放在一个寿命试验。

使用一些简化,我们可以代入方程(1)和(2)方程(4)获得企业及其信息矩阵为模仿的未知参数。这个场景提供了的似然函数

从什么时候开始 ,指数分布(ED)对数函数。的自然对数似然函数(5)是

毫升的和的和可以通过将偏微分方程(6)对和为零。的偏微分 关于和是由

是指出似然方程,在这种情况下,不能明确地解决,所以的毫升和可以通过使用任何数值技术。

费舍尔信息矩阵,我们必须找到第二个衍生品通过使用上面的方程,我们可以很容易的找到这些偏导数。 在哪里

估计量的渐近variance-covariance矩阵可以很容易地获得如下:

因此,置信区间和 ,分别给出了基于初速 在哪里是标准正态表中的值。

3所示。贝叶斯估计

本节中的贝叶斯技术是利用来估计未知参数的模仿利用对称的平方误差损失函数和非对称LINEX损失函数。我们将使用独立的两个参数的先验见以下方程:

结合(13)和方程(5),我们可以很容易地制定联合后验分布是反映在以下方程: 在哪里

的边际后可以表示为 在哪里

以类似的方式,可以得到边缘后通过整合联合后对λ。可以通过使用以下公式: 在哪里

关于任何函数的贝叶斯估计量,如 ,提供的SE:

参数的贝叶斯估计技术是使用平方误差损失函数描述。

这些估计可以表示为 在哪里

模仿的贝叶斯参数估计和在LINEX损失函数 分别在哪里E(.)表示后的期望。简化后,我们有 在哪里

遗憾的是,方程(20.无法计算)。因此,我们建议最常用的近似获得贝叶斯估计和模型。

密度是一个计算机辅助采样方法。它使分布没有知识的描述所有的数学特性通过随机挑选值分布(Ravenzwaaij et al。9])。

关于pmmh算法的更多信息,请参阅Ravenzwaaij et al。9]。

3.1。后验密度最高(HPD)

未知参数和模仿,我们使用的数据表示方法和进步的i型审查策略产生HPD的间隔。现在,和是分位数的和 ,分别, 在哪里 ,对于一个给定的和 ,的估计量 可以评估如下: 在哪里指标函数。因此,估计可以写成: 在哪里 和 代表的值 。现在,对于 可以近似

HPD可信区间分布的参数可以写很容易使用以下公式: 为 ,在哪里代表了最大的整数,要么是小于或等于 。

4所示。实际数据应用

展示技术的适应一个真实的现象,我们研究许多应用程序使用两个真实数据集的工程和医疗行业。

4.1。电器数据

我们将评估实际工程无法无天的在这个应用程序中提供的数据(2011)。这个数据集包含所需的周期数60电气设备在寿命试验失败。表1列表和总结了这些失败。

之前从这些数据推断,我们适合模仿整个电器使用五个相互竞争的寿命分布数据集,即威布尔分布(WD)伽马分布(GD),广义指数分布(GED),第十二毛刺类型分布(BXIID)和凯文分布(LD)。相应的竞争模型(的pdf文档 )都写在表2。

Kolmogorov-Smirnov (K- - - - - -年代),Anderson-Darling (一个- - - - - -D),Cramer-von米塞斯(CvM)及其相应的拟合优度检验统计数据值是用来评估模仿的有效性。负对数似标准(缴送工作)和Akaike信息准则(AIC)也被用来评估这些分布的适合使用方程可以写 ,贝叶斯信息准则(BIC)可以使用 和Hannan-Quinn信息标准(HQIC)可以编写使用 ,在哪里 , ,和是样本容量,估计模型参数的数量和对数似函数,分别使用。显然,根据这些参数,最优分布的最小值是上述标准和最伟大的价值。“AdequacyModel”包由马里奥et al。15)是用来估计的参数分布调查和评估选择拟合优度指标。然而,模型参数和相应的派生毫升选择措施,连同他们的标准错误,计算和给定的表3。它表明,模仿寿命模型的最优分布所有安装竞争模型在数据集电器,最低的统计值和最大的善p价值。

此外,分布的拟合优度使用图形表示方法,我们画quantile-quantile (qq)情节的竞争模型使用描述点 在哪里的大中型企业 ,如图1。表3表明,猿猴模型goodness-of-statistic最低价值和最伟大的值拟合实际寿命数据,这使得它比其他拟合模型优越的文学。

此外,qq阴谋证实了我们的结果。得到一个更合适的说明,包括两块图2估计模型参数计算使用的模仿,LD, GD, WD, GED, BXIID;情节(a)描述了电器的直方图数据和合身的pdf文档,虽然情节(b)描述了安装和生存经验函数。见图2证实我们的数值结果,图形表示。

演示的存在和唯一性的ml估计,我们计算的等高线图,表现出对数似函数的两个参数模仿使用整个电器数据集,如图3。对数似函数的最大值是由一个点在最内层的轮廓。的坐标x点提供的毫升和这成为 和 。此外,它表明毫升存在,也是独特的。

现在,使用各种不同的值米,四个逐步i型审查样本构造基于表中的信息1。(阶段)和(幸存的数量单位是删除)(时间审查)参考选择分位数的 。表4包含这些生产样品以及相对应的技术审查。作为很好的应付Scheme-IV i型审查方案的一个例子,这可能被视为一种进步的i型审查通过设置的特定实例 为 和 。重要的是要注意,Scheme-IV提供完整的抽样,也可以认为是一种进步的i型的典型案例审查通过设置的值 为 和 。

毫升,获得贝叶斯模型未知参数的估计计算通过使用获得的数据集和描述表4。他们的标准错误,以及生存的特点和在不同的任务的时间,计算和报告在表5。获得贝叶斯估计使用SE和LINEX(用于开发 )功能。因为猿没有先前的信息是已知的参数,和 ,我们转向了贝叶斯估计,我们将使用援助MH算法的采样器,如部分所述3在noninformative先知先觉, 。然而,计算方便,我们设置所有hyperparameters至0.0001。获得30000年之后,我们生产样品和删除第一个5000重复老化。为了获得执行取样器方法,未知参数的初始值被认为是毫升。这种假设是为了方便。此外,双边渐近/ 95%可信区间的长度 , , ,和计算和列在表吗6。

从表5和6可以看出,未知参数的点估计和区间 , , ,和通过最大似然法和贝叶斯推理方法非常接近对方,如预期。此外,贝叶斯估计相对于对称或非对称损失函数有高效的工作相比从古典方法获得的标准误差和置信区间的长度,如预期。因此,提供的估计结果的综合数据集下电器对我们的模型提供一个令人满意的解释。为了评估是否获得25000输出聚集的地方,我们将使用的整个数据集电器和素描跟踪条件后验分布的情节 , , ,和如图4。在每一个情节,每个获得的样本均值跟踪情节,显示95% two-bounds BCI / HPD可信区间与固体(-),冲(- - -),钟爱( )分别水平线。

图5还介绍了边际PDF的估计 , , ,和连同他们的直方图,这是基于25000年连锁值并使用高斯内核。同样,每一个未知的样本均值参数表示为一个垂直虚线()在每个柱状图图形。估计显示,生产的所有未知的寿命参数后验猿模型非常对称,对应理论的后验密度函数。此外,基本特征等的意思是,中位数,模式,标准偏差(SD)和偏斜度(Sk)估计,在桌子上7bun-in后获得的后验分布。

4.2。头颈癌的数据

一个真实的癌症数据集,来自埃夫隆(16),研究证明各种建议估计可以用于实际的医学现象。数据集由45头部和颈部癌症患者的生存期接受放疗和化疗的结合。表8显示了类似这些癌症患者生存时间。Yadav et al。17最近研究这些数据。为了简化计算,我们原始数据除以10。

验证如果这些猿建模的数据分布,钴的距离有关p被认为是价值。首先,我们计算毫升(SEs)未知的参数和这是0.0098(0.0280)和0.0129(0.0086),分别。因此,K- - - - - -年代距离是0.1093,值0.617。这一结果表明,猿猴分布是一个合适的模型适合头颈癌的数据。再次,毫升的存在性和唯一性和 ,的等高线图对对数似函数和使用头颈癌的完整数据集显示在图中6。的坐标x点提供的毫升和分别是接近0.0098和0.0129。此外,我们可以得出这样的结论:毫升和是存在的,也是独特的。

使用完整的头颈癌患者的生存时间,根据不同的选择 , ,和为 ,不同的四个逐步i型审查和样品相应的审查计划生成和展示在表9。再次,i型审查(Scheme-IV)和完整的抽样(Scheme-V)方案可以获得进步的i型审查如果把特殊情况 和 。因此,SEs的ml和获得贝叶斯估计 , , ,和在时间 计算和列在表吗10。

何时使用MH算法采样器 ,获得贝叶斯估计发达。然后,我们产生30000获得样本,然后,第一个5000次迭代老化期。同时,双边渐近/ 95%可信区间的长度 , , ,和计算和列在表吗11。表12包含的密度统计 , , ,和 。重要参数的统计信息也从25000年生成的样本值计算。通过使用进行评估R统计计算机语言和两个有用的统计软件包由Elshahhat建议和纳塞尔(18),即“终结”包,用于执行计算的密度建议由普卢默et al。19),和“maxLik”包,用于执行计算的N-R最大化Henningsen和Toomet[提出的方法20.]。

一般来说,获得贝叶斯模型未知参数的估计显示使用传统的技术比派生标准误差和最小的置信区间。此外,密度算法的收敛检查通过调优的方差的帮助下生成的序列随机偏离。发现生成的样本认为提议分布能够混合好与他们的样本均值和95%置信BCI / HPD可信区间,如图7。这是一个从这次考试的结果。图8显示边缘后验密度模型参数的估计,可靠性、故障率函数,以及他们的直方图。这些估计使用高斯计算内核和基于样本大小为25000。计算非常清楚,所有的边际分布非常接近对称。此外,这个数据集的结果验证了结论,我们到达的数据集电器。

5。结论的话

研究认为猿寿命模型的参数估计的困难,可靠性和故障率函数在i型个人电脑。毫升的未知参数和任何函数计算,及其渐近置信区间。的后验密度函数不能计算在封闭形式由于似然函数的复杂性的公式。因此,独立伽马先验的假设下,考虑到SE和LINEX损失函数,构造贝叶斯估计和伴随HPD可信范围使用pmmh方法。评估不同的行为估计,电器和头颈癌数据进行了研究说明提出方法的实用性在实际现象和提供最佳的审查计划。最后,我们希望这里介绍的结果和方法将宝贵的从业者的可靠性和/或可用于其他审查策略(21]。

数据可用性

所有数据都包含在纸上。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究是由塔伊夫大学的研究人员支持项目(TURSP-2020/279数量),塔伊夫大学,塔伊夫,沙特阿拉伯。