文摘

LA-module非结合结构,扩展模块在一个非联合型称为几乎环(LA-rings)。因为LA-ring特有的特征及其《盗梦空间》的非交换和非结合理论,引起了许多研究者的关注过去十年。在这项研究中,投影的思想和单射LA-modules LA-vector空间,以及例子和结果,进行了讨论。我们构建一个非平凡的例子的证明,如果LA-module不是免费的,那么它不能被一个射影LA-module。我们还构建自由LA-modules LA-modules中创建一个分离序列,并展示几个结果相联系。我们已经证明LA-modules射影定理基础。同时,分割序列投影和单射LA-modules借助各种命题和定理讨论。

1。介绍

Kazim Naseeruddin提出了离开的想法几乎半群(1]。如果一个广群 满足 对所有 ,左invertive法律,那么它称为LA-semigroup。Abel-Grassmann广群(缩写为AG-groupoid)是这个结构的另一个名称(2,3]。结构中存在一个交换半群和广群被称为一个AG-groupoid。LA-semigroup一直延伸到几乎集团(香格里拉集团)Kamran [4]。广群 被称为左几乎集团(香格里拉集团)如果有左身份 (这样 为每一个 ),和 ,将会有 在 意味着 。同时,离开invertive的律法尽都真实 。左侧几乎集团,尽管非结合结构,熊一个交换组织一个有趣的相似之处。

许多研究人员发现了各种有价值的结果LA-semigroups LA-groups由于非光滑结构发展。与这些思想,介绍了左几乎环理论(5]。的副产品LA-semigroup和香格里拉集团是左几乎环(LA-ring)。由于其独特的性质,它逐渐发展为一个有用的非结合类和一个像样的贡献非联合型环理论。一套非空的 至少有两个元素是LA-ring如果 是香格里拉集团, LA-semigroup,左右分配法都感到满意。例如,我们可以得到LA-ring 从交换环 通过声明 对所有 和 一样的戒指。

沙和拉赫曼LA-rings的扩展研究6]。沙和拉赫曼7检查某些特性的LA-rings使用他们的理想,因此,理想的理论可以是一个好地方开始研究模糊集和直觉模糊集。Mace4已被用于特定的计算任务,和有趣的和有用的LA-ring属性检查(8]。在[6),交换半群环的概念是使用LA-semigroup和广义LA-ring。此外,沙和拉赫曼也开发LA-module的概念,这是一个其它非联合型结构接近阿贝尔群。因此,研究这个代数结构非常相似研究模块从根本上交换组织。沙et al。9]在LA-modules的主题做了额外的工作,建立各种LA-module同构定理和直和的结果。Alghamdi和Sahraoui10)开发和构建了一个张量积的两个LA-modules最近,从普通的张量的简单结论扩展到新的场景。在[11),通过定义精确的序列,Asima Razzaque等人研究LA-modules补充道。沙et al。12)提出了一个完整的调查和非结合现有文献的进步和非交换戒指,以及他们的一些不同的列表在不同领域的应用。最近,拉赫曼et al。13]介绍的概念neutrosophic LA-rings。2020年,Razzaque et al。14),从事软LA-modules通过定义射影软LA-modules免费软LA-modules软LA-modules分割序列,建立投影各种结果和单射软LA-modules。Abulebda (15]讨论了均匀原始子模块/非交换环和广义'避免定理模块/非交换环的统一原始避免定理模块。在[16],Groenewald在弱'和弱2-absorbing模块/非交换戒指。他引入了弱m-system特征弱'激进弱m-system。核和山姆在[17]介绍了VIC-modules /非交换戒指。他们被证明是一个扭曲的同源性稳定 与 一个有限的非交换环。非联合型环形结构被引入外部表面富集。拉赫曼等人(2017年18]LA-hyperrings的概念。通过他们的hyperideals hypersystems,他们调查各种LA-hyperrings的重要特征。Massouros和Yaqoob19]介绍了代数结构的研究,左/右几乎组,和超群配备倒结合性公理,他们分析了这些特殊的代数性质非结合外部表面。我们参考读者看到如果他们想了解更多关于LA-rings [9,20.- - - - - -23]。

一些领域的进一步发展模块是由安萨里和哈比卜(24)通过定义他们的图戒指。他们调查之间的关系用图属性和代数性质的模块。此外,Madhvi和Talebi定义子模块的小路口图(25]。此外,Abbasi等人提出了一个新的图与模块在[交换戒指26]。他们看一些代数特性之间的联系的模块和图形。对于特殊的子图的完整性,他们给了一个拓扑特征。此外,2017年,Rajkhowa和Saikia工作图的非交换环通过定义非交换环的总指示图(27]。更多的研究戒指的图表和图形模块的戒指,我们建议读者研究[28- - - - - -34]。

在这项工作中,我们引入投影的概念和单射LA-modules LA-vector空间,以及例子和发现,在非结合和非交换戒指。我们构建一个非平凡的例子的证明,如果LA-module不是免费的,那么它不能被一个射影LA-module。我们还构建自由LA-modules LA-modules中创建一个分离序列,并展示几个结果相联系。我们已经证明LA-modules射影定理基础。同时,分割序列投影和单射LA-modules借助各种命题和定理讨论。

2。背景

2011年,沙等。9]提升LA-module的概念在一个LA-ring中定义(6),并进一步建立了子结构,操作子结构,及其LA-submodule LA-module的商。他们还表示nonsimilarity LA-module通常的概念的一个模块交换环。沙et al。9]LA-modules上做更多的工作,证明许多同构定理和建立一个直接的和LA-module发现。Alghamdi和Sahraoui10)最近开发和构建了一个两个LA-modules的张量积,从普通的张量的简单结论扩展到新的场景。在[11],Asima Razzaque等人的贡献研究LA-modules通过定义的序列和序列。

在下面,我们将复习一些基本定义和发现LA-modules有关。

定义1(见[6])。让 是LA-ring离开身份 。 一个香格里拉集团被称为LA-module结束 ,和一个地图 定义 ,在哪里 , 满足(我) (2) (3) (iv) 对于每一个 , 。

或者简单地 剩下的缩写是 LA-module。 表示正确的 LA-module,同样可以被定义。

沙和拉赫曼6)发展的一个重要的例子LA-module下面的例子。下面的例子显示,每个LA-module不是一个模块。

示例1(见[6])。我们交换半群 和 与左LA-ring身份。然后, , 所定义的 成为一个LA-module。

定义2(见[9])。考虑到离开 LA-module 。然后,阿贝尔LA-subgroup 在LA-ring 剩下的 LA-submodule,如果条件 认为,这意味着 为每一个 , 。

定理1(见[19])。 是LA-submodule ,在哪里 和 是一个的LA-submodules LA-module吗 。

定义3(见[9])。 如果对所有被称为LA-module同态 和 ,在哪里 和 在LA-ring LA-modules 。(我) (2)

定理2(见[9])。如果下列语句 LA-module同态:(1) 的LA-submodule ,在哪里 是LA-submodule (2) 的LA-submodule ,在哪里 是LA-submodule

命题1(见[35])。 和 子的 ,在哪里 是一个非空的子的家庭。

定义4。在[35),读者可以看到短的序列的定义。

命题2。在[36),读者被称为一个命题之间的关系的序列,单型性,满同态和同构的模块。

定理3。(37)每一个自由离开 模块有一个同态象在每一个离开了 模块。

3所示。主要结果

我们把我们的工作分为两个部分,调查的重要发现与实例支持。在整个论文, 表示一个LA-ring。

3.1。射影LA-Module

本节首先给出一个定义的射影LA-module以及一个例子。

定义5。让 表示左边LA-module结束 。然后, 是射影LA-module。在图1,如果 LA-modules LA-homomorphisms有一个精确的行,然后有一个 LA-homomorphism 导致完成图交换的意思吗 。
构建一个射影LA-module的例子,首先,我们需要定义LA-vector空间。


图1
射影LA-module。

定义6。三个一组的 是一个LA-vector空间在一个LA-field 如果 定义为 ,在哪里 和 满足下列条件:(我) 是香格里拉集团(2)如果 和 (3)如果 和 (iv)如果 和 (v)为 ,

例2。让一个交换半群 和 与左LA-field身份。考虑 ,这显然是一种添加剂香格里拉集团。定义了地图 通过 这是明确的。很容易验证(2),(3),(v)的财产。在这里,我们只证明(iv) LA-vector空间的属性。考虑 。自 是一个LA-field,那么通过([38引理,4), 适用于所有 。因此, 。因此, 。因此,它是证明。

备注1。让 成为一个交换半群。很容易观察到 成为自由的基础 在LA-field LA-vector空间 。的确,考虑 。自 和 为每一个 ,所以 为每一个 。这意味着 是线性无关的。现在我们 和 。然后, 元素的线性组合吗 从LA-field是谁的系数 。因此, 是免费的基础 作为一个在LA-field LA-vector空间 。

例3。LA-field LA-vector空间 是免费的 LA-module,所以是一个射影LA-module。

定义7。一个左 LA-module 被称为自由离开 LA-module基础上 ,如果会有一个地图 这样,给定的地图 ,在哪里 任何离开 LA-module,存在一个唯一 LA-homomorphism 这样 。
独特的LA-homomorphism 据说扩展地图吗 。

- - - - - -同态称为 LA-homomorphism在这项研究中。

定理4。免费的 LA-module意味着射影LA-module。

证明。假设 是一个免费的LA-module有基础吗 。
在图2, LA-modules和 - - - - - -完全同态的行。让 。然后, 当 到,所以存在吗 然后 。定义 作为 和扩展功能 ,在这里,它是明确的 。这意味着 。


图2
LA-module自由。

备注2。另一方面,如果LA-module不是免费的,那么它将不会射影LA-module。这句话是有道理的在下一个示例中。

例4。以下是LA-module凯莱表 在
从表可以看出,添加剂香格里拉集团 成为LA-module。如果 有限的香格里拉集团的顺序吗 ,然后 ,同时,从表中我们可以观察到,2是零的元素 。选择一个元素 我们可以看到, ,也 ,同样地,它可以证明 , 。在哪里 永远不能成为基础的一部分。因此, 不是一个自由LA-module。所以不是一个射影LA-module。

命题3。图3 LA-modules LA-homomorphisms有精确的行, 。这就给了同态 这 。


图3
R-homomorphism。

证明。如果 和 是诱导同态 。从 ,在此之前, 。所以一个同态是引起的 , 如果 变得包容地图,所以 也 。图4有一个精确的行。 是射影LA-module,所以将同态 所以 。另一方面, 。这意味着 。


图4
R-homomorphism。

命题4。 是射影LA-module敌我识别 每一个射影LA-module吗 。

证明。假设为每个 , 是一个射影LA-module。图5有一个精确的行。的同态 对于每一个 和 是射影LA-module。因此,有一个同态 这样 。现在,定义 通过 ,为 (见图6)。
很明显右边数目是有限的。因此, 同态。让 , 。它显示了 。很明显 是射影LA-module。相反,让 一个射影LA-module。我们有图7有一个精确的行。
对于任何 ,一个同态 在哪里 是一个射影LA-module。将会有一个同态 这 。现在,我们需要 这是一个同态的 ,然后 。因此, 是射影LA-module。


图5
R-homomorphism。

图6
R-homomorphism。

图7
R-homomorphism。

定义8。一个短的序列 LA-modules和同态称为分裂或分裂LA-modules序列。如果任何声明是正确的,(我)一个同态 如果存在 (2)一个同态 如果存在 (3) 是直接被加数

引理1。同态的形象投射 LA-module是 LA-module。

证明。简单的定理3和4。

定理5。 是射影LA-module敌我识别每一个精确的序列 分裂。

证明。考虑一个精确的序列(见图8),根据定义的射影LA-module同态 意味着 结果分割序列。相反,让序列 将每个LA-module的同态象是免费的 LA-module。 是满射, 是免费的 LA-module。如果 是内核 ,我们得到确切的序列 分裂的假设。因此, 。 成为自由射影LA-module,这意味着 和 射影。


图8
准确的序列。

命题5 (LA-module射影定理基础)。一个 LA-module 射影敌我识别会有一个子集吗 的 和 的 LA-homomorphisms,然后(我)对于任何 , 几乎所有 。(2)对于任何 , 。然后, 是由 。

证明。首先, 射影LA-module, 是免费的 LA-module有基础 ,和 是满射。作为 一个射影LA-module ,会有同态 这 。现在,对于任何 ,定义 通过 在哪里 , (见图9)。很明显, 是定义良好的。作为 是免费LA-module , 显然LA-homomorphisms。自 是有限的总和 , 几乎每一个 。为 ,定义 。如果 ,然后 。因此, 和 是证明。相反,考虑一个子集 的 和一组 的 LA-homomorphisms这样的条件(i)和(ii)。现在,一组 的符号,由同一组索引 ,让 是一个免费的LA-module基础 。 定义为 在哪里 传播一个同态 。如果 ,然后 这使的结果吗 是满射。定义 通过 。通过条件(i)满足 ,的右边 是一个有限的总和。这意味着 LA-homomorphism。为 , 条件(2)。因此, 。因此, 一个,LA-epimorphism分裂 就直接被加数LA-module自由 。因此, 是射影LA-module。


图9
R-homomorphism。
3.2。单射LA-Module

我们定义单射LA-modules并建立在几个重要的结论。

定义9。让 表示左边LA-module结束 。然后, 是单射LA-module,如果图中 LA-modules LA-homomorphisms有精确的行。
将会有 LA-homomorphism 结果完成图交换这意味着 (见图10)。
或者,我们可以定义单射LA-module如下。


图10
单射LA-module。

定义10。左LA-module 在 是内射,如果 是其他左LA-module LA-submodule 。然后,将会有另一个LA-submodule 的 所以内部的直和 和 是 ,也就是说, 和 。

例5。鉴于以上定义,我们有以下单射LA-module的例子。(1) 单射LA-module LA-module非常(2)让 是一个LA-field,然后每一个 LA-vector空间是一个单射 LA-module

命题6。让一个单射 LA-module 。在下图中有一个精确的行和 ,将会有一个同态 结果完成图的交换, (见图11)。


图11
R-homomorphism。

证明。假设 。然后, 引发一个单型性 ,给出的 ,在哪里 。让 ,它遵循 是单射。同时, 但 ;因此,引起的同态 , 通过 ,在哪里 。让 代表了自然的投影。 对于每一个 ;因此, 和 对所有 ;因此, 。作为 是一个单射LA-module,会有一个同态吗 这样 ;然后, 是证明。

命题7。如果 ( 直接的产物 )和 是一个家庭的 LA-modules,然后 一个单射LA-module敌我识别 是单射。

证明。自 ,将会有一个同态 和 这意味着 和 ,零地图如果 。考虑一个单型性的 LA-modules 假设每个 是单射LA-module,考虑图(见图12)
假设 同态。然后, 是一个同态。作为 将会有一个同态,内射吗 这意味着 。现在,定义 通过 。它遵循 是一个同态, , ,这给了 。这个结果 是一个单射LA-module。现在,反过来,让 是单射LA-module。让 任何一个同态 。
作为 将会有一个同态,内射LA-module吗 这意味着 (见图13)。它遵循 将同态,意味着什么 。因此, 是单射LA-module。


图12
R-homomorphism。

图13
R-homomorphism。

8号提案。每一个精确的序列 如果分裂 是单射LA-module。

证明。在图14,因为 是单射LA-module,因此,将会有一个同态吗 这意味着 。因此,精确的序列 分裂。


图14
准确的序列。

4所示。结论

数学越来越非结合和非交换。人们普遍预测,nonassociativity和不可交换性将主导未来几年数学和应用科学。摘要LA-modules的研究可以分为理论研究发展的非结合和非交换代数理论。分离序列的概念,自由LA-module,射影LA-modules单射LA-modules及其相关特性进行了讨论与LA-modules。进一步研究的进步LA-modules可以通过定义子,拉回,推动出局,等等。此外,LA-modules及其子结构可以定义研究neutrosophic集和超结构。同时,neutrosophic可以构造图的代数结构。此外,图形的LA-modules非联合型戒指和非结合超结构可以被定义。此外,非结合环和非结合超结构可用于各种决策程序、模糊理论和它的应用程序可以扩展到医学科学。

数据可用性

所有的数据是可用的。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

“这项工作是由院长以来的科学研究、研究生学习和科研的副总统,国王费萨尔大学、沙特阿拉伯(项目没有。GRANT305)”