文摘
在本文中,目的是减少在保险公司破产的可能性最大化生存函数。本文利用摄动经典风险过程的基本模型。基本模型后来被加剧了融资和投资回报。沃尔泰拉类型的Hamilton-Jacobi-Bellman方程和积分微分方程。沃尔泰拉积分微分方程对保险公司的生存函数转化为一个三阶常微分方程后来转化为一阶常微分方程组。这个系统是使用四阶龙格-库塔法数值求解。结果表明,生存函数的强度增加而增加计算过程,但随瞬时增加股票的回报率和回报波动。这是由于这样的事实,保险公司面临着更大的风险。因此,本文认为,在这种情况下,更应在无风险资产的投资。
1。介绍
保险行业正在经历一场根本性的转换的操作和竞争力。一些干扰因素在商业市场带来了新的球员和颠覆性的商业模式,以超越竞争对手。投资和融资可以用作生存方法当保险公司考虑他们应该如何应对这一重大转变。通过投资和融资,保险公司可以更好地管理操作即使已经遭受破坏提供了投资融资是充分和及时的完成和正确完成(1]。
根据铀煤页岩等。2在投资,之间有一个权衡风险和回报。反过来,增加其预期的投资回报,投资者必须愿意承受更大的风险。项目组合管理理论有助于模型给定集合的几个可能的权衡投资(3]。调查公司遭受毁灭是保险精算研究的重要领域之一。一些研究已经完成调查投资组合优化,其中大部分是应用再保险和再融资的方法(见,例如,Kasumo [4)、刘、杨(5])。然而,还需要更多的研究在那些遭受毁灭,因为小公司已经完成调查这些公司如何管理经济重新实现盈利。
Oyatoye和Arogundade6]应用随机最优组合预测模型的保险业务在一个可接受的风险水平,包括破坏效应。他们强调的重要性,因为这将保证为一个可行的保险公司可接受的风险水平和评估的保留率保险投资组合在给定的风险率。但是,它也会提供良好的知识的重要性再保险风险调整的时候更大的索赔。最后,它将检查难以承受的风险水平,需要共同保险。进行了回归分析和灾难风险分析风险。观察到,有必要回到随机建模,这画布的使用风险,为数学计算方差,并预期值。
最近,相当关注的保险公司已形成一个指定的保险组合的过程,因为它是一个指标的质量保险负债。Oliynyk [7)研究的基本方法论的形成原理和管理保险投资组合达到平衡,确保保险公司的金融稳定。阶段在公司的保险投资组合管理过程是解决投资组合优化。这个阶段是讨论Oliynyk [7),因为它会导致减少风险和提高盈利水平。研究最后发现提出科学和有条不紊的构建和管理保险投资组合,以实现其平衡基于非线性规划具有差异化特征。对于每一个公司,这个模型选择一个最优的保险投资组合的结构,确保最大的利润和最小的风险。
马等。8]扩展朱等的工作。9包括defaultable证券)。购买比例再保险的保险公司得到一个机会,把他的财富在股票,defaultable企业债券和资金帐户。这一举措是为了财富的期望效用最大化。在他们的工作中,马等。8)选择了方差弹性常数(CEV)过程来描述股票的行为。选择CEV模型的原因是,它也可以作为一个替代模型来描述股票价格的随机波动行为。它有几个经验证据来支持它。他们使用随机控制理论,推导出一个Hamilton-Jacobi-Bellman HJB方程和后最初的问题分为两部分predefault和postdefault案件。导出了最优策略的价值函数和表达式。最后,他们结果的数值例子说明。他们的研究没有考虑沃尔泰拉积分微分方程转化为常微分方程。
股东的保险业务感兴趣从保险投资组合优化的回报以及确保业务仍然漂浮在长期范围内。为了达到这个目标,公司经理最优运行业务收益最大化和减少破产概率。即使有额外的照顾,很多时候,毁灭是不可避免的。例如,大多数研究文献中麻雀(10),Kasozi et al。11],Kasumo et al。12),不考虑再融资措施克服毁了后。本文旨在开发和分析保险投资组合优化模型将投资和融资策略,然后找到最好的保险公司的生存函数最大化的方法。
剩下的纸是组织如下:在第二节中,我们得到一个沃尔泰拉积分微分方程(见)对应于保险公司的生存函数最大化的模型。在第三节中,数值模拟采用四阶龙格-库塔法进行了后见转化为一个三阶常微分方程,后来被转换成一个系统的一阶常微分方程。结果和讨论。在最后一节中,我们提出本文的结论。
2。材料和方法
2.1。模型制定和分析
一个数学公式的问题,我们假设所有的随机量和随机变量定义在一个完整的过滤概率空间 ,满足通常的条件。过滤 ,代表信息的时间吗并形成决策的基础,是对连续的和 - - - - - -完成了。
由于存在波动在现实市场中,例如,保费收入的数量,移民,和许多客户不是静态或制服,模型必须捕获这些现象通过考虑摄动Cramer-Lundberg过程如Kasumo et al。12),由 在哪里 最初的资本,是一个复合泊松过程的标准布朗运动独立 ,和是单位时间内的保险费率计算期望值原则;也就是说, 在哪里 是保险人的相对安全加载和计算过程的强度吗的说法。
我们继续在麻雀1)通过假设保险公司经理进行再融资的过程或注资,给出的 ,在哪里盈余过程和吗是资本注入。最后,使用方程(1),与注资是由保险模型 在哪里保险费率的资本注入。
管理其投资组合,我们假设保险公司可以承担投资风险或风险资产。我们假定无风险价格过程建模在孟et al。13),由 在哪里 不断的无风险利率和吗无风险债券的价格在时间吗 。让我们进一步假设如Badaoui et al。14),风险资产,如股票价格过程,是由几何布朗运动(GBM) 在哪里股票价格在时间吗 , 是预期的瞬时的股票回报率, 股票价格的波动, 是一个标准布朗运动完备概率空间上定义 。
如果我们进一步假设没有跳跃,Paulsen等的工作(15)表明,投资回报的过程将由布莱克-斯科尔斯期权定价公式的形式 在哪里是无风险投资的一部分。因此, 意味着一个单位在时刻0将价值投资在时间 。
2.2。过程和再融资和投资风险
本节获得保险过程加上再融资和投资。这是一个仔细结合方程(2)和(5)。在再保险和投资的情况下,这个过程已经被广泛地研究了最终破产概率的研究如Kasozi et al。16),Paulsen et al。15],Paulsen和Gjessing [17),Paulsen和拉斯穆森(18)等等。本文遵循类似的方法如Kasozi et al。16]。这个过程 ,代表保险投资组合,是吗 随机微分方程的解是什么 在哪里 是保险公司的初始资本一样在方程(2),是主要的保险过程中给出方程(2),在方程(投资回报的过程5),代表保险公司的盈余就在时间 。
2.3。最大化生存函数或减少破坏的概率
让我们考虑方程(6)生存函数最大化或最小化的保险公司的破产概率。因为两个和有固定的独立增量,是一个齐次健壮的马尔可夫过程。利用伊藤公式,无穷小生成器可以由
中给出的积分微分算子方程(8)是相当复杂的,明确的分析计算是很难执行的。然而,Paulsen和Gjessing [17]介绍了并证明了以下有益的结果。
让 被毁灭的时候 意味着毁灭从未发生,然后,让 是最终的破坏发生的概率。
假设是有界的,两次连续可微的 用一阶导数有界,在哪里 是右边的导数,解决了 在 的边界条件
Paulsen和Gjessing17)表明,
假设是有界的,两次连续可微的 用一阶导数有界,在哪里 是右边的导数,Paulsen Gjessing [17也表明,如果解决了 在 的边界条件 然后
现在,使用Paulsen et al。15想法,我们替换定理的第一部分与生存函数 与边界条件给定如下:
因为最大化生存函数的影响最小化的破坏的概率的概率增加保险公司的生存,现在的目标是最大化生存函数 。因此,价值函数,在这种情况下,定义 如果它存在,我们确定相应的融资策略 满足目标函数的。因此,我们感兴趣的是找到最优融资策略的投资风险和无风险资产。我们称这种策略为最优,因为它最大化生存函数,这是一样的终极毁灭的可能性最小化。换句话说,生存函数的目标函数,再融资的策略是调整的控制变量,目标函数最大化。
2.4。Hamilton-Jacobi-Bellman方程和积分微分方程
在本节中,价值函数的HJB方程给出了方程(14)派生和解决。然后,生存函数的积分微分方程也制定和解决。在文献中,几个HJB方程类似的使用,例如,读者可以参考麻雀(10),Paulsen et al。15),Kasozi et al。11],Kasumo et al。12为更多的细节。
2.4.1。Hamilton-Jacobi-Bellman方程
获得的HJB方程的价值函数给出了方程(14),我们遵循类似的方法如Kasozi et al。11]。让 是一个小的时间间隔和假设盈余 在时间我们有一个再融资策略这样 。我们也 为 。然后,在Kasozi et al。11),通过马尔可夫性质,有以下方程: 在哪里∈(−∞∞)可以选择一个 得到
让我们假设是连续可微的两倍;通过使用Ito的公式,我们获得 在哪里 表示保险公司留存金额。
提供了限制和期望可以互换,然后后来方程除以,让 给以下方程:
这个方程(19)必须持有 ,也就是说,写作
假设有一个最优策略 这样 。然后,使用类似的方法,我们有
最后,这给HJB方程 的边界条件 在 和 。
从解集获得最优策略 方程(22),是一个点的上确界(22)。保险公司有一个负的净保费收入 。
让是平等的价值,也就是说, ,但其目的是找到解决方程(不减少的22),让我们把它写如下: 的边界条件 在 和 。
根据Hipp和李子19),这个函数满足方程(23),只有在是严格增加,严格凹,两次连续可微的,满足第二个条件;也就是说, 。
现在,让我们假设解决了HJB方程(22),根据Hipp和沃格特(20.如果是一个光滑的HJB方程的解决方案(22),然后上确界 要么是获得在 当没有为小额索偿或再融资 或 。
2.4.2。积分微分方程
从HJB方程(22),生存函数的积分微分方程采用以下形式: 在哪里是无穷小发生器由方程(8)底层与再融资和投资过程的风险由方程(6)。因此,从HJB方程(22),生存函数的积分微分方程给出 为 。
方程(25沃尔泰拉类型的)是一个二阶积分微分方程(见)。本文的见方程(25)转化为一个常微分方程(ODE)可以解决数值来确定最优的策略。
2.4.3。见转化为常微分方程
在本节中,我们开始解决见由方程(25)。方程是首先转换成一首颂歌,之后,它将数值求解。方程将会解决,假设指数分布。如果 和 ,那么就没有投资。对于这种情况,分析解决类似的问题是由哈吉(21),如果 ,类似的案子解决了分析Paulsen和Gjessing [17];然而,当 , ,和 ,方程(25)没有解析解。
考虑的指数分布
然后,方程(25)成为 为 。
区分对上述方程和简化 为 。
方程(28)是一首颂歌,将数值求解。
3所示。数值结果与讨论
我们变换的三阶颂歌方程(28)成一个系统的一阶常微分方程,利用龙格-库塔法数值求解。让 , ,和 ,然后利用方程(28),以下系统的一阶的颂歌。
在本节中,系统(29日)的一阶常微分方程数值求解使用四阶龙格-库塔方法,使用MATLAB代码实现,并讨论了结果。使用MATLAB R2020a仿真和图形进行。展示在表使用的参数值1。
在图1增加,我们观察一个生存函数的第四年。观察增加生存函数的计数过程的强度增加。这是因为随着计数过程的增加,保险公司服务客户更快。因此,它变得更健康,因此,其破坏的概率降低。
在图2,我们观察到一个保险公司越来越生存函数将资本注入。不过,我们进一步注意,当瞬时的股票回报率增加,生存函数减少由于风险高得多。这些结果相媲美的Gajek和Zagrodny25),研究再保险安排保险公司的生存概率,类似于最大化最小化的毁灭。
因为波动措施分散的回报对于给定的安全,我们在图观察3一个保险公司与返回波动率成反比关系。返回波动增加时我们注意到只要0.02,生存函数下降很快,因为波动率越高,安全的风险。这些结果表明,生存函数返回波动非常敏感,支持先前的瞬时的股票回报率。结果,本文表明,更多的投资应在无风险的资产,而不是风险资产时这种情况发生。
4所示。结论
在本文中,我们使用了基本Cramer-Lundberg模型推导出沃尔泰拉积分微分方程(见)生存函数的保险公司。一些转换后,见的龙格-库塔法数值求解了四个。结果表明,可以最大化的生存函数的保险公司的投资组合可以帮助公司减少破坏的可能性。这项研究进一步证实增加索赔强度有积极影响的增加生存函数和减少破坏的概率。因此,建议保险公司提高他们的强度。本文还得出结论,保险公司应该更多地投资于无风险资产时瞬时的股票回报率更高或增加和回报波动。
数据可用性
没有数据被用于这项研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者感谢Mzumbe大学和纳尔逊·曼德拉的非洲科技机构(NM-AIST)财务和物质支持发表这篇论文。