文摘
本研究的目的是提出马歇尔- Olkin龚帕兹Makeham扩展寿命分布的四个参数。因此,我们将描述的一些结构要素,介绍了这个模型。使用最大似然方法估计模型参数,而众所周知,未知参数的估计可能性并不总是可用的。因此,我们检查之前发行版,这让之前的依赖组件的参数向量,以及贝叶斯估计派生的平方误差损失函数。蒙特卡罗模拟研究进行了检查的性能估计和贝叶斯技术可能性。最后,我们证明了新模型的重要性。结论,我们说明的重要性的新模式,探索一些实证的应用物理显示它的灵活性和潜力的新模型。
1。介绍
龚珀兹分布获得了龚珀兹(1]。它是至关重要的生存时间在几个方面的分析,包括市场营销、老年医学、生物学和计算机科学。它被用来描述人类死亡率,建立经济增长模型,并创建精算表。龚珀兹分布的风险率函数(hrf)是一个递增函数精算师和人口学家用来描述成人生命长度的分布。Makeham [2看着龚帕兹分布的适合精算数据,发现通过修改它,他可以增强健康。这种变化是现在被称为龚珀兹- Makeham分布。龚珀兹- Makeham (GM)分布研究了贝利et al。3]。的分布一直在频繁利用保险精算表和增长模型来描述人类死亡率。
Missov和雷纳特(4)发现封闭解决积分在均匀和gamma-heterogeneous人口,人均预期寿命以及Makeham存在与否的因素。Chukwu和Ogunde5]介绍了Kumaraswamy Gompertz-Makeham, 5个参数的广义版本随着下降,上升,和bathtub-shaped故障率函数。为模型,Wrycza [6)开发了一个简单的配方表熵的生活。
的累积分布函数(c.d.f)龚珀兹- Makeham (GM)是由分布 在哪里 是一个尺度参数, 和 是形状参数。的corresponding probability density function (p.d.f) and hrf are given by 分别。
最近有死灰复燃的兴趣发展创新发电机单变量连续分布通过引入一个或多个额外的因素塑造成基线模型。这个参数感应已经证明是有用的在分析尾特征和增加推荐的发电机的拟合优度的家人。这些不对称分布是由一个基线c.d.f添加新的参数。分析,导致一个新的家庭更多的灵活的不对称分布。统计文献中,几类提出了构建新分布通过添加一个或多个参数。尤金的beta-G et al。7),Kumaraswamy-G Cordeiro和德卡斯特罗(8),新扩展cosine-G分布穆罕默德et al。9),新生成截断muth家庭Almarashi et al。10),奇怪Perks-G类Elbatal et al。11),Zografos-Balakrishnan-G家族Nadarajah et al。12只是几个例子的知名发电机。
马歇尔和Olkin [13)提出了一个通用的方法添加一个新的积极的形状参数基线分布,导致Marshall-Olkin家族的分布(简称缩写为“莫”)。基线分布是包含在这个家庭作为基本的实例,以及一些分布有更大的灵活性为代表不同类型的数据。倾斜参数的比例优势家庭其他名字莫家人的分布(马歇尔和Olkin [14])。马歇尔和Olkin家族c.d.f.被定义为:
生存函数 是由 在哪里 ,为 ,我们得到基线分布,即 ,的形状参数被称为倾斜参数,因为故障率函数 转换后的分布如下转移 或转移时 从基线风险率函数 。事实上, 当 和 当 。相应的申先生。f成为 hrf给出的
近年来,一些作者已经使用这种方法来扩展著名的分布。一些例子包括Ghitany et al。15]提出审查方案,莫延长威布尔分布,贾古玛和马修16]介绍了毛刺的推广与应用莫第十二类型分布,Perez-Casany和卡塞拉17]介绍了莫延长Zipf分布,克里希纳et al。18)提出了莫f分布,Gui (19]介绍了密苏里州权力对数-正态分布和生存数据及其应用,Idika et al。20.]介绍了莫广义Erlange截断指数分布,MirMostafaee et al。21)代表了密苏里州扩展广义瑞利分布,等等。本文的目的是提出一种新的寿命分布称为“莫延长Gompertz-Makeham”分布,称为 。
在这篇文章中,马歇尔- Olkin龚帕兹Makeham扩展寿命分布提出了,四个参数。因此,我们将描述一些结构属性,介绍了这个模型。使用最大似然方法估计模型参数,而众所周知,未知参数的估计可能性并不总是可用的。因此,我们检查之前发行版,这让之前的依赖组件的参数向量,以及贝叶斯估计派生的平方误差损失函数。蒙特卡罗模拟和两个真实数据集进行检查的性能模型和似然估计和贝叶斯技术。
剩下的纸是组织如下:Marshall-Olkin扩展龚帕兹Makeham分布及其技术部分中定义2。部分3介绍和探讨许多结构性的特征属性分布。部分4显示了估计未知参数的可能性。部分5显示了未知参数的贝叶斯估计。仿真结果中进行6。部分7描述了两个真实数据的应用程序。最后,我们证明了本研究的意义的闭幕词。
2。的模型
在本节中,我们介绍了四个参数马歇尔——Olkin Gompertz-Makeham扩展分布。使用方程(1),(3)和(4)前一节所示,c.d.f.和生存函数可以写成, respectevely。相应的申先生。f由
从今以后,让 ,p.d.f。(8), 。图1显示一些p.d.f.的情节模型中不同的参数值。
失败事件时间分析(风险)率函数量化当前故障的可能性的人口还没有失败。hrf是必不可少的在处理生命周期数据可靠性分析时,生存分析,和人口,以及在构建和创建模型。的hrf Marshall-Olkin扩展Gompertz-Makeham分布如下图2。图2显示一些hrf的情节模型中不同的参数值。
2.1。扩大p.d.f
在本节中,我们目前的扩张密度函数在无限Gompertz-Makeham分布的线性组合。用幂级数展开
用级数展开的如下 因此在一些代数(12)可以写成 在哪里
3所示。统计特性
3.1。分位数函数
为一个随机变量有c.d.f.马歇尔- Olkin power广义威布尔分布,分位数函数是由关系吗 由方程(16),除了使用qf获得Bowley的偏态和摩尔人对生成的峰度,是非常有用的随机变量,可以直接应用。Bowley的偏态是基于四分位数,如肯尼并保持所述22),它是由 沼泽的峰度,看到摩尔人(23),是由 在哪里是分位数函数给出了方程(16)。
3.2。时刻
的的时刻分布在本节讨论。在任何统计分析,特别是在应用程序中,时刻是至关重要的和重要的。它可以用来调查一个分布的最基本属性和特质(例如,趋势,分散,偏态和峰态)。
3.3。定理分位数函数
如果有 ,在哪里 然后的时刻是由
证明。让是一个随机变量的分布 。著名的公式可用于计算普通的时刻。 设置 ,一些代数后,普通的时刻可以写成 在哪里 表示γ函数。
3.4。矩生成函数
时刻生成功能是有用的因为各种各样的原因,其中之一是他们使用的随机变量分析。相比直接使用一个随机变量的概率函数或c.d.f.,它提供了另一种方法来分析解决方案的基础。
定理1。如果有 ,然后生成函数(mgf)给出如下
证明。我们开始与著名的生成函数,简化如下: 这就完成了证明。
3.5。有条件的时刻
的较低的不完整的时刻分布是 在哪里 是下不完整的伽玛函数。第一个完整的时刻 ,用, ,计算使用方程(24)通过设置年代= 1,
类似地,上不完整的时刻分布是 在哪里 是上不完整的伽马函数。
平均剩余寿命有一组不同的用途和应用程序看到赖和谢24]。预期的延长生命长度为单位活着的年龄代表的是岁(或寿命 )。的是由 在哪里是第一个完整的时刻吗并通过设置 在方程(26),我们得到
此外,意味着不活动时间显示的时间已经过去了一个项目失败后,假设失败发生在 。为 ,的的被定义为
4所示。估计和推断
只有完整的样品是用来计算的最大似然(ml)估计的参数分布在这一节中。让 是一个随机样本的大小从在哪里 。让 的参数向量。的对数似函数向量的参数 可以写成
以下是相关的得分函数:
直接或通过求解非线性方程推导出微分方程(可能性30.),可以最大化对数似。可能性的得分向量的组成部分如下:
最大似然估计(标定) ,说 ,是解决非线性系统获得的 。
5。贝叶斯估计
贝叶斯技术处理参数因为随机和参数不确定性是由先前的联合分布,形成前的故障数据收集。贝叶斯方法的灵活性将过去的知识转化为研究使得它特别有用的可靠性的研究中,与可靠性分析的主要挑战之一是缺乏数据。之前使用伽马分布 和参数分布, ,和非负的值。作为独立的联合密度函数之前, ,和参数如下:
的似然函数分布和联合前密度(30)被用来产生的联合后验密度函数 ,和 。
大多数的贝叶斯推理算法是基于对称损失函数。著名的对称损失函数是平方误差损失函数(自我)。的贝叶斯估计 ,和 ,说 基于自我。
应该注意的是,提供的积分方程(35)不能推导出清楚。因此,我们使用Markov-Chain-Monte-Carlo(密度)来近似的价值预期方程(35)。
观察了积分方程给出的是(35)是不可能得到明确。结果,我们采用密度技术近似积分方程的价值(35)。许多研究使用密度技术如Al-Babtain et al。25),Tolba et al。26,27],Bantan et al。28]。
在吉布斯采样,更一般的都市密度算法的算法是重要的子类。获得两个最普遍的方法是pmmh (MH)和吉布斯抽样方法。MH的技术,比如acceptance-rejection抽样,假定每个迭代算法可以产生候选人价值建议分布。我们应用MH在吉布斯抽样阶段随机样本的条件后验密度地理分布:
6。模拟
蒙特卡罗仿真方法在这一节中使用比较的似然估计方法和贝叶斯估计方法。的R语言是用来估计分布参数使用标定和基于密度的贝叶斯估计方法下的自我。蒙特卡罗实验使用10000随机生成的分布的样本,代表了一生中各种参数实际值和样本大小n: 。最好的估计方法可以被描述为最小化估计偏差(一个1)和均方误差(一个2)。分布的参数已经确定。
表1- - - - - -3描述的方法的仿真结果提出了对点估计。为了做必要的比较各种点估计方法,我们检查A1和A2的值。结果,得出了以下的结论:(1)的参数分布,一个1,一个2减少样本大小生长。(2)最好的估计方法的贝叶斯估计。(3)的一个1,一个2对所有参数减少增加。(4)的一个1,一个2,所有参数增加增加。
7所示。应用物理
在本节中,两个真实数据应用程序用于演示的重要性分布。我们采用Akaike信息标准措施(AICM),贝叶斯信息准则措施(BICM),一致Akaike信息准则(AICCM) Kolmogorov-Smirnov统计(KSS)和PVKSS测试比较模型。较小的值的统计指标等同于一个更好的适合的数据集。使用最大似然方法估计参数的分布,而贝叶斯估计方法用于估计的参数分布。
7.1。第一个真正的洪水峰值的数据
在本节内,第一个应用程序的数据集是用来说明的重要性分布。这个数据集代表72株1958年- 1984年洪水峰值(圆一个小数位)洪水峰值(m3/ s)的惠顿河附近Carcross在育空地区,加拿大。第一个数据集:“1.7,2.5,27.4,1.0,27.1,2.2,22.9,1.7,0.1,1.1,14.4,1.1,0.4,20.6,5.3,0.7,1.9,13.0,12.0,9.3,1.4,18.7,8.5,25.5,11.6,21.5,27.6,36.4,2.7,14.1,22.1,1.1,2.5,14.4,1.7,37.6,0.6,2.2,39.0,0.3,15.0,11.0,7.3,0.6,9.0,1.7,7.0,20.1,0.4,2.8,14.1,9.9,10.4,10.7,30.0,3.6,5.6,30.8,13.3,4.2,25.5,3.4,11.9,64.0,1.5,20.2,16.8,5.3,9.7,27.5,2.5和7.0。比较的适合该模型的转化Gompertz-Makeham(电报)(Abd El-Bar [29日]),β广义龚珀兹(背景气量)(Benkhelifa [30.]),kumaraswamy龚帕兹makeham (KGM) (Chukwu和Ogunde5]),龚帕兹凯文(GL) (Oguntunde et al。31日]),取幂广义Weibull-Gompertz (EGWG) (El-Bassiouny et al。32]),广义龚珀兹(GG) (El-Gohary et al。33])和龚帕兹模型。
表4礼物的毫升标准错误(SE)模型参数的第一个数据集。AICM的值,BICM, AICCM HQICM, KSS, PVKS提出的模型和其他模型。
从表4,我们得出这样的结论模型给出了最适合,AICM的价值观,BICM, AICCM, HQICM, KSS小和PVKS更高模型相比,这些值的其他模型。数据3(一个),3 (b)说明了p.d.f。,实证c.d.f。年代和probability plots, respectively, of the comparative models to show the over fitting of the分布。数据3(一个)- - - - - -3 (c)说明与直方图估计p.d.f.,估计与实证c.d.f c.d.f.。,qq的情节分别分布。数据4和5阐明概率情节的比较模型过拟合的分布。
(一)
(b)
(c)
基于表中的结果4和数字3和4,我们得出这样的结论分布是一个更好的选择比比较模型的数据集。
表5讨论了标定和贝叶斯估计方法比较,我们注意到贝叶斯估计比大中型企业小SE。跟踪情节和获得参数的收敛阴谋的结果分布在左、右图6。获得结果为每个参数的后验密度所示图的中心6,这表明一个对称的正态分布与拟议中的分布。
7.2。随机过程的第二个真实数据
在本节,我们将讨论数据集的随机过程由Aarset首次引入[34)和代表50设备的寿命(周)。这个数据集,也报道Benkhelifa [30.背景气量分配,Abd El-Bar [29日]讨论电报分布,是:“0.1,0.2,1,1,1,67,67,67,72,75,79,1,1,2,3,6日,7日,11日,60岁,63年,63年,12日,18日,18日,85年,85年,85年,18岁,18岁,18岁,21岁,32岁,36岁,40岁,45岁,46岁,47岁,50岁,55岁,67,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86。“电报分布比格,转移龚珀兹,转化·林德利龚帕兹Makeham,转化毛刺类型III,转化龚珀兹,转化的幂指数,和改变广义线性指数分布,更多细节见Abd El-Bar [29日]。背景气量分布比格,β广义指数,广义指数,β龚珀兹,指数,贝塔指数,GG,更多细节见Benkhelifa [30.]。
表6介绍了ml的随机过程模型的参数的值数据集。AICM, BICM, AICCM HQICM, KSS, PVKS提出的模型和电报,背景气量分布。
从表6,我们得出这样的结论模型给出了最适合,价值观AICM BICM, AICCM, HQICM,和KSS小MOEFM分布比电报和背景气量,和PVKS更高比电报和背景气量分配模型。数据7(一),7 (b)说明了p.d.f。年代,经验c.d.f。年代和probability plots, respectively, of the comparative models to show the over fitting of the分布。
(一)
(b)
表7讨论了标定和贝叶斯估计方法比较,我们注意到贝叶斯估计比大中型企业小SE。
8。结论
基于马歇尔和Olkin方法,开发了一个新的四个参数扩展龚帕兹Makeham分布,Marshall-Olkin扩展龚帕兹Makeham分布。它包括特殊模型、Marshall-Olkin扩展Makeham Marshall-Olkin龚帕兹Makeham,龚帕兹Makeham, Makeham分布。根据形状参数密度函数可以有各种各样的形状。此外,根据设计参数,其故障率函数可能承担各种形状。我们有包括一些统计特性。似然法和贝叶斯估计方法用于估计未知参数的分布。获得一个模型技术是用来估计参数的比较。这些比较了使用偏差和均方误差作为标准。Bayesian-based自我的MSE和偏见都优于企业在我们的仿真案例。真实数据集观察指出分布导致最合适。总结,分布可以提供一个相对灵活的机制来拟合各种积极的现实世界的数据集。小说分布可能是一个可行的替代现有的模型可以在实际建模数据的文学领域如工程、生存分析、水文、经济学等等。
数据可用性
使用的数据证实了该研究的结论提供。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者要感谢他们的大学。作者还要感谢每一位帮助改善。这个项目是由研究人员支持项目数量(RSP-2021/156),沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。