文摘

虽然无穷是普遍的假设几乎在每一个经济区域的两个著名的框架在决策理论中,我们注意到一些基本的有限版本之间的差异和他们的无限。首先是在混合策略的使用有限的游戏,而第二个是真理的特征公理模型信息和知识,信仰的属性可以与偏好的属性。

1。介绍

完善,无限的假设是现代经济的核心方法。经济框架的使用范围从最基本的概念,比如供求经常遇到的第一年本科生(我想强调,我们画一个需求或供给曲线,我们假设连续的可能的价格和数量。)结果存在平衡理论课程的研究生。经济学家无限欢迎和整体假设众所周知,他们提供的基础数学理论在经济模型的使用。虽然很难想象没有无限的当代经济方法论假设,我将认为在这项研究中,假设做了巨大的工作中建立一个丰富而强劲的经济方法,它不不失一般性或内容。特别是,我将展示两个实例的无限泛化的概念与最初的有限版本根本差异。在类似的静脉克雷斯波和Tohme [1),本研究有助于讨论传统经济学的数学工具的基础。

第一个问题我认为是在非合作的均衡的存在点有限的游戏由纳什(解决2,3]表明,混合扩展的游戏有一个Kakutani定点,因此一个平衡点。虽然这个结果是博弈论中最著名的结果之一,众所周知,它并不能保证不动点的存在纯策略。特别是,纳什定理为有限的游戏只保证一个平衡(纯或混合)存在,因此,平衡存在的问题点在纯策略有限游戏仍然开放。尽管许多后续研究提供了纯策略均衡的存在性的充分条件(例如,见罗森塔尔(4),Monderer和沙普利5],Topkis [6],和Limura Wanatabe [7]),据我所知,还没有已知特征的纯策略不有限的游戏。还有几个纳什定理中归纳出来的,它不工作,如果战略空间受到限制是一个有限集(8,9]。在这项研究中,我将展示一些明显的困难,可能会遇到在追求这条线的研究,认为存在纯策略类的游戏研究纳什仍然是一个开放的,相关的,和博弈论的一个被遗忘的问题。

第二个问题我们考虑与莫里斯(10)开发了一个框架,基于野蛮的方法(11)、决策理论表明,对于一般的类模型的信息和知识,信仰的属性可以与偏好的属性。莫里斯显示最基本公理之一被称为“知识”公理与属性称为nontriviality,这要求偏好在特定国家对发生在敏感的状态。我们将更进一步,并证明在一个有限的框架中,公理的知识相当于一个属性只能验证单例的补充。然后我们认为当莫里斯框架是广义无限模型后,爱泼斯坦和王”(12axiom)方法,知识不再是可验证的,就直愣愣地真实。然后我们给出一些建议一些可能的配方的无限版的知识公理。

本研究的其余部分组织如下。在下一节中,我们将演示之间的差距(无限)混合策略的纳什均衡的存在性和纯(有限)策略在有限的游戏。节3,我们将讨论axiom莫里斯框架的知识,虽然部分4总结了研究。

2。在有限的游戏中存在纳什均衡

我们考虑一个有限的非合作的游戏球员,用 ,参与者的数量用在哪里 , 有限策略可用空间的球员 ,我们也表示所有策略配置文件的集合 ,所以,每个 是一个 - - - - - -元组, 。此外,回报是由向量值函数 。在这个阶段,重要的是要注意,它的有限性的假设使游戏有限,我们不考虑游戏的地方是无限的(可数或不可数)。下面的定义将是有用的。我们让 表示一组可用的混合策略的球员 。我们表示一个混合策略配置文件 。为每一个球员 ,我们定义其最好的回应关于映射到一些战略概要文件给出的 。

然后我们定义一个Kakutani最好的回应信件如下。

众所周知,上述通信有一个固定的点,被称为纳什均衡。然而,它也知道,纳什均衡的存在发生在一组 ,不一定是在 。因此,著名的纳什定理证明了一个均衡的存在性,无法区分一个纯策略和混合策略。为了强调这一点,我们可以考虑以下三个著名的游戏:囚犯困境,性别之战,比赛匹配的便士。尽管纳什定理我们知道所有的三场比赛至少有一个混合策略均衡,它不能告诉上面的游戏有一个纯策略均衡。在当前配方,纯策略是混合策略的特殊情况。

因此需要有一个定理,可以做出这样的区别。尽管许多后续的研究普遍存在问题,据我们所知,还没有已知特征的纯策略不有限的游戏。一个明显的困难,可能会遇到在追求这一研究是缺乏拓扑结构时,战略空间(没有混合扩展)是一个有限的集合。在游戏中使用的不动点定理理论文献严重依赖于拓扑结构的机械的支付函数和/或战略空间。另一方面,现有的结果可以应用于有限策略集假设其他数学结构的战略空间(例如,supermodularity [6,13),潜在的游戏(5),或对称和整数集(7])。很不幸的是,这些结果并不区分类型(纯混合)平衡的囚犯困境,性别之战,比赛匹配的便士。为了实现这个目标,我们需要一个定理,给出一个充分必要条件纯策略纳什均衡存在的有限的游戏。

一个罕见的定点定理,考虑有限集是阿扁的14)函数的不动点定理在有限集。阿扁的定理指出:“对于一个给定的函数从一个有限集合,集合不能划分为三组,每个组的交集与他们的形象是空的当且仅当映射的不动点。“Luckraz (13]表明,两组能够满足如果映射的周期性是偶数。虽然阿扁的定理在离散数学是有用的在许多应用程序中,结果的情况下不能使用映射是多值的。例如,在环境问题的一方面,众所周知,纳什的最好的回应并不总是单值映射。然而,在特殊情况下,最好的反应就是一个函数,阿扁定理可以成功区分纯策略的混合策略。

至于通讯,我们表明,阿扁的分区条件不推广多值映射,如下所示。

让是一个非空的有限集,让 是一个nonempty-valued信件。通常,我们表示对应的 。对于任何 ,让 。我们第一次显示以下索赔阿扁的定理的推广是不正确的。

权利要求1。 有定点敌我识别不能划分为三组 ,和 ,这样 。
这种说法的否定,没有固定的映射点敌我识别存在这样的一个分区。以下反例表明,索赔是不正确的。

例1。让 , , , ,和 。然后,很明显,没有固定的点。然后,通过对索赔的否定1,我们应该能够找到一个分区成集 ,和 ,这样, 。假设存在这样的三组,然后从给定的信件 , ,和需要在三个不同的组。但不能在任何这些三组就是一个反例1。
上面的例子中可以通用 分区。我们首先给出以下定义。

定义1。让是一个非空的有限集,让 是一个nonempty-valued信件。然后收集 被称为一个微不足道的分区的敌我识别 和每个是一个单例。
因此,如果基数的是然后映射不动点,总是存在一个分区成集满足阿扁的条件。在下一个示例中,我们将展示存在一些映射没有固定的点,这样,只有微不足道的分区满足阿扁的条件。

例2。让是一个非空的有限集,让表示所有来信的集合来 。然后,存在一些 没有固定的点,不满足阿扁的分区条件严格小于任意数量的集 。事实上,自是有限的,它可以列举如下: 。对于每一对 ,让 敌我识别 。然后,很明显,不能被划分为集,这样 满足阿扁的条件。
我们结束这一节-注意:虽然已经取得了显著的进展在游戏平衡的存在丰富的拓扑结构,很少在最基本的问题上已经取得了进展,这是纯战略均衡的存在有限的游戏。

3所示。信仰的逻辑

莫里斯(10)开发一个框架表明,对于一般的类模型的信息和知识,信念可以与相关的属性的属性的偏好。在这个框架中,莫里斯表明真相axiom隐含属性叫nontriviality。我们将使用这个连接的加强来表明,当莫里斯框架推广到无穷,使用爱泼斯坦和王(12)框架,真相axiom成为财产适用直愣愣地,在它只能被违反的一组测量零。

莫里斯(后10),我们让任何一组的状态,我们定义的信念运营商映射 令人满意的(我) ,(2) ,(3) ,和(四) 。

3.1。有限的情况下

有限的情况下,我们使用以下定义从莫里斯。对于偏好关系 ,信仰算子定义如下。

3.2。真理公理

真理公理(T): 为每一个 。

分离的单例对象属性(S): 对于每一个单例 。

对于有限的情况,以上只是nontriviality条件定义的莫里斯。事实上,信念运营商是说满足nontriviality情况如果 。

引理1。对于任何和令人满意的(我)——(iv),如果 对于每一个单例 ,然后 。

证明。首先,观察到 , 为每一个 。(iv), 为每一个 和每个 。但假设的引理,我们 为每一个 。因此, 这就完成了证明。

定理1。对于任何和令人满意的(i) - (iv),年代 T。

证明。(必要性)。通过T,我们有 对于每一个单例 。因此, 。
(充足)。让 。(i)和(ii),T是看到时感到满意吗 或 。此外,T所有单件非常满意吗年代由引理1。所以,它就可以考虑以下两种情况。(1)是一个非空的严格的子集令人满意的 对于一些 和(2)是一个非空的严格的子集令人满意的 ,在哪里是一个非空的,nonsingleton严格子集的 。我们第一次见(1)。年代,对于每一个 ,我们有 。
我们一看到(2)的定义 ,我们有 对于一些 。然后,它遵循从(iv) 由于上述适用于所有 ,我们有 。
上面的暗示 。
下面的例子说明了定理1。

例3。让 和得到如下。 , , , , , , ,和 。很容易验证真理公理T在本例中是满意的。的年代财产也满意 现在,考虑下面的属性。
一个状态偏差属性: 对于一些 。
上述定理意味着以下。也是一种状态偏差的财产当且仅当真相公理是违反了。正是这个属性将使我们能够表明真相(知识)公理只能对一组测量零违反了无限的情况下。为了做到这一点,我们需要定义无限的正式模型。

3.3。无限的情况下

对于无限的情况,我们遵循爱泼斯坦和王12]。特别是,他们考虑的情况是一个紧凑的豪斯多夫空间,赋予波莱尔 - - - - - -代数。行为是一个波莱尔可测函数: 。让表示所有行为的集合,让表示所有参数的集合 。我们限制效用函数的集合 和 为每一个 ,满足以下。

确定性等价是

弱的单调性,

内在规律是

外部规律 在哪里和表示所有简单的上半连续和下半连续的集合行为,分别。

为一个封闭的事件 ,我们让 表示一组首选项的补充Savage-null。让 的扩展 所有的子集的 。相信运营商给出如下。 。

无限的情况下,年代财产相当于以下。

为每一个 ,存在没有闭集 ,这样 。

注意,如果 对于任何一个闭集 ,然后 ,在哪里 的扩展 所有的子集 。或者,我们可以近似的在以下方式。自勒贝格可测,所以是什么 。因此,其内心的衡量必须等于外测量。接管内测量的上确界所有紧凑的子集 ,我们获得一个紧凑的,因此一个闭集它等于几乎无处不在。然后, 敌我识别 。

它遵循从上面的年代房地产无限模型的适应一个状态偏差的财产,而当且仅当事实axiom侵犯,只能发生在一组测量零。因此,axiom的知识只能违反了一组测量零。这使真相axiom无用的概念在无限的配方。最后,我们提出了一个较弱的概念事实公理,可以解决上述问题。

不可数州偏差性质:存在一个不可数集 ,这样 。

弱真理公理:每一个不可数集 , 。

备注1。T真理意味着弱公理。

证明。假设事实公理。然后,我们需要证明所有不可数集 , 。现在,每个不可数集有一些作为其子集。由定理1, 。现在,因为 ,(iv), 。因此,如果 ,我们有 自 。
上面的显示,使用无限”所谓的“更广泛的框架并不总是不失一般性。一个定义良好的概念在一个有限的模型并不一定携带到无限模式。

4所示。结论

虽然很难想象世界的经济方法没有连续或无限的假设,从一个有限模型无限确实为代价而获得一些普遍性在某些情况下。我们给的两个实例出现在一些著名的框架用于经济学。特别是,我们表明,存在导致有限的游戏不带有区别纯粹纯策略均衡和混合策略均衡。我们还表明,在成熟的模型知识和信仰,知识的一个重要公理称为公理不适合在一个无限的框架。我们因此要画的关注前沿的研究人员经济方法论,无限的假设并不完全免费。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。