文摘

摘要阿贝尔积分方程的数值解基于Muntz-Legendre小波。为此,阿贝尔积分算子由Muntz-Legendre表示小波作为一个操作矩阵。为了找到这个矩阵,我们使用阿贝尔积分算子之间的相似性和分数积分算子。该方法可以很容易地用于解决弱奇异沃尔泰拉积分方程。我们证明了该方法的收敛性。展示能力和精度的方法,给出了一些数值例子。

1。介绍

在本文中,我们关注建设和应用Muntz-Legendre(马丁)小波将被用作基础pseudospectral方法解决著名的阿贝尔积分方程 亚伯的积分算子的订单 定义在[1)如下:

在这里, , ,和 被认为是连续的函数和与 。此外,我们假设内核函数 等于形式 。换句话说,所需的方程被假定为线性。

阿贝尔方程是一个特例与弱奇异积分方程的内核,首次引入了亚伯。在调查的推广等时曲线的问题,他介绍了这个方程(2]。这个方程广泛地出现在许多物理建模问题,如核物理、x光摄影,流体流动3],散射理论、等离子体诊断、半导体、物理电子学、非线性扩散(1,4]。鉴于这个方程的广泛应用,求解这个方程是非常重要的。但一个人不能总是解决方程分析,我们需要使用数值方法。

在许多论文都认为这个方程的数值解,我们可以提到一些。Saadatmandi和Dehghan5)利用基于移位的勒让德多项式的搭配方法。Piessens和Verbaeten6]介绍了数值方法基于切比雪夫多项式,并逼近未知的解决方案基于这些基地后,他们获得了解决方案作为一个超几何函数的和。使用伯恩斯坦操作矩阵,辛格et al。7]介绍了一个稳定的数值方法来解决这个问题。在[8),我们可以找到阿贝尔积分方程的可积的解决方案在某些情况下,也该解决方案存在的充分必要条件。在[9),作者提出了拉普拉斯变换方法来解决这个问题,他们认为,解决方案是可微的,连续的。Saray [10]介绍了一个基于Alpert二重新颖和有效的方法。在这项工作,引进阿贝尔积分算子的稀疏表示,阿贝尔积分方程简化成稀疏线性代数方程组的线性形式,这导致减少时间和计算成本。在[11),非线性无界解的阿贝尔积分方程。李,赵12)使用Mikusinski的分数阶算子解决阿贝尔积分方程。

这篇文章的大纲如下:马丁构造小波节2,然后阿贝尔积分算子表示基于这些基地。节3阿贝尔积分方程是通过使用基于马丁pseudospectral方法解决小波。本节包含误差分析和收敛性的条件。为了证明方法的效率和精度,给出了一些数值例子4。

2。Muntz-Legendre小波

正如我们所知,多分辨率分析(MRA)是一个重要的程序构造小波。MRA显示,存在一系列嵌套的子空间,使得他们满足某些情况下(13] 在哪里等于或任何有界区间。

最近,马丁小波被用来解决一些方程,如部分最优控制问题(14),部分受电弓微分方程(15),分数微分方程(16[],multiorder分数微分方程17]。解决亚伯的方程,我们首先简要介绍马丁小波如下。

鉴于 ,假设子空间 张成的缩放和一组基础的翻译版本,称为多尺度函数,即, 在哪里 和 与 。的参数叫做细化级别和是多样性参数。在续集中,我们打算引入的功能 。

出于[17),我们在马丁多项式表示作为 在哪里 和系数获得的是

它可以很容易地显示这些多项式满足正交性需求,形成一个正交系统,通过 在哪里克罗内克符号,是由

考虑的定义 ,你可以介绍马丁小波(17),通过

由于马丁的定义小波,可以介绍投影算符映射任何函数 到如下: 和整个纸,上标在哪里用于矩阵转置。在这里是一个向量维度的函数 谁的 - - - - - -th元素是 ,和 - - - - - -th元素的向量评估通过

它遵循从[15),一个可以绑定投影误差的水列夫规范。

引理1(见[15])。鉴于 ,假设 。如果 ,然后 和 ,我们有 在这水列夫空间和相关规范是由吗

2.1。表示Muntz-Legendre阿贝尔积分算子的小波

在本节中,我们考虑到亚伯符部分积分算子,并在马丁代表分数积分算子后小波运算矩阵,我们发现马丁阿贝尔积分算子的小波表示。为此,需要定义一些关于分数计算的概念。

定义1(见[18])。让 。Riemann-Liouville部分积分算子的订单 是由 在哪里代表了伽马函数。

备注1。它可以验证的部分积分功能是由

引理2 (cf引理2.1 (a)。参见[19])。部分集成运营商注定在 为 如下:

它遵循从[19),如果 ,然后函数本身属于 。我们回想一下,阿贝尔积分算子的秩序 是由

阿贝尔积分算子之间的相似性和Riemann-Liouville部分积分算子 ,即,

因此,我们可以使用Riemann-Liouville分数积分算子而不是阿贝尔积分算子 。

根据马丁小波的定义,分数积分算子作用于向量函数可以写成马丁小波的扩张吗 ,也就是说, 在哪里是一个 矩阵和著名的是马丁的分数阶积分运算矩阵小波。

在我们看看如何计算上述矩阵的元素,它是不及物动词介绍分段分数阶泰勒功能。让 固定数量,分段分数阶泰勒函数可以定义在以下形式:

通过引入方阵的维度 ,谁的 - - - - - -计算th元素

我们可以扩展向量函数的任何元素分段分数阶泰勒(马丁小波)的功能 ,即,

这里的矩阵是一个 矩阵和叫做变换矩阵。在续集中,我们假设是一个向量的维度谁的 - - - - - -th元素是 。因此,它很容易显示

它遵循从(16),一个可以找到的 - - - - - -th元素 ,通过

这给介绍一个对角矩阵 ,这样

值得注意的是,这个矩阵表示的分数积分功能结合自己和主要有以下形式: 在哪里 和是一个对角矩阵的形式

现在,我们能够引进马丁的分数阶积分运算矩阵小波通过

因此,我们得到

3所示。Pseudospectral方法

得出的数值解第二种基于pseudospectral阿贝尔积分方程方法,我们可以近似未知的解决方案与投影算符 ,如下: 在哪里是一个向量的维度 ,应该发现的元素。注意,这个函数和内核函数 可以近似以同样的方式,也就是说, 在哪里 和 。用(32)到阿贝尔积分方程的组成部分(1),我们得到

我们现在用方程(31日)- (33)到阿贝尔积分方程(1)和简化 在哪里是剩余函数,我们的目标是减少为零。让是一个点的数量 ,我们选择解决方案,满足条件的搭配 ,在哪里被称为搭配点。在本文中,我们使用了切比雪夫和勒让德多项式作为搭配点0。的搭配方法产生一个线性或非线性代数方程组。可以推导出未知系数这个系统后解决。

3.1。误差分析

我们写阿贝尔积分方程(1)的形式 在哪里是一个紧凑的运营商,地图上连续函数吗 。当我们说,我们的目标是减少剩余函数为零。象征性地,我们有 在哪里 。我们注意到, 当且仅当 或者说,

让是一个解决方案(37),然后通过应用 ,方程(37)可以写成:

因为原始方程(1)和(38)上定义 ,误差分析,我们进行比较。

定理1。让我们假设 是一个双射算子。此外,让我们假设

然后对所有足够大 ,操作员是一种有界算子来 。此外,它是一致有界的

的解决方案(35)和(38)

证明。详情,请参考[20.]。
自 是一个紧凑的操作符,是一个有界的投影,这样吗 作为 。然后出于[20.](引理3.1.2) 因此,定理的条件1举行。

4所示。数值例子

在本节中,一些数值例子是解决方法的有效性和效率。要做到这一点,我们同时开展枫和MATLAB软件。

例1。对于第一个示例,让我们考虑第二种的线性阿贝尔积分方程与内核函数 ,和 。给出确切的解决方案(10)如下: 在哪里是米塔格-莱弗勒函数 表1在不同的时间显示错误的绝对值当选择搭配点的勒让德多项式节点。正如我们所料,当增加的程度(基地以及搭配点数量的增加)错误会减少。显示参数的影响在 - - - - - -错误,我们把图1和报告表格2。图2说明了选择节点的影响 - - - - - -误差以及误差的绝对值在切比雪夫节点使用不同的多重性 。同时,我们可以看到多重性的影响参数在 - - - - - -错误和绝对误差图2。

例2。第二个例子是致力于阿贝尔积分方程(1), 给出确切的解决方案 (4]。
展示多样性的影响参数和选择的搭配点,我们报告表格3。这个表还说明了参数的影响在 - - - - - -错误。由于表3,很明显,这三个参数有直接影响 - - - - - -这样的错误,当增加,减少错误。另外,选择切比雪夫节点给我们一个更好的结果比勒让德节点。在图3,我们将演示多样性参数时的绝对误差增加以 和不同搭配点。

例3。让我们考虑以下阿贝尔积分方程: 在这是超几何函数中定义(21]。同时,确切的解决方案 。
表4在不同的时间显示错误的绝对值当选择搭配点的切比雪夫多项式节点。图4说明了切比雪夫和勒让德节点选择的影响。我们还可以看到增加参数的影响 。可以看出通过增加参数 ,错误减少。

5。结论

在本文中,我们利用一个高效的算法基于小波pseudospectral解决著名的阿贝尔积分方程方法。这种方法可以很容易地用于解决弱奇异沃尔泰拉积分方程,这显示了该方法的能力。该方法与其他方法相比,表明该方法提供了更好的结果。我们证明了该方法的收敛性。鉴于这些基地的建设和参数的作用 ,可以用分段多项式的权力,与其他基地相比,如果精确解或已知的功能部分类型的方程,该方法将提供更好的结果。

数据可用性

支持本研究使用的数据都包含在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突与这项工作。

作者的贡献

所有作者阅读和批准最终的手稿。所有作者的贡献同样显著,本文的写作。

确认

这项工作是支持的人员支持项目数量(RSP-2021/401),沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。