文摘
复杂的模糊集(cfs),作为一个重要的模糊集扩展,已经在文献调查。运营商cfs的高度重视。此外,migrativity[0,1]上的各种模糊操作已经好了,在哪里是一个实数, 。因此,本文的研究migrativity二元函数在复平面的单位圆 ,在哪里是一个复杂的数量和 。特别是,我们表明一个二元函数migrativity所有 当且仅当它是migrativity所有 ,在哪里边界点的子集 。最后,我们讨论migrativity和旋转不变性的二元操作符之间的关系 。
1。介绍
介绍了复杂的模糊集(cfs)由Ramot et al。1,2),其隶属度是一个复杂的数量单位圆盘上的复杂平面 ,在哪里 。操作的高cfs理论的重要性。已经开发了各种概念和属性复杂的模糊操作。迪克(3]介绍了cfs的旋转不变性的运营商。戴(4,5广义迪克的工作引起的旋转不变性和秩序代数操作产品。Zhang et al。6]研究了属性和操作 - - - - - -慢性疲劳综合症的平等。迪克,狙击兵,Yazdanbahksh [7给了一些复杂的模糊操作基于毕达哥拉斯模糊操作,由刘et al。8]。然后迪克(9)考虑复杂的模糊S-implications。胡锦涛et al。(10- - - - - -13]讨论了正交性保护运营商和并列保留cfs的经营者。
的 - - - - - -migrativity [14二进制的)作为一种重要的属性模糊运营商一直在讨论重叠/分组函数的情况下15,16],uninorms [17- - - - - -22],三角subnorm [23],t-norms [24],nullnorm [25,连系动词26,27,聚合函数(28- - - - - -30.]。在上述migrative功能,他们的研究领域是有限的在[0,1]实数。例如,一个二元函数 migrative如果 适用于所有 和 ,在哪里 。
本文关注的是 - - - - - -migrativity复杂的模糊二元操作,即。、功能 ,在哪里 是一个复杂的数字。此外,由于慢性疲劳综合症是由词级和一个阶段,我们认为magnitude-migrativity phase-migrativity,分别限制 和 ,在哪里边界点的子集 ,也就是说, 。
据我们所知,migrativity包括magnitude-migrativity和phase-migrativity复杂的模糊操作还没有被研究过。此外,我们注意到phase-migrativity和旋转不变性3,4复杂的模糊操作对类似的角度旋转操作。必须理顺关系复杂的模糊操作phase-migrativity和旋转不变性。
本文结构如下:在部分2我们介绍migrativity的概念,magnitude-migrativity, phase-migrativity复杂模糊二元操作。节3,我们给这些migrativity的性格特征复杂的模糊二元操作的属性。节4、旋转不变性和migrativity之间的关系进行了研究。节5,结束语。
2。Migrativity
定义1。考虑一个不动点 ,一个二元运算 据说是migrative如果 请注意,migrativity指的是一个固定的复数 。这可以归纳如下:
定义2。一个二元运算 据说migrative当且仅当(简而言之,敌我识别) 一个复杂的矢量包括振幅,相位的部分。因此,我们引入以下概念:
定义3。一个二元运算 据说amplitude-migrative敌我识别
定义4。一个二元运算
据说phase-migrative当且仅当吗
在哪里
。
注意,phase-migrativity意味着
- - - - - -migrativity所有
。
定理1。一个二元运算 是migrative敌我识别,为所有 和 ,它认为,
证明。
微不足道的。
对于任何
,表示
在哪里
。然后
。□
对于一个复杂的模糊二元函数
,如图1(一)和1(b),如果它是phase-migrative,那么
对于任何和输入
。
一个二进制操作migrative当且仅当它是amplitude-migrative phase-migrative。从这个结果,我们有以下结果:
(一)
(b)
推论1。让 是一个二元运算。然后下面的语句是等价的。(1) ,对所有 和 ;(2) ,尽管 和 。
请注意,是migrative所有 当且仅当它是migrative所有 。这是非常有趣的,因为 是一个适当的子集 ,也就是说, ,和的大小 比这小得多的 。显然,在上面的推论, 可以取代其它子集,比如 。
例1。的操作 分别定义为
很明显,migrative。有趣的是,所有 ,我们有 。因此amplitude-migrative。同样,所有 ,我们有 。因此,phase-migrative。但不是phase-migrative,不是amplitude-migrative,因此,他们并不migrative。
3所示。表征Migrativity
的重要成果之一migrative实值函数如下定理:
定理2(见[28])。一个二元运算
是migrative敌我识别存在一个函数
这样
对所有
。
这个结果并不适用于amplitude-migrative(或phase-migrative)功能(见例子1),但它适用于migrative复值函数。
定理3。一个二元运算 是migrative敌我识别存在一个函数 这样 对所有 。
证明。
如果存在,那么
。
如果migrative,那么
,因此,
是函数。
通过这种方式,功能的migrative发生器migrative二进制操作
。
下面的结果是直接的:
定理4。让 是一个migrative二进制操作。然后(1) 如果,只 ;(2) 如果,只 ;
例2。我们给一些migrative函数及其migrative发电机。(1)migrative发电机的 是 ;(2)migrative发电机的 是 ;(3)migrative发电机的 是 。此外,我们有以下结果。
定理5。让 是一个migrative函数。然后 是交换,即 。
证明。如果migrative,那么
对所有
。
这个结果并不适用于amplitude-migrative(或phase-migrative)功能(见例子1)。下面的结果是真的,甚至对于amplitude-migrative(或phase-migrative)功能。
定理6。如果一个二元运算 amplitude-migrative(或phase-migrative),然后对所有 ,(1) ;(2) 。
证明。在这里我们只给(1)的证据。如果amplitude-migrative,那么
对所有
。
如果phase-migrative,那么
对所有
。
推论2。如果一个二元运算 migrative,那么 对所有 。
定理7。一个二元运算 是phase-migrative iff phase-migrative函数的凸的和有限的家庭。
证明。
是凸的本身。
让
与和
。如果
amplitude-migrative,那么对于任何
,
对所有
。
同样的,我们有以下结果。
定理8。一个二元运算 是amplitude-migrative iff amplitude-migrative函数的凸的和有限的家庭。
推论3。一个二元运算 是migrative iff migrative函数的凸的和有限的家庭。
4所示。Migrativity和旋转不变性
现在我们考虑migrativity和旋转不变性的关系(3,4]。
定义5。(见[3])。让
是一个二元函数是旋转不变的如果
对于任何
和
。
迪克的旋转不变性的概念进行了一定的归纳如下:
定义6。(见[4])。让 是一个二元函数是 - - - - - -旋转不变,如果一个函数 , 对于任何 和 。
定理9。一个二元运算 是 - - - - - -旋转不变的敌我识别是凸的和一个有限的家庭 - - - - - -旋转不变量函数。
证明。
是凸的本身。
让
与和
。如果
是
- - - - - -旋转不变,那么对于任何
,
对所有
。□
推论4。一个二元运算 旋转不变的敌我识别是凸的和有限的旋转不变的函数。
首先,对于二进制操作,migrativity之间没有直接的关系和迪克的旋转不变性3]。例如, 是migrative但不是旋转不变性。 旋转不变性,但不是migrative。
定理10。让 是一个migrative二进制操作和 是其migrative发生器 是旋转不变的敌我识别 对于任何 和 。
证明。
是旋转不变,即
对于任何
和
。然后
。
如果满足方程(11),然后对任何
和
,我们有
。
此外,我们认为phase-migrativity之间的关系和有条件的旋转不变性4]。
定理11。一个二元运算 满足 对于任何 和 。然后phase-migrative。但反过来是不正确的。
证明。对于任何 和 , 。此外, phase-migrative但不满足方程(12)。
推论5。一个二元运算 满足 对于任何 和 。然后phase-migrative。但反过来是不正确的。
定理12。让 是一个交换的二元运算,如果它满足 对所有 和 。然后(1)它是phase-migrative;(2)它是旋转不变, 。
证明。(1)对于任何
和
,我们有
。(2)对于任何
和
,我们有
。我们给一个二进制操作没有交换性,
满足
对所有
和
。但它既不是交换,也不是phase-migrative。此外,它是旋转不变,
。
复值migrativity复杂的模糊操作之间的关系,振幅migrativity复杂的模糊操作,阶段价值migrativity复杂的模糊操作,复杂的模糊操作,旋转不变性和migrativity模糊操作如图2。
定理13。让 是一个交换的二元运算,如果它满足 对所有 和 。然后(1)它是amplitude-migrative;(2)它满足 。对所有 和 。
证明。对于任何
和
,我们有(1)
。(2)
。我们观察它是均匀的订单2,也就是说,
当
。
我们给一个二进制操作没有交换性,
满足
对所有
和
。但它既不是交换,也不是amplitude-migrative。此外,它是均匀的3,即,
。
推论6。让 是一个交换的二元运算,如果它满足 对所有 和 。那么它就是migrative
定理14。如果一个二元运算 是旋转不变, 对于一些 。然后phase-migrative,
证明。对于任何 和 ,我们有 对于一些 。
定理15。如果一个二元运算 满足 对所有 ,所有 ,和一些 。然后amplitude-migrative。
证明。对于任何 和 ,我们有 对于一些 。
推论7。如果一个二元运算 满足 对所有 ,所有 ,和一些 。然后migrative。
5。结论
在本文中,我们研究了migrative二进制复杂的模糊运算 为三种情况 , ,和 。有趣的是,这个方程适用于所有 当且仅当它适用于所有人 (见定理1)。注意的大小 比这小得多的 。然后我们给phase-migrativity之间的关系、amplitude-migrativity migrativity,为复杂的模糊操作(参见图旋转不变性1)。我们表明,phase-migrativity条件旋转不变性(见定理的一个特例12)。
注意,本文侧重于二进制复杂的模糊运算。未来的研究应该考虑的migrativity - - - - - -维复杂模糊集合操作符。当然,其他属性复杂的模糊运营商可能的主题为未来考虑。
在[31日),狙击兵和汗用复数形式 毕达哥拉斯的会员等级, 和 。这些复杂的数字被称为数字,这属于右上角象限的复平面的单位圆盘。这样看待,研究毕达哥拉斯的migrativity模糊算子的一个特例migrativity复杂的模糊运营商通过限制域数字。显然,更详细的讨论migrativity毕达哥拉斯模糊聚合运算符(32],毕达哥拉斯t-norm [33),将是必要的和有趣的。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究是由美国国家科学基金会的中国(批准号62006168和62006168)和中国浙江省自然科学基金(批准号,LQ21A010001和LQ21F020001)。