文摘
本文提出一种数值方法求解一类非零的延迟沃尔泰拉积分方程和消失类型运用当地的径向基函数方法。该方法将这些类型的积分方程转化为一个容易可解的代数方程组。证明该方法中,我们使用离散搭配方法和局部径向基函数近似延迟沃尔泰拉积分方程方法。同时,我们使用非均匀Gauss-Legendre积分法来计算方法中出现的有效组成部分。此外,存在、独特性和解决方案的收敛了。最后,一些数值例子显示观察数值方法的准确性和有效性。一些问题已经绘制,与其他方法相比。得到数值结果和其他方法的比较显示了该方法的可靠性和准确性。
1。介绍
Volterra-Fredholm积分方程的线性系统的解决方案(VFIEs)一直是一个重要的话题的兴趣。研究领域的数学建模、边界值问题,不同的生物和物理模型导致VFIEs优越的解释。制定的一项调查显示了这样的问题(1,2)和引用。提到的一个主要类型的地区称为延迟沃尔泰拉积分方程(DVIE)。这样一个类被发现是最好的工具模型物理和化学过程。DVIEs已广泛用于分析和预测在不同的科学领域,如生物学、控制和电动力学(3- - - - - -5]。这些问题是应用于不同物理现象的数学建模作为控制理论动力系统,动力学的动静力均匀连续梁、热传导、信号处理和广义分压器。在本文中,我们要学习本地的应用径向基function-discrete搭配(RBF-DC)方法与Gauss-Legendre集成规则获取的数值解DVIE如下: 在哪里 , ,和 在他们的领域是连续函数。DVIE解释了模型粒子运动的液体和聚合物的结晶6]。该模型是一种特殊的受电弓模型和经常出现在一些科学模型如电动力学、数论、非线性动力系统。近年来,由于这种至关重要的和重要的应用,已经有许多研究在制定一些令人印象深刻的数值方法及其稳定性和收敛性分析。的融合延迟沃尔泰拉积分方程的数值解提供了由Zarebnia和期刊(7]。在[8),作者提出了伯努利小波方法求解沃尔泰拉积分方程的非线性模糊汉默斯坦类型包括持续的延迟。一些论文研究DVIEs的数值解。在某些情况下,如果DVFIEs没有确切的解决方案,然后我们感兴趣获取他们的近似解。因此,创建高效的数值方法获得近似的解DVIEs是很重要的。例如,在[9),作者研究了几何网格并考虑相应的解决DVIE搭配技巧。Dastjerdi et al。(10)应用DVIE移动最小二乘配置方法。明等。3)研究解决DVIE搭配方法。在[11),一个微分变换法研究了解决DVIEs的数值解。在[12),提出了一种sinc-collocation DVIE的解决的方法。一些数值方法被用来近似的解决DVIEs与不同类型的条件,如无网格方法(13),局部无网格方法基于径向基function-finite差异(4,5),基于径向基函数有限差分的数值方法(14],搭配一个有效的局部无网格算法[15),勒让德谱配置方法(16),一个外推法17),一个状态良好的雅可比光谱伽辽金方法(18),切比雪夫谱方法(19]。首次研究了径向基函数的话题哈代(20.)和申请地形映射。然而,径向基函数开始吸引科学家的注意,数学家,研究人员在他们使用他们的监察(21pde)寻找近似解,它们广泛应用于解决许多问题来自各个领域的工程和科学。
一个函数的自变量是一个距离,或与一个更精确的定义,一个函数,将中心点的距离计算节点 ,作为一个独立的变量称为径向基函数。在过去的几年里,径向基函数作为一个令人印象深刻的无网格方案已用于插值函数在一组散点(22- - - - - -24]。自古典径向基函数是全局函数,生成的系数矩阵对他们将完全和大当许多分域研究获得高阶准确的结果。然而,这个系数矩阵非奇异的,但通常情况下,它是坏脾气的。的优点来克服这个问题,可以使用径向基函数与当地支持称为局部径向基函数的研究论文(25- - - - - -28]。使当地径向基函数近似函数,应用几何数据要求下降在当地的影响域。因此,局部径向基函数需要更少的计算工作比全球支持当地的径向基函数,最终,当地的径向基函数的插值矩阵将条件。本文的主要目的是演示的效率和实现基于离散局部径向基函数方法配置方法与非均匀Gauss-Legendre DVIEs数字解决方案的集成方法。本文给出了一个计算方法一起使用离散的搭配方法与当地的径向基函数方法作为局部无网格方法。计算积分方法中所示,我们将演示一个特定的集成规则的基础上,应用复合非均匀Gauss-Legendre求积公式。我们计划的误差分析和收敛性分析进行了研究。我们所知,没有研究报道基于当地DVIEs径向基函数方法。与其他数值方法(如有限元法和有限差分法,在当地的径向基函数法没有要求网格或网格,只需要一组分散的节点而不是网状或网格。当地的径向基函数方法的这一特点使他们可取的,尤其是在复杂的几何图形,摆脱创建网格是一个非常好的成就,显示了极大的灵活性对当地径向基函数方法。 This method provides sparse differentiation matrices and better-conditioned interpolation matrices. Owing to better-conditioned interpolation matrices, it is possible to obtain more stable results and sparse differentiation matrices that reduce both computational cost and storage requirements. According to the description given, the implementation of our numerical method on computers is simple and computationally attractive. Also, our numerical method is only independent of the pairwise distances between points and could be easily extended to higher dimension problems.
本文的其余部分组织如下。节2,我们证明了方程的解的存在性和唯一性(1)。节3,我们得到一个数值方法求解DVIEs基于当地的径向基函数近似的搭配方法。解决方案的收敛性分析中提供了部分4。节5使用该方法,数值结果和讨论一些数值例子提供的表和数据。论文的结论部分报道6。
2。存在性和唯一性
在本节中,我们将展示和状态方程的解的存在性和唯一性(1)。让 巴拿赫空间。然后,我们考虑一个运营商 通过
如果 算子的不动点吗 ,然后是一个方程解(1)。假设 ;然后,我们有 在哪里 和 。如果 ,因此,运营商是一个收缩和方程(1)有一个独特的定点,这表明存在唯一解的方程(1)。
3所示。该方法的解释
在本节中,我们展示了基于当地的径向基函数的数值方法搭配方法求解方程(1)。另外,在这一部分中,本地支持所谓rbf LRBFs用于近似函数在任何维度。一个函数 被称为径向如果存在一个单变量函数 这样 在这 。假设 ,在哪里 是一个开放的有限覆盖和 集中在与半径 。然后,一个函数可以开发以下系列: 在哪里是索引对应的集合点下降影响域内的基数 如图是哪一个1。最喜欢的径向函数(29日报道在表1。高斯和逆multiquadrics严格正定径向基函数在任何(30.]。它保证相关插值矩阵扩张(5)是满秩。
在关系(5),未知系数为 执行计算的插值条件。
所以,我们可以把方程(6)以下矩阵形式: 在这 和是真正的对称系数矩阵的大小 和由
应该注意的是,如果一个径向基函数是严格正定,那么相关的插值矩阵是正定和非奇异的。让我们考虑
然后,方程(5)和矩阵可以显示的
让是一个逆矩阵,然后从方程(7),我们有
在方程离散化积分(1)通过使用该方法,应用数值积分方法,我们需要估计DVIEs任何点的解决方案在解决方案域。因此,我们说明了当地径向基函数搭配法近似函数在任意点 通过下面的线性组合: 在哪里被称为形状函数的局部径向基函数插值。一般来说,形状函数可以表示如下:
然后,我们可以假设 在这 和影响域的点被认为是由 。参数的选择 ,命名为形状参数,严重影响该方法的准确性(29日]。例如在高斯函数,如果我们选择一个更大的形状参数与一个固定的数字 ,近似将更准确,而相关系数矩阵的条件数将是巨大的。另一方面固定形状参数的值c,条件数的增长 。然而,最优值的选择仍在检查,和一些值由许多作者建议。哈代在他最初的工作建议和插入使用 ,在哪里 和是距离其最近邻(31日]。我们考虑以下DVI算子 :
然后,我们可以把方程(1)以下操作员身份:
求解方程(1)通过使用数值方法,我们所需要的节点分考虑的时间间隔 。因此,对于任意函数 ,这个函数估计可以通过当地的径向基函数作为吗
计算系数通过使用搭配方法,我们代入方程(21),把节点点在方程(1),我们得到
因为的支持是 为 和功能克罗内克符号条件得到满足,那
假设 是一个本地搭配运营商定义的 的系数计算了
的运营商方程(1)的收益率
计算的积分方程(23),我们可以使用 - - - - - -点由正交规则 在哪里 , 和 。因此,我们近似积分给出了方程(23)通过使用 - - - - - -点正交规则 在哪里 和 。同时,我们获得 在哪里 和 。因此,用方程(28)和(29日)方程(23),我们获得一个代数方程组如下:
通过解决这些代数方程,未知常数可以确定和数值解的方程(21可以计算)。
定义1。让 是一组点,这样 。然后,填满的距离是由
定理1(见[32])。让是一个正定与无限的平滑度和径向基函数 那 被定义为 在哪里和的傅里叶变换和 ,分别。然后,对任何 和 ,存在常数和 这样 在哪里 。
与类似的过程(32),我们可以研究该算法的复杂性。
4所示。收敛性分析
在本节中,我们将检查和学习的收敛性分析DVIE基于该方法。
定理2。假设在 是一个可微函数,这样 。然后,在每个子区间 我们有 在哪里和方程的精确解(1)及其局部径向基级数展开,分别。
证明。利用积分中值定理,我们得到 同时,函数 ,通过应用中值定理,我们有 用方程(36)方程(35)和应用中值定理,我们得到的 如果我们考虑 ,我们获得 因为 我们有 ,然后, 用方程(37)方程(39),我们得到 为了证明方程的收敛性分析(1),我们考虑到误差函数 ,那和方程的精确解和近似解(1)。然后,我们有 在哪里余项。通过减去方程(42从方程()41),我们获得以下关系: 当 ,从方程(40),我们有 ,然后 。因此,我们显示方程的收敛性分析(1)。
5。说明性的例子
这部分给出了一些数值例子说明了该方法的效率和精度。此外,该方法的比较与先前已知的方法。数值例子在这项工作中,我们使用高斯(GA),逆multiquadric (IMQ)和multiquadric (MQ)的适用性和效率很大程度取决于形状的参数 。因为当地的径向基函数有了更多的自由选择形状参数,我们选择中间值 对气体和 IMQs和mq。另外,在算例中,我们使用线性的 和二次 基函数和高斯权重函数的近似积分方法。评估该方法的性能和效率,我们定义的最大绝对误差和平均误差在一个域 如下: 在哪里精确解和吗数值解的吗通过使用该方法。同时,定义了所提出方法的收敛速度
例1。考虑以下DVIE: 方程的精确解(45)是 。数字解决方案通过使用先前的数值方法在解决这些困难DVIEs,但我们可以很容易地计算出数值解对于本例采用气体和mq显示本文基于一些随机节点区间 。节点的分布区间随机选择 被描述为一些在图2。我们首先将该方法用于解决本例中选择 ,和 。数值解和精确解图使用一节中描述的技术3不同的价值观如图3。图4的图表显示了不同的值的绝对误差函数 。不同的值的绝对误差函数对于这个问题使用GA(左)和MQ(右)如图4。图5展示了获得错误使用提出了不同值的方法 。表2比较的绝对误差函数数值计算时采用该方法的解决方案 ,和 。
例2。考虑DVFIE: 对于这个示例,具体的解决方案 。我们解决了这个例子通过应用建议技术演示部分3通过选择不同的值和 。对于这个示例,应用气体和IMQs显示本文基于一些随机节点区间 。图6代表的数字解决方案提出了方法和不同的值的精确解 。图7显示的绝对误差通过选择不同的值 。不同的值的绝对误差函数对于这个问题使用GA(左)和IMQ(右)如图7。表3代表的最大绝对误差的研究方法与各种价值的结果 。图8展示了获得错误使用提出了不同值的方法 。我们建议技术的比较和数值结果所示3,12为不同的值)是在表4。使用方法所得数值结果在当前纸比[所示的数值结果3,12]。我们还比较了CPU时间通过应用我们的建议不同数量的技术在图9。该方法的收敛率远高于所示的收敛率(3,12]。此外,该方法的CPU时间低于[所示的数值结果3,12]。
6。结论
本文利用局部径向基函数方法解决一类非零的延迟沃尔泰拉积分方程和消失与给定的初始和边界条件类型。径向基函数支持的本地方法进行散点为基础的搭配方法。通过使用非均匀Gauss-Legendre交,我们给一个数值公式获得积分的方法。这种方法减少了延迟沃尔泰拉积分方程的解线性代数方程组的解。这种方法不需要任何背景近似细胞。一些数值例子显示,证明该方法是非常准确和有效的。获得的结果与其他方法的错误在这方面发表在科学文献。我们建议的方法的计算结果更准确比文章显示在表中4和引用。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。