文摘
本文数学模型基于常微分方程的系统开发与疫苗接种作为2019年冠状病毒的传播动力学的干预(COVID-19)。提出的模型解决方案所示好。疫苗的繁殖数量计算通过使用下一代矩阵的方法。这个模型进行灵敏度分析表明,疫苗的接种率和疫苗疫苗的功效是最敏感的参数复制号码, 。率的最优控制问题是解决接种的疫苗接种和过渡率类感染类作为控制变量。最后,数值模拟表明,控制干预应该增加与高效疫苗的接种率。
1。介绍
COVID-19小说是一种高度传染性呼吸道疾病造成的严重急性呼吸系统综合症coronavirus-2 (SARS-CoV-2)。病毒的流行率增加几乎摧毁了世界各地的医疗系统(1,2]。2020年3月11日,世界卫生组织(WHO)宣布全球健康大流行性疾病。它是通过吸入呼吸道飞沫传播的传染病人发出通过打喷嚏、咳嗽、和亲密的交谈,以及接触被污染的表面(3]。呼吸道感染显著影响。最初COVID-19症状为发热、干咳,和疲劳。其他症状包括身体疼痛、喉咙痛、腹泻、头痛、味觉和嗅觉丧失,呼吸困难,皮疹,变色的手指和脚趾3]。
COVID-19发病率和死亡率可以加剧了预先存在的疾病,如心血管疾病、呼吸系统疾病、癌症、传染性疾病和药物滥用。此外,预先存在的条件,如环境、人口和社会经济因素可能影响COVID-19发病率(4]。预防和控制COVID-19的传播,卫生服务提供者和世界各国政府封锁等控制措施,实现旅游禁令,停止运动,社会距离,适当的卫生,和适当的洗手等等。尽管有这些安全措施,病毒继续传播,尽管速度缓慢。
接种疫苗是一个重大的公共卫生工具在现代医学用于减少许多传染病对人类的影响5,6]。疫苗是任何源自生物的物质,诱发保护性免疫反应,当易感主机管理。疫苗帮助身体准备免疫疾病通过利用事实知道如何抵御传染性生物体,这通常是病毒、细菌或毒素(7]。给定的高度传染性的新变体的出现,减少疫苗有效性和不平等的疫苗可用性,人们日益担心疫苗可能不会导致群体免疫力。疫苗减少严重疾病和死亡的风险;因此,一个国家的疫苗覆盖率必须高为了保护医疗体系从感染飙升2]。自2020年底以来,几个SARS-CoV-2变异的担心,更传播和/或vaccine-resistant已确定(8]。
在现代医学中,疫苗一直是一个重要的公共卫生技术减少许多人类传染病的负担(5,6,9]。几个COVID-19候选疫苗开发并已经在使用10]。辉瑞等疫苗,现代化,阿斯利康,人造卫星,国药控股,强生(Johnson & Johnson)和许多其他目前正在管理世界各地的日期。这是一个社会责任的选择一个人接种。然而,抵消了恐惧和疫苗的副作用进行(11]。COVID-19疫苗的供应短缺在许多发展中国家导致了不同的免疫策略的实现,有不同的结果。例如,在肯尼亚,优先级是给成年人2]。
数学模型提供了洞察传染性疾病传播和控制(12,13]。许多COVID-19动力学数学模型和控制策略开发和研究,例如,在研究进行的(9,10]。最优控制被认为是一个强大的数学工具优化控制问题在各个领域(14- - - - - -18]。在疫苗接种的背景下,在人群中疾病传播的动力学和免疫通常是模仿通过使用网络区划的方法(19]。COVID-19动力学的数学模型提出了(18]。一个最优控制函数添加到模型中,以有效地控制疫情。主要控制隔离、检疫和住院治疗。结果表明,采用现有的控制措施,他们的潜能将大大减少感染人群。
一个新的COVID-19[中展示了模型的最优控制分析20.]。作者认为四个不同的控件开发一个最优控制模型,包括预防、疫苗接种控制,快速筛选的人接触,和人感染筛查。的forward-backward龙格-库塔方法用于解决模型有或没有控制。研究结果表明,控制可以用于减少受感染的个人和改善人口健康。小说分数阶数学模型,解释的行为在埃塞俄比亚COVID-19开发和分析21]。一个不精确牛顿迭代法用于解决模型系统。该模型考虑了各种控制技术对疾病传播的影响。
Zamir等人在22)建立了一个数学模型来研究COVID-19的传播动力学。这项研究使用了一个临床前研究最优控制方法。COVID-19数学模型,考虑了易感,暴露,感染,渐近,检疫/隔离和恢复类的开发和分析23]。弹性和敏感性分析表明,该模型更敏感的传播率从感染到暴露类比传播率从容易暴露类。
Alqarni et al。24)开发了一种新的冠状病毒的传播动力学数学模型(COVID-19)使用病例报道在沙特阿拉伯王国从3月2日,2020年,2020年7月31日。模型的稳定性结果显示当基本繁殖数量 ,和模型是局部渐近稳定的。使用PRCC方法,他们展示一些重要参数更敏感的基本繁殖数量 。的敏感参数作为控制参数,可以减少和控制感染人口是描绘图形。研究结果表明,如果控制之后,沙特阿拉伯王国的感染率可以显著减少。在这项研究中,一个扩展西珥COVID-19动力学模型提出调查接种疫苗接种的影响作为一个控制干预流行传播。
2。模型公式
susceptible-vaccinated-exposed-infected-recovered (SVEIR)模型与标准的发生率是发达和分析。尽管有基础疾病,使人容易罹患COVID-19疾病的风险更高,人口正在研究认为有同等水平的敏感性。这类人被称为易感个体用 。几个COVID-19候选疫苗开发并已经在使用10]。人已经接种特此归类为接种疫苗类,用 。当暴露于病毒易感的个体,他们接受一个潜伏期,病毒暴露和出现症状之间的时间。这是平均5 - 6天,但它可以只要14天(25]。孵化的个体在这个研究是归类为暴露类用 。曝光时间结束后,孵化个人运输到感染类用 。COVID-19明显的传染性潜力更大之前或症状出现前5天内26]。受感染的类 ,在这项研究中,包括和无症状病例发生前症状。根据症状的严重程度和干预策略,感染者可能死亡或从疾病中恢复过来。因此,类表示人的数量从感染中恢复过来。研究假设感染COVID-19授予临时免疫在复苏。
个人到敏感类的招聘是通过出生在人均率 。疾病的爆发后,一些控制措施实施控制传播。受到人类获得感染的传染性个人通过感染的力量 ,在哪里透射系数。的饱和发病率 和 往往当的饱和水平生长大。常数措施造成的饱和影响感染个体的控制措施。接种疫苗是由的比例 , 。疫苗接种者的透射系数用 ,的参数 , 疫苗的有效性的措施。疫苗接种者都认为收购部分免疫力COVID-19接受疫苗的类型(效力级别)为一个独立的个体。疫苗接种者的透射系数, 自疫苗接种者被认为已获得了诱发的免疫(27,28]。暴露个人的速度成为传染性用 。自然和disease-induced死亡率和 ,分别。从感染被认为是回收率 。
上述模型描述转化为下面的流程示意图,如图1。
从上面的描述中,相应的数学模型由以下一组常微分方程表示: 在哪里 , , 。
3所示。模型的适定性问题
在本节中,讨论了模型的适定性问题的解决方案。模型(1)描述了人口,因此,其解决方案,如下所示,积极和有界 。
3.1。有界性的解决方案
模型(1)分析了合适的可行域 在哪里 给出了人口总量。
使用命题1下面所示的模型解决方案是有界的 在该地区 。
命题1。对于所有的时间 ,模型的解决方案(1在该地区)是不变的 。
证明。模型的解决方案(1)是不变的 ,也就是说,all solutions start in并保持在该地区对所有 。人类人口的变化率是由 这意味着 由variation-of-constant公式,它遵循 因此, 。这意味着的解集 在可行域是有界的吗 ,也就是说, 因此,模型的所有解决方案(1在该地区)是有界的 。
3.2。积极的解决方案
命题2。所有解决方案集 的模型(1)与非负初始条件是积极的 。
证明。考虑第一个方程模型(1),也就是说,
在哪里
集成变量分离得到
因此
在哪里
。这意味着
以类似的方式,所有其他变量可以是积极的
。因此,模型的所有解决方案(1在该地区)是积极的
。
显然,从命题1和2,所有解决方案的模型(1)所示是该地区积极不变
。因此,模型(1)是数学和流行病学构成生物可行域
。
4所示。疫苗的繁殖数量和无病平衡
在本节中,无病平衡点和疫苗繁殖数量的模型(1)计算。
4.1。无病平衡
模型的无病平衡点(DFE)点(1)被定义为没有COVID-19感染的状态下的人口研究。
命题3。存在一个教育部的模型(1)由
证明。无病平衡点,没有感染人群中。因此,与 ,然后模型(1)给出如下: 解决模型(13) 和 。因此,模型(1)有一个无病平衡的
4.2。繁殖数量
基本的繁殖数量,通常用 ,被定义为继发感染的平均数量由于单一感染个体引入一个完全易感人群在他/她的传染性的时期(29日]。基本的繁殖数量是矩阵的谱半径, , ,F和V是下一代矩阵(30.]。操作员 ,下一代矩阵,由矩阵的偏导数(出现新的感染室), (传输的速率/过渡率间的疾病 )对受感染的隔间(和 )在教育部评估。的矩阵和是由 的过渡矩阵和评估在是由 和
矩阵是可逆的,
因此,矩阵是
从模型(1)涉及到疫苗接种作为干预,其繁殖数量称为疫苗相关的繁殖数量用 。这个阈值量可以预测特定人群中疾病的传播的疫苗接种。疫苗的繁殖数量计算通过使用下一代矩阵方法给出了以上
如果疫苗功效 ,然后 这是由基本生殖号码 。
疫苗繁殖数量, ,是疫情的严重程度的测量在疫苗接种和最重要的参数之一,因为它决定了这种疾病是否会入侵种群。从流行病学角度说,如果 ,然后根据定义,感染并不在人群中传播。另一方面,如果 ,然后在人口和可能导致感染扩散到流行病。
5。敏感性分析
输入参数的影响模型的输出被称为参数灵敏度。敏感性分析的基本再生数可以用来开发一个缓解策略,将流行病的传播缓慢降低(14]。敏感参数是那些产生重大影响的传播动态感染。使用规范化提出敏感指数(31日),灵敏度指标计算 在哪里参数的敏感性指数计算。
从敏感性分析如表所示1,增加疫苗接种1%的减少会导致有效的繁殖了0.89844626%。增加疫苗的功效1%导致有效减少生育数量了0.9990436%。显然,接种疫苗和疫苗功效的敏感参数 。增加疫苗接种,疫苗功效高,导致疫苗繁殖数量减少。因此,控制策略应该增加利率目标的疫苗接种的疫苗和管理高效的水平。
6。优化分析与疫苗接种计划控制干预
一个最优控制问题构造控制COVID-19病毒的传播和优化疫苗接种计划。因此,在本节中,最优控制进行理解的影响敏感参数对最优的疫苗接种计划。确定最优COVID-19疫苗接种计划,让变量和 控制变量。因此,构造一个最优控制问题,减少人的数量的目标COVID-19感染。创建以下目标函数来完成: 在哪里 是整个时间范围的控制和应用 , , , , 是积极的平衡条件的相对重要性的权重客观功能 。一个最优控制 , 被选为
这样 是可测量的 。这是最优控制的必要条件必须满足Pontryagin最大的原则(33,34]。哈密顿函数 在哪里 , , , ,和是伴随变量。获得最优控制的表达以减少感染人口的数量和成本的控制策略,应用下面的命题。
命题4。最优控制 ,最大限度地减少 ,伴随变量 , , , ,和满足下列常微分方程:
横截性条件
因此,最优控制的表征形式,提供如下:
证明。的哈密顿在方程(25)是分化的状态变量,
,分别。因此,伴随系统可以写成的
为
Pontryagin的极大值原理(34),可以最大化对吗和
,也就是说,
的界限和考虑的特征和获得所示(27)和(28),分别。现在,使用控制参数
,然后我们获得
在哪里
以来最优控制开关最多一次,然后控制目标函数构造在这项研究在最佳。
近几十年来,控制理论已被广泛应用于许多领域。最优控制,特别是在流行病学、可能是非常有用的在控制数学模型描述传染病的传播(35]。指定适当的疾病动态监管限制的形式根据目标函数的生物学解释。控制的目标必须满足只在这些限制。此外,降低疾病患病率需要减少感染病例的总数。这需要增加疫苗接种同时减少收缩系数的感染
。增加疫苗接种率和高度有效的疫苗的管理将有助于最大限度地控制策略对COVID-19传播动力学。
7所示。数值模拟和讨论
参数用于模拟获得文学,而其他人则是估计,表中列出2。这些参数值变化在切实可行的范围内。
为了模拟,除非另有说明,初始种群了 , , , ,和 。
数值模拟的目的是分析COVID-19病毒进程状态的变化随着时间的推移,以及变化的影响疫苗的接种率和疫苗COVID-19传输动力的功效。这是通过改变参数和而保持其他参数不变。模型的仿真分析(1介绍了数字2和3。
图2显示疫苗功效的变化的影响在感染动力学。当高功效的疫苗接种,说90%的功效,它将花更少的时间的感染者减少。另一方面,当疫苗功效较低,需要较长时间的感染者数量减少,因此,COVID-19感染人口将持续。图3显示了疫苗接种率变化的影响在感染动力学。结果表明,当疫苗接种的速度高,感染者的数量急剧减少,反之亦然。图4显示了图的疫苗繁殖数量对疫苗的接种率 。可以看出与疫苗接种的速度增加 ,疫苗的繁殖数量大幅减少。图5显示了3 d的情节疫苗繁殖数量反对疫苗接种的速度和疫苗功效 。可以看出增加在接种疫苗和疫苗功效,疫苗繁殖数量大幅减少。
接种疫苗提供了一个非常强大的COVID-19疾病控制的方法。疫苗接种的临界水平以上与一个疫苗功效水平需要减少人口的严重程度和最终根除感染。群体免疫对COVID-19可以通过免疫易感人口的很大一部分。为了防止未来的大爆发,除了疫苗接种,各种其他控制措施(例如,COVID-19协议(如使用面具,社会距离,适当的卫生,等等)是必需的(14,36]。
8。结论
摘要疫苗接种的影响通过一个SVEIR模型作为干预研究。模型的适定性问题,显示无病平衡点的存在。敏感性分析表明,疫苗接种的速率, ,和疫苗的功效是最具影响力的参数 。最优控制,提高疫苗的接种率和管理高度有效的疫苗将有助于最大限度地控制策略对COVID-19传播动力学。这是说明了数值模拟。这项研究中,像其他19,37,38),证实疫苗接种可能根除感染人群中。未来的研究将集中在年龄相关性SVEIR模型来确定合适的疫苗接种策略应用时代。
数据可用性
研究结果用于支持的数据包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
支持的工作是Masinde Muliro科技大学研究生优秀奖学金奖。