文摘

度量维度是一种有效的工具来研究不同的基于距离的问题在电信领域,机器人技术,计算机网络,整数规划,化学,和电网络。在本文中,我们研究的最新形式度量维度称为分级指标维度等一些连接网络的圆形斜梯,双太阳的花,和双路径网络。

1。介绍

解决或定位设置斯莱特首次引入的,和他所谓的秩序解决设置为最低位置号码(1]。遵循的理念定位集,熔炼工和Harary定义术语指标维度(MD)。此外,他们给了一个表征的MD的树木2]。沙特朗等人计算路径的MD和单循环的网络,他们也为所有这些连接的网络秩序 MD 1, ,和 。此外,他们提出了解决整数规划问题(IPP)医学博士的帮助下在特定条件下(3]。常数MD cycle-related网络计算了穆尔塔扎et al。4]。也是发现问题找到连接网络的医学博士是np难5]。定位套应用在网络发现6),硬币权重、机器人导航、模式识别(7),和关节在网络8]。一些有趣的结果中可以看到不同的医学不变量(9- - - - - -12),最近,中间人等人计算边缘的MD托普利兹网络(13]。

Currie Oellermann发现积分以及nonintegral IPP的解决方案通过使用分级指标的概念维度(手足口病)14]。Fahr等人提出了一个最优解的IPP用手足口病的概念(15]。后来Arguman和马修口蹄疫的一些重要的网络和计算也定义具体计算标准来计算一些连接网络(手足口病16,17]。手足口病的顶点传递和层次产品的网络计算冯et al。此外,他们还建立了口蹄疫的笛卡儿积的网络(18,19]。手足口病研究电晕产品,词典产品,和单循环的广义sunlet网络,看到20.- - - - - -22]。后来艾尔Khalidi等人设计的计算标准计算的口蹄疫连接网络的23]。此外,Javaid等人这些连接网络特征与手足口病被完全1 (24),手足口病的金属有机化合物计算Moshin et al。25]。最近,在2021年,哈桑等人计算广义的l f度量维度齿轮网络形式的精确值。此外,他们还证明,所有这些网络秩序后仍然无限无穷(方法26]。在本文中,我们计算精确值的手足口病如双向日葵网络连接网络,循环对角网络,双路径网络。

本文的组织结构如下:部分2包括预赛、部分3处理的主要结果,部分4包含的结论。

2。预赛

让 是一个简单的无向网络的地方 顶点集和吗 分别是边缘。网络的顶点是有序的两个顶点相邻当且仅当它们连续在列表中被称为路径网络。对于任意两个顶点 ,任意两个顶点之间的距离 和 用 是他们之间边的数量。一个网络连接如果任意两个顶点之间存在一个路径。为进一步研究这些初步概念,看到27]。

为 和 ,一个表示的顶点 关于 是 。如果每个 拥有独一无二的代表 ,然后设置 成为解决集有 的元素 和最低的顺序解决组被称为医学博士 定义为 。

一个顶点 解决两个顶点 如果距离 来 不等于距离吗 来 。对一对 ,被定义为设置的解决社区 。一个函数 被称为解决函数如果 为每一个 的 ,在哪里 。然后,手足口病被定义为 敏\ { 是最小的解决函数的 \}。

3所示。主要结果

在这个部分,我们现在主要结果计算精确值的口蹄疫等不同连接网络的圆形斜梯网络,双向日葵网络、双路径网络。

3.1。部分指标维度双重向日葵网络

为 ,双向日葵 是一个网络的秩序 和大小 ,从向日葵获得网络通过添加一个新的顶点吗 在每条边 并添加边 为每一个我(见图1)[28]。


图1
双向日葵网络 。

引理1。让 与 是一个双向日葵网络。然后,(一) 和 。(b) 和 ,在哪里 表示所有其他可能的解决社区组 。

证明。让 , ,和 的顶点 ,在哪里 , ,我们有以下。(一) 与 和 。(b) , , , , , , , 和 。 , 和 。 , 和 。 , 和 。 , 和 。 , 和 。 。 , , 。它可以观察到从表1那 和 ,在哪里 是其他RN集。

表1
每个RN组 。

定理1。让 与 是一个双向日葵网络。然后,

证明。对于不同的顶点 ,我们有下列情况。

案例1。为 ,可能的RN集如表所示2。
从上面RN集,RN集 , 和 是其他RN集,在哪里 。此外, 和 。因此,存在一个常数函数 定义为 , ,这表明, 是一个解析函数。为了显示 是一个最小的解决函数,考虑 ,在哪里 , ,因此 这意味着 不是一个解析函数。因此,

表2
RN集和的元素 。

例2。为 和 ,由引理1, 和 和 , 。因此,存在一个函数 定义为 : 这样 这表明, 是一个解析函数。为了显示 是一个最小的解决函数,考虑到存在另一个解决函数 这样 ,因此 这意味着 不是一个解析函数。因此,

3.2。部分指标维度的圆形斜梯形网络

一个圆形的斜梯 的大小 和秩序 从棱镜获得网络吗 通过添加一些双交叉边缘 和 (见图2)(关于这些网络的更多信息,请参阅[28])。


图2
圆形斜梯 。

引理2。如果 与 是一个圆形斜梯形网络呢(一) 和 。(b) 和 ,在哪里 都是其他可能的解决社区集。

证明。考虑内 和外 顶点的 ,分别在哪里 , ,我们有(一) 与 和 。(b) , , , , , , , , , , 。它可以观察到从表3那 , 。

表3
RN集和的元素 。

定理2。让 与 是一个圆形斜梯形网络。然后,

证明。对于不同的顶点 ,我们有以下情况。

案例1。在这种情况下,我们计算的手足口病 的帮助下表4。
为 , 和 在哪里 RN其他组吗 。此外, 。因此,我们定义了一个函数 这样 为每一个 和 ;因此, 是一个射频。表明 是一个最小的射频,我们再射频这样吗 ;然后, 。因此,

表4
每个RN集的基数。

例2。为 , 和 在哪里 RN其他组吗 。此外, 。因此,我们定义了一个函数 这样 为每一个 和 ;因此, 是一个射频。表明 是一个最小的射频,我们再射频这样吗 ;然后, 这表明, 是一个最小的解决函数。因此,

3.3。手足口病的双路径网络

在本节中,我们的目标是计算双路径网络的手足口病。双路径网络 从道路网络了吗 通过两份 通过每个顶点 一个副本的开放社区 对应顶点的第二个副本。此外, 和 (详情见图3)[29日]。


图3
双路径网络 。

引理3。让 与 是一个双路径网络。然后,(一) 和 。(b) 和 ,在哪里 所有可能的解决社区组吗 。

证明。让 , 的顶点 ,在哪里 , , , ,和 。(一)自 , 和 。(b) , , , 。现在的帮助下表5,我们比较每个RN集的基数。从表5观察到 。自 , 。

表5
可能的解决社区组 。

定理3。让 是一个双路径网络 。然后,

证明。对于不同的顶点 ,我们有以下情况。

案例1。在这种情况下,我们计算的RN集 和他们的基数的帮助下表6。
自 和 的 , 和 。此外,RN集 不是两两不相交。因此,我们定义了一个函数 这样 为每一个 和 ;因此, 是一个射频。表明 是一个最小的射频,我们再射频这样吗 ;然后, 。因此, 是一个最小的射频。因此,

表6
每个RN集的基数。

例2。为 ,由引理3, 和 的元素 两两不相交。因此,我们定义一个常数函数 这样 为每一个 和 ;因此, 是一个射频。表明 是一个最小的射频,我们再射频这样吗 ;然后, 这表明, 是一个最小的解决函数, 。因此,

4所示。结论

本文处理的最新不变的度量维度称为分级指标维度,我们计算的精确值分级指标维度不同的连接网络就像双向日葵网络,圆形斜梯形网络,和双路径网络。此外,这也证明了这些网络的部分指标维度取决于他们的订单。现在,我们关闭我们的讨论以下打开的问题。

描述连接工程获得分数的确切价值度量维度,仍然是一个悬而未决的问题条件下,最低的基数解决社区设置大于2。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。然而,读者可能联系的通讯作者的更多细节数据。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

第二作者(穆罕默德Javaid)是巴基斯坦支持的高等教育委员会通过全国大学研究项目(批准号20 - 16188 / NRPU /研发/ HEC / 2021 2021)。