文摘

在寿命测试实验中,在将连续失败时报单位测试记录在考虑提前终止固定实验在时间t .这种类型的审查计划,叫做传统i型审查方案,广泛应用。在本文中,我们假定项目的失败时期独立和分布与指数寿命分布参数 。与最大似然估计方法获得一个精确的形式及其分布也得到未知参数。我们提出确切的置信区间估计和 ,渐近置信区间,置信区间下的似然比检验,最后,两个引导置信区间。根据贝叶斯方法,估计未知参数和相应的可信区间获得考虑先验信息制定倒伽玛分布。蒙特卡洛模拟研究是用来比较不同的方法。最后,为了便于说明,真正的数据集和分析使用。

1。介绍

假设相同的物品放置在一个生活测试实验。然后,独立同分布(先验知识)的一生每一项分布与指数寿命分布参数 。因此,一生中随机变量与参数的概率密度函数(PDF) 提出的

测试继续前进直到固定的时间达到终止实验。实验是在考虑,通过测试并不是取代失败的项目。这种类型的审查计划被称为传统i型审查方案中是相当重要的可靠性验收试验mil - std - 781 - c [1]。

介绍了i型审查方案,爱泼斯坦(2),双侧置信区间的估计参数提出了爱泼斯坦(3没有任何正式的证明。提出的命题爱泼斯坦略微修改了费尔班克斯等。4)展示一个简单的新的置信区间。参数的最大似然估计(标定)和相应的精确分布的估计量以及片面的置信区间是通过陈和巴塔查里亚(5]。正在考虑,倒伽玛先验分布的贝叶斯方法,贝叶斯点和相应的双边可信区间的平均寿命估计被德雷伯和格特曼6]。最近,最大似然估计值presnted right-censored线性回归数据下于(7),平均排名验收抽样计划给出了指数分布下Hussain et al。8]。建立双侧置信区间的问题的具体分布提出了由陈和巴塔查里亚(5]。

的确切分布的问题在i型审查方案获得更严重。,几本书等可靠性或生存分析,贝恩(9],巴洛和Proschan [10和无法无天的11不要谈论这个问题。值得一提的可能,特别是作为一个应用程序在分析可修系统,随机抽样从截断指数分布的问题。这是详细讨论由贝恩和恩格尔哈特(12)(第9章)以及分布的总和观察来自截断指数分布。相同条件观察到失败的总和乘以密度给定的故障数time-censored威布尔过程,结果是可修系统框架。在自然环境这个密度给定的采样截断指数分布看,贝恩,恩格尔哈特和赖特13),参见贝恩和周14在这方面。

在统计中,我们使用的样本数据来估计一个时间间隔感兴趣的参数值。本文讨论了区间估计的不同形式。在频率论的方法,提出了不同的置信区间,但根据贝叶斯方法,提出了可信区间。同时,有一个常见的区间估计,置信区间等宽容区间,预测时间间隔。在文献中,有不同的小说的情况下作为指导区间估计是如何制定的。可信区间和置信区间都不同,但有一个类似的站。置信区间可以应用在更多的情况下在参数和非参数模型以外的可信区间。区间估计的性能测试程序的问题涉及到各种近似,有一个需要检查的实际表现过程接近是什么。覆盖概率和间隔长度与区间估计相关的关键概念。我们知道时间间隔长度和下获得更高的覆盖率低覆盖率下获得较短的间隔长度。 In statistics, we face a number of interval estimators of the population parameters, and a decision has to be made on what the “best” method of estimation is. The key concepts are that the better coverage probability goes with smaller interval length and vice versa, and it is useful to have some practical way of combining these measures.

在考虑i型审查方案,具体的渐近分布得到了。同时,基于这两个值和 ,的确切和相应的渐近置信区间是派生的。同时,基于似然比检验(轻轨),置信区间,贝叶斯可信区间倒伽玛之前,确切的表达式和来自考虑未知参数。最后,不同的方法与蒙特卡罗模拟,真实的数据集是适用于所有不同的方法。

本文组织如下。问题和未知参数的标定其分布在部分制定2。提出了置信区间以及可信区间3。比较不同的方法通过数值实验部分4。真正的数据集分析部分5。最后,在节6从我们的工作中,我们得出的结论。

2。大中型企业及其分布

在本节中,我们构建了具体条件矩母函数,可用于构建具体条件参数的置信区间指数分布的假设下。

2.1。大中型企业

假设 表示的一生相同的物品将被测试,分布与指数分布参数和PDF (1)。这些东西用的命令一生 。假设,失败到物品的数量,包括前缀的时间点用 。所以,观察下传统是由i型审查方案 在哪里

让我们定义 在哪里定义测试的总时间。因此,基于指数i型审查数据的似然函数可以写成

似然函数(5)和 ,的大中型企业存在,是由 和不存在的 。

2.2。初速分布

的分布显示的条件分布为 ,换句话说获得的分布鉴于 ,和 ,然后获得无条件的分布。这是可以做到的,由我公司(15)利用均匀分布的卷积性质或所显示陈和巴塔查里亚(5由条件矩母函数(MGF)的方法。此处我们将使用MGF方法。的条件MGF鉴于 是由 在哪里 和 。的证明(7附录中给出了)。

注意,给定的条件分布的总和的观察( )条件分布i型审查的观察从单参数指数分布是一样的和观测的随机样本大小 ,贝恩(取自截断指数分布9)或陈和巴塔查里亚(5]。然后,初速分布函数获得的期望相对(截断高于0)的条件分布 鉴于 。

现在,我们要计算值的均值和方差为i型审查计划。很明显,获得前两个时刻的问题可能是复杂的。然而,从条件MGF,他们可以获得如下。 在哪里

同样的,

有趣的是注意到,偏见是正的,除非,和作为T⟶∞,即,when the Type-I censoring scheme becomes complete sample life testing experiment. In that case这只不过是一个期望值的完整生命测试实验。右边第二项(8)可以用递归关系(见,例如,Govindrajulu [16])。

3所示。不同的信心和可信区间

在本节中,提出了不同的置信区间如下。(1)基于准确的分布 。(2)基于的渐近分布和 。(3)基于似然比检验。(4)Bootstrap-p和bootstrap-t信心间隔。

我们还提出了一个贝叶斯的可信区间基于反向伽马之前 。

3.1。精确置信区间

的具体分布被陈和巴塔查里亚(5)参数的片面的置信区间 。此外,双侧置信区间可以轻松地获得准确的分布的基础上吗 ,在传统的i型审查计划的考虑下 是一个增加函数的因为它最初提出的陈和巴塔查里亚(14]。使用陈和巴塔查里亚(14),我们观察到 在哪里现在卡方PDF自由度,

定时截尾(考虑下11),我们观察的累积分布函数(CDF) 。因此,对称置信区间 在i型审查通过选择制定和这样

3.2。渐近置信区间

毫升的限制属性是用来获得的渐近分布 。的渐近分布 ,是渐近正态分布的意思吗和方差在哪里

基于渐近分布的渐近置信区间可以很容易地计算。这是观察到,

的证明(15)是在附录B

因此,使用(15)和(16),我们可以获得(14)。因此,对于 ,100年渐近置信区间是

报道在米克尔et al。17),基于渐近置信区间理论优越比 。然后,大约100年下的置信区间 的是由

因此,100年近似置信区间 为就变成了 它可以很容易地计算通过使用(15)和(16)。

3.3。基于轻铁的置信区间

从米克和Escobar [11),我们观察到的置信区间根据轻轨交通往往比的置信区间上基于初速的渐近分布。所以,我们建议,由无法无天的(8),基于轻铁构造置信区间对γ参数置信区间。但是可以很容易地采用类似的方法。在测试的假设问题,首先考虑 和提出的似然比统计量 在哪里似然函数(见,例如,(5))。大样本大小,他的分布是近似下作为一个自由度。然后,确切的分布是独立于对尺度参数 。因此,我们构建了100置信区间,的 ,通过 上100百分位的 , 分配一个自由度。因为,根据定义, , 是一个单峰函数,因此对于一个给定的吗 , 是一个独特的时间间隔。

3.4。引导置信区间

基于引导技术,在本节中,我们提出两个置信区间,即(一)提出的百分比引导(Boot-p)置信区间埃夫隆(18)和(b) bootstrap-t (Boot-t)霍尔提出的置信区间19]。不同的作者有兴趣引导技术构建的问题引导置信区间(见,例如,Almarashi和Abd-Elmougod [20.]和Abd-Elmougod艾哈迈迪[21])。下面的算法描述的步骤需要构建的引导和Boot-t置信区间 。

Boot-p方法:(1)获得的大中型企业如之前所讨论的那样。(2)生成一个引导样品 使用和 。获得的大中型企业基于引导样本。(3)重复步骤2,NBOOT倍。(4)让 的提供 。定义 对于一个给定的 。接近100置信区间的是由

下面的方法可以用来构造的Boot-t置信区间 。

Boot-t方法:(1)获得的大中型企业如之前所讨论的那样。(2)通过使用和 ,引导样品 是生成的。获得的大中型企业基于引导样本。另外,计算使用(fish-info) 。(3)统计值是由 。(4)重复步骤2和步骤3,NBOOT倍。(5)让 的提供 定义 对于一个给定的 。所以,大约100年置信区间的是由

3.5。贝叶斯可信区间

在本节中,我们提供的贝叶斯分析上述问题。在指数中,可以合理地模拟倒伽玛之前。德雷伯方法后,格特曼(6),假设之前有一个反向γ参数 和 用PDF格式如下:

当 ,前一个获得欠后的PDF基于上述倒伽玛之前

从post-theta,很明显,后验分布也是一个倒伽玛分布,我们可以很容易地获得贝叶斯估计的根据平方误差损失函数

有趣的是,贝叶斯估计基于之前欠的程序是一致的。因此,的后验分布用于获取可信区间的 注意的后验分布 是一个分布在一个正整数 的自由度。因此,100年可信区间的提出了 为 。非整数值的 ,伽马分布可以应用到制定的可信区间 。然后,可以使用之前欠之前如果没有信息可用来构建一个可信区间 。如果一些之前的信息是可用的,那么一些积极的价值观和可用于构建一个可信区间(表1)。

4所示。数值实验

自表演不同的方法在理论上无法相比,我们使用蒙特卡罗模拟来比较不同方法对不同的样本大小和不同的审查时间( )。奔腾IV处理器是用于计算,我们使用的随机数生成器RAN2媒体等。1]。

我们考虑不同和值,在所有的情况下,我们有考虑 。对于每个案例,我们计算95%置信区间使用所有的五个方法提出。作为比较,我们也计算的95%可信区间基于如上所述前欠。对于每个数据集,我们计算的置信区间的长度基于(a)的具体分布(表1),(b)的渐近分布(表2),(c)的渐近分布(表3似然比检验),(d)(表4(表),(e) Boot-p过程5),(f) Boot-t过程(表6章节中讨论)3。我们还95%贝叶斯可信区间计算部分中讨论3基于之前欠(表7)。渐近置信区间,如果下限是负的,取而代之的是零。我们已经重复了这个实验1000次,报道的平均长度的置信区间和覆盖率。在每一个盒子,第一个数量表示信心/可信区间的平均长度,第二个括号内数量代表了覆盖率,第三个括号内的数量如果有的话,代表了不存在比例的大中型企业。

有些点是很清楚的从上面的实验。这是观察到固定 ,作为增加,间隔的长度根据所有上述程序减少。它指出初速的一致性属性。同样,固定 ,作为增加,间隔长度的减少。所有方法或多或少保持的覆盖率(95%,在这种情况下),除非名义水平或非常小。

也观察到的置信区间为小值不能很好地工作和 。也观察到贝叶斯可信区间很适合小的值和 。通过比较表5与表7,在= 50,我们观察到的覆盖率Boot-p服务好,比贝叶斯接近95%可信区间(4的7选择)。同时,Boot-p的宽度是几乎所有的短比贝叶斯置信区间。事实上,大多数时候,这里比其他方法更好的考虑。他们的平均长度的两个术语和覆盖率是用来比较不同的置信区间。可以看出基于的渐近分布的置信区间和,除非Boot-p置信区间表现很好和非常小。由于Boot-t方法涉及数字和基于渐近分布的置信区间是比贝叶斯可信区间,我们建议使用贝叶斯可信区间在所有的情况下。它可能提到的置信区间是很难获得的。需要解决两个非线性方程来计算准确的置信区间。因此,它可能是可以避免的。我们已经进一步报道偏差值(表8)不同和 ;正如所料,偏见倾向于零,和增加。

5。数据分析

在本节中,我们分析了一个数据集来自贝恩(9到目前为止),应用不同的方法讨论。所以,以下数据集(见表使用9)。

数据集。从人口指数,假设20项放在生活测试实验,实验持续了150小时,这是前缀开始前的实验。在那段时期,13项没有在以下时间:3,19日,23日,26日,37岁,38岁,41岁,45岁,58岁的84年,90年、109年和138年。

在这种情况下, , ,和 。进一步

因此,

我们有95%的信心和可信区间的报道不同在表9。

6。结论

在本节中,我们考虑了i型审查计划失败的指数分布。我们提出了双边的置信区间根据所使用的精确分布的有条件的大中型企业 。我们将不同的置信区间,即(一)精确置信区间,(b)基于渐近分布的置信区间 ,(c)基于渐近分布的置信区间 ,(d)、置信区间根据轻轨(e) Boot-p置信区间和(f) Boot-t可信区间根据欠倒伽玛之前,通过大量的计算机模拟。我们还分析了一个真实的数据集进行说明。可以看出之前欠的贝叶斯可信区间相当不错的工作区间的长度和覆盖率。也注意到,在这种情况下,Boot-t方法不工作。

当观察到的数据是根据i型审查计划,另一个重要的一点是,在 这通常被忽视,企业不存在。你可以看看有趣的讨论由贝恩和恩格尔哈特(14在这方面。

附录

答:证明方程(7)

的条件MGF鉴于 是由

现在 在哪里 是一个随机样本的次序统计量的尺寸吗从分布PDF 在哪里 。让 ;然后,

再一次,

因此,我们得到方程(7),

证明了方程(15)

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这个项目是由院长以来科研阿卜杜勒阿齐兹国王大学(域),吉达,在批准号凯普-博士- 75 - 130 - 42。因此,作者承认和感谢DSR技术和财政支持。