文摘
在本文中,我们目前的整体式分式方程的必要条件与比例Riemann-Liouville导数有一个独特的解决方案。同时,我们举个例子来说明我们的工作。
1。介绍
最近,许多研究人员一直专注于研究各种类型的部分问题;我们参考读者1- - - - - -17]。不动点和单调迭代技巧可以是非常有用的工具来证明解的存在性和唯一性的问题;参见[1]。在这个手稿,灵感来自养家糊口的工作(1),我们调查的解的存在性和唯一性问题如下: 在哪里代表一个比例Riemann-Liouville分数导数 和 。同时, ,和 。现在,我们提醒读者比例Riemann-Liouville部分积分和导数的定义。
定义1(见[18])。让 , ,和 。(我)下面的积分称为比例Riemann-Liouville部分积分: (2)下面的导数叫做比例Riemann-Liouville分数导数: 在哪里 和 。
接下来,我们提出以下建议。
命题1(见[18])。如果 ,在哪里 和 ,然后对任何 ,我们有 。
节2,我们证明解的存在性和唯一性问题(1使用定点技术)。节3,我们证明解的存在性和唯一性问题(1利用单调迭代方法。结论,我们提出一个悬而未决的问题。
2。不动点方法
首先, 。现在,定义以下两个加权准则:
定理1。让 ,和 。让 。同时,假设以下两个假设:(1)存在非负常数 这样 和 (2) 。然后,初值问题(1)有一个独特的解决方案。
证明。首先,让 。注意,如果有一个独特的定点和呢 ,然后初值问题(1)有一个独特的解决方案,即。,it will be enough to show that是一个收缩映射。所以,让 ;我们有两种情况:案例1: 。 因此,是一个收缩映射。因此,有一个独特的定点。案例2: ;在本例中,我们使用与积极的常数 这样 不难看到以下:(1) (2) 同时,召回积分的施瓦兹不等式: 因此,是一个收缩映射。因此,有一个独特的定点。
作为定理的应用1,考虑下面的问题:
如果 不难看出,通过使用定理1问题(9)有一个独特的解决方案。在本节结束,以下线性问题被认为是:
现在,我们介绍下面的假设。
假设1。( )(1) 或(2)这个函数是非常数的和
下面的引理是定理的结果1。
引理1。如果 ,和假设成立,那么问题(11)有一个独特的解决方案。
我们想把读者的注意力,在1),在假设应如下: 他用来证明的情况吗 。这种方式,他的结果将是更强的或者他可以改变过去的平等不平等。
3所示。单调迭代方法
首先,我们先介绍以下假设。
假设2。( )(1) 或(2)这个函数是非常数的,如果是负的,那么存在呢不减少的,在哪里 在每 ,我们有
现在,对于我们的目的,我们证明以下有用的引理。
引理2。让 和 或 。同时,表示, 。假设 解决以下问题: 如果( )成立,那么 对所有 。
证明。假设我们的引理是假的,即存在 这样 ,和 为 ; 为 。让是第一个最大的在 。案例1:假设 对所有 。因此, 为 。因此, 因此, ,但 这让我们矛盾的事实吗 。案例2:假设 对所有 ,并考虑上不减少的 。现在,如果我们申请在问题(14),我们得到 请注意, 这是由于这一事实吗 。因此, 因此, 。使用假设意味着 ,这让我们的矛盾,这就是证明。
我们说是一个较低的解决方案的问题(1)如果 和我们说是一个上层解决问题(1)如果
接下来,定义以下假说。
假设3。( )。存在一个函数 在哪里
定理2。假设是一个较低的解决方案的问题(1),是一个上层解决问题(1), 。此外,假设假设 ,和持有;问题(1)解决方案 。
现在,我们下面的例子。
例1。让 , , ,和 这样 为 。现在,考虑下面的问题: 在哪里 现在,让 和 ;首先,请注意,是一个较低的解决方案的问题(22)。接下来,我们证明是一个上层解决问题(22): 因此,是一个上层解决问题(22)。现在,不难看到所有定理的假设2感到满意。因此,问题(22)解决方案 如果 ,和 ,我们需要假设 。
4所示。结论
最后,请注意,养家糊口的结果(1)是一种特殊情况通过我们的工作 。同时,我们想让读者注意以下问题。
的必要和充分条件是什么问题(1如果有一个独特的解决方案不是常数,但它是一个函数的t说美元吗 ,这涉及到的问题
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者要感谢苏尔坦王子大学资助这项工作通过研究小组非线性分析方法在应用数学(NAMAM)(集团号rg - des - 2017 - 01 - 17)。