文摘
在最近的一篇文章中,分段立方分段样条函数开发生产连续性给定数据点。在本文中,一个interpolant连续性类是保留给视觉上赏心悦目的分段曲线。产生的行为表征分析本质上对变化的形状控制参数t和年代。数据点被限制严格单调沿着实线。
1。介绍
各种方法的计算机辅助几何设计,分段spline-based技术是传统的方法。在许多应用程序中,一个倾斜插入或近似单变量数据通过样条函数具有特定几何性质或形状如单调性、凸性,或者nonnegativity。由于样条算法的真实性,设计师没有找到任何应变采用这些技术。充足的在这方面的工作已经完成,研究人员还在研究各种技术通过精炼使它越来越多样化。样条插值的目的是得到一个连续和光滑插值公式在时间间隔内和插值点。在最近的过去,很多领域的工作一直做分段多项式样条曲线(1- - - - - -4],有理样条曲线的[5],三角花键[6),指数样条(7],spline-based表面用于保存连续性。本文的延续先前的文献[8)的分段连续性是保留。的部分双二次样条表示第一节和二阶导数值,提供了一个替代普通花键。本文试图拥抱分段双二次多项式的新技术。
分数微积分已经普通微积分的附件封装积分和衍生品为任意定义真正的订单。分数阶微积分的旅程始于17世纪,强调不同的衍生品(1)重要的利弊从Riemann-Liouville,阿达玛,Grunwald-Letnikov卡普托,等等。选择恰当的部分衍生品相关的被认为是系统;因此,部分运营商也流行各种研究工作的焦点。同时,研究广义分数运营商也是不可或缺的计算机图形学领域的(9- - - - - -11]。
分数阶导数是快速新兴概念在不同领域的数学、物理学和工程近年来(12- - - - - -15]。由于应用分数阶导数的新方法,计算成本降低。在本文中,一个有效和直观的技术能够产生分段光滑曲线在每个给定的子区间,( ), ,通过结合样条的概念和Caputo-Fabrizio分数阶导数。双二次分段多项式援助,更高的精度保证。
本文以以下方式组织。在第二节,公式使用连续性条件。在第三节,所有结果都包含,在第四节中,讨论相关的小说技巧突出显示。
2。预赛
有成堆的分数积分和衍生品的定义;其中,一些是Riemann-Liouville,黎兹,卡普托8,Riesz-Caputo,阿达玛,韦尔Grunwald-Letnikov, Chen等。在这里,我们正在讨论Riemann-Liouville和卡普托。结果可能被发现的证明(16,17]。
让 是一个函数,一个正实数,整数满意 ,和欧拉伽马函数(11]。然后,左派和右派Riemann-Liouville分数积分定义, 分别。
左边和右边Riemann-Liouville部分衍生品是由
因此,左、右卡普托部分衍生品是由
本质上,存在卡普托部分和Riemann-Liouville衍生品之间的关系,因此,我们有以下关系:如果 然后 ;如果 然后 。
如果 ,然后左右卡普托衍生品是连续的 。有一些属性为整数集成和整数是有效的分化也反映在部分集成和分化18]。
3所示。分段KNR分数阶双二次样条
让 , 是一个子区间的分段多项式 ] ( ]: 在哪里 ,和未知常数,需要通过计算给定的连续性和可微性条件:
的参数出现在上面的条件被称为分数阶导数。很明显从给定的条件生成的分段曲线将在每一部分,拥有光滑连续性。分数阶导数的函数 这样绝对连续的订单吗与 ,在哪里表示顺序的导数, 在哪里
让和是两个分段样条多项式与常见的点 。上面的连续性和可微性的应用条件将导致十未知常数为实际应用需要评估。自从样条曲线通过给定的数据点,这将导致 和 。剩下的八个未知数可以计算通过应用卡普托部分和导数条件。
给定的线性方程组的形式 在哪里
我们将有四个线性方程。
其他四个线性方程可以从连续性和可微性条件如下: 在哪里 和 。
上面的线性方程组将产生一个唯一解的未知数 。
作为一个例子,对于一个给定的数据点,我们有一个分段双二次分段样条曲线。在数据1和2曲线,我们有两种:一种是凹的,而另一个是凸。分数阶导数曲线都是由表中使用1。这些数据还表明这项技术的力量在弯曲点。我们也有一个自由控制弯曲由于引入两个参数用t和年代。
他们都将作为形状控制参数。不同的选择这些参数会导致最终形状的变化。分段曲线(图3)显示了一个KNR双二次分段样条曲线,而图4显示的确切位置点和图5表示点的浓度。
在这种方法中,我们有自由修改曲线的路径。数据6- - - - - -9不同的形状参数值的好例子吗t和年代。作为这些参数从连接点 ,曲线开始变平坦时,将影响最终的曲线的形状。
数据10- - - - - -12显示新技术的有效性的证据。的数据同样反映后应用采用的新技术。也可以画直线。常数函数(y),如图11和单调递增的数据如图12还可以保存下来,这表明技术的准确性。在所有这些形状,表1使用。影响最终的形状也可以观察到如果分数阶导数变化。
4所示。比较KNR双二次与普通三次样条分段样条
因为普通的三次样条曲线生成的传统工具,给定的比较表明,采用的新技术的同时,普通的一个。
对不同形状参数的选择t和年代,数据13- - -15显示给定分段曲线可以被形状参数的选择。形状参数的轻微的调整可以产生不同的形状。它还表明,一个小小的改变可以在最后成形,通过改变这些参数。
几何,我们有 和 ,这给了我们更好的控制曲线的路径。这些参数的不同值可以改变整个曲线的几何/模式。尽管给定分段样条曲线将通过给定的数据点,但我们仍可以改善了控制曲线。
5。应用分段样条n数据点
让 , ,是一组n数据点。使用前三个数据点,我们可以找到两个补丁本文定义的曲线。因为所有的未知常量这两个补丁是已知的,他们可以用来找到三个或更多补丁的曲线。
通过应用连续性和可微性的条件,我们有以下三个未知数的线性方程组,即 ,和 。 在哪里 , , , ,和已经计算在前一节中。
上述系统涉及三个线性方程的两个值j。在每个后续段的曲线,我们将多次解决上述系统n−1段的曲线。因此,上述系统是正确的 。
在图16,曲线段( ), 间隔可以很容易地计算之前定义的算法,而曲线段在区间[ ),是连接的点,可以通过以下方式进行:
在多项式 ,我们有五个未知数,可以很容易地计算了上述条件。同样,在图17,一个曲线段包含通过上述方式。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。