文摘
在这个手稿,作者推导出封闭的定积分公式的权力和对数函数复杂的参数组合和表达这些积分的赫维茨ζ函数。这些派生表达基本常数,小学和特殊功能。产生结果的摘要的形式表的定积分,便于读者参考。
1。介绍
在这个手稿,作者推导的定积分 和 赫维茨的ζ函数,参数 , , ,和一般复数。总结结果表中给出的积分,便于阅读。这项工作很重要,因为作者目前的文献中找不到类似的结果。表的定积分为读者提供一个有用的总结和参考寻求潜在的这种积分在他们的研究中使用。这个工作看起来双曲反正切函数的定积分和对数函数的乘积与复杂的参数和权力。我们同时使用轮廓积分法来帮助我们推导封闭形式的解决方案的赫维茨ζ函数,它提供了分析结果的延续。
推导过程遵循我们所使用的方法(1]。广义柯西积分公式给出的 在哪里一般是一个开放的轮廓在复平面双线性伴随有相同的值端点的轮廓。这种方法涉及使用一种形式的方程(3),然后把两边乘以一个函数,然后双方定积分。这一收益率定积分的围道积分。第二个围道积分是派生乘以方程(3)由不同的功能和执行一些替换,这样轮廓积分求和是相同的。
2。推导第一围线积分
我们使用的方法(1]。使用一个泛化的柯西积分公式方程(3),我们将形成两个方程,并将它们添加在一起。第一次和第二次方程取代通过和通过 ,分别。接下来,我们把这些方程两边同时乘以紧随其后 和定积分 得到 从方程(2.6.19.6)2),积分是有效的 , ,和复杂和 的对数函数是定义在方程(4.1.2)(3]。
3所示。推导二围线积分
使用一个泛化的柯西积分公式方程(3),我们将形成两个方程,并将它们添加在一起。第一次和第二次方程取代通过和通过 ,分别。接下来,我们把这些方程两边同时乘以紧随其后 和定积分 得到 从方程(2.6.19.6)2), 。
4所示。推导无限求和的第一围线积分
再一次,使用方法[1)和方程(3),我们替换通过 ,两边同时乘以 ,取代通过 ,双方的无限求和 简化的赫维茨ζ函数 从方程(1.232.3)4), 从(4.5.10)3), 收敛的总和。我们使用方程(9.521.1)(4), 赫维茨ζ函数。
5。推导无限求和的第二个围线积分
再一次,使用方法[1)和方程(3),我们替换通过 ,两边同时乘以 ,取代通过 ,双方的无限求和 简化的赫维茨ζ函数 从方程(1.232.1)5]。
6。推导的额外的轮廓
再一次,使用方法[1)和方程(3),我们替换通过 , 通过 ,两边同时乘以 ,和简化
再一次,使用方法[1)和方程(3),我们替换通过 , 通过 和两边同时乘以简化得到
再一次,使用方法[1)和方程(3),我们替换通过 , 通过 ,两边同时乘以 ,和简化
7所示。推导的赫维茨ζ函数的定积分
由于方程的右边(4)和(5)等于右边的总和的方程(6)- (10),我们可以将左手边简化的阶乘
8。推导的对数和双曲正切积分的赫维茨ζ函数
9。推导的对数和双曲反正切积分ζ函数
使用方程(13)和(14)和设置 简化,我们得到 从条目(2下表)(64:7)(5]。
10。推导的对数和双曲反正切积分的日志伽马函数
使用方程(13)和(14),替换通过 ,洛必达法则应用到右边 ,分别,我们得到了简化 从方程(64:10:2)(5]。
11。的对数和双曲反正切积分推导双函数
使用方程(13)和(14),替换通过 ,洛必达法则应用到右边 ,分别,我们得到了简化 从方程(64:2)5]。
12。推导的对数和双曲反正切积分的基本常数和特殊功能
在本节中,我们将推导出定积分的特殊功能和基本常数,如欧拉常数( ),加泰罗尼亚的常数( ),Glaisher常数( ),和 。本节展示的只是一个子集的评价这些积分公式。
12.1。双曲正切积分
例1。使用方程(13),替换通过 ,设置 ,,我们得到了简化 从方程(23.2.23)3和(64:7:1)5]。
例2。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从方程(A.11)6]。
例3。使用方程(16),设置 ,,我们得到了简化
例4。使用方程(16),设置 ,,我们得到了简化
例5。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从例子1节12。1在[7]。
例6。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从例子1节12。1在[4]。
12.2。对数积分
例7。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从例子1节12。1在[4]。
示例8。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从方程(A.11)4]。
示例9。使用方程(16),设置 ,,我们得到了简化
示例10。使用方程(16),设置 ,,我们得到了简化
例11。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从例子1节12。1在[5]。
示例12。使用方程(16),第一个偏导数 ,设置 ,,我们得到了简化 从例子1节12。1在[5]。
13。对数函数的定积分的推导
使用方程(11),我们把第一个偏导数然后替换通过 。接下来,我们又形成了一个方程代替通过在新方程。然后,我们把这两个新方程简化的差异
重复上面的步骤使用方程(12)和简化,我们得到
13.1。一些特殊情况
示例13。使用方程(31日)和洛必达法则应用到右边 ,我们得到了简化
例14。使用方程(32)和设置 ,我们得到了简化
14。表的积分
表在表提供的定积分1
15。讨论
在这部作品中,作者观察推导对数函数的定积分的组合复杂的参数和权力,并表示他们的赫维茨ζ函数。这些积分的一个有趣的特性是,通过添加它们,我们能够得到的乘积的积分双曲反正切函数和对数函数。作者正式获得一些积分的基本常数和特殊功能。我们的目标之一是提供一个表的定积分(表1),以方便阅读,研究人员和这些结果添加到现有的教科书。
结果提出了数值验证真实和虚构的值参数的积分使用Mathematica Wolfram。我们认为是真实的,这些参数不同范围的整数,消极的和积极的价值观。我们比较的评价评估特殊函数的定积分,确保协议。
16。结论
在这篇论文中,作者使用我们的方法来评估使用赫维茨ζ函数定积分。我们使用的轮廓是特定于解决赫维茨ζ函数的积分表示。作者预计,其他的轮廓和积分可以使用这种方法。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
信息披露
这篇文章也可以在预印本http://export.arxiv.org/abs/2103.03110。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。